5. Laboratorinio darbo Nr.5 ataskaita
Diskretinė matematika
Skirtuminės lygtys
Darbo tikslas:
Patyrinėti skirtuminių lygčių elgesį (sprendinius) ir pastoviuosius taškus.
Darbo užduotis:
Išspręsti kurį nors iš (1)-(4) trumpiausio kelio paieškos uždavinių. Apskaičiuoti pasirinktojo algoritmo vykdymo laiką.
Užduoties sprendimo rezultatai ir pastebėjimai:
1. Pasirinkime pirmos eilės tiesinę homogeninę lygtį(amy(t+m)+am-1y(t+m-1)+am-2y(t+m-2)+…+a0y(t)=0, kai m=1 ), tokią, kad jos charakteringoji lygtis turėtų teigiamą absoliučiu dydžiu mažesnę už vienetą šaknį. Reiškia, šiam homogeniniam lygčiui 10*yn+1+5*yn=0 atitiks koks charakteringas lygtys:
10*q+5=0, jos šaknys yra:
q=-2,
y(1)n=(-2)n – atskiriamasis sprendinys,
yn=c1*(-2)n- bendrasis sprendinys.
Analigiškai homogeniniam lygčiui 5*yn+1-10*yn=0 atitiks charakteringas lygtys 5*q-10=0,
q=2;
y(1)n=2n – atskiriamasis sprendinys,
yn=c1*2n – bendrasis sprendinys.
Prisiminkime, kad bendrasis sprendinys atstovauja visą sprendinių (kreivių šeimą), o atskirasis sprendinys – atskirą kreivę. Ir kadangi mes turim tik tais vieną atskirąjį sprendimą, tai mūsų atskirą kreivę bus tiese.
Kadangi tiesinė skirtuminė lygtis turi tik vieną pastovųjį tašką, tai taškas, kuriame
yn+2=yn+1=yn=…y Apskaičiuosim taip:
10*y+5*y=0 5*y-10*y=0
15*y=0 -5*y=0
y=0 y=0
Tiesinei homogeninei lygčiai pastovusis taškas visada lygus nuliui. Šio atveju pastovus taškas yra asimptotiškai nestabilus.
Išsprendus šį uždavinį kompiuteriu gauname tokia grafika:
.
2. Pasirinkite antros eilės tiesinę homogeninę lygtį(amy(t+m)+am-1y(t+m-1)+am-2y(t+m-2)+…+a0y(t)=0, kai m=2 ), tokią, kad charakteringosios lygties šaknys būtų kompleksinės jungtinės, absoliučiu dydžiu mažesnės už vienetą ir turėtų teigiamą realiąją dalį.