Algebra ir funkcijos
5 (100%) 1 vote

Algebra ir funkcijos

(1) Dvilypiai integralai apibrėžimas. Geometrinė prasmė.

Turime tolydzia f-ja srityje D. Cilindriniu kreiviu

V≈∑ vi =∑ f(Pi) ∆qi =∑ f(ξi+ηi)∆qi (*) –integraline suma.

Jei egzistuoja integralinės sumos (*) riba, tai max plotelio ∆qi diametras artėja prie nulio arba n→∞ (n- padalijimų sk.) ir ta riba nepriklauso nuo to, kai mes kūną padalinsime į plotelius ir kur pasirinksime tašką qi, tai ta riba vad. dvilypiu integralu pagal sritį D.

∫∫f(x,y)dq= ∫∫f(x,y)dxdy= lim ∑(ξi,qi)∆qi

D D n→∞

∆qi =∆xi –∆yi dq=dxdy

Geometriškai reiškia tūrį cilindrinio kūno, kurį iš viršaus riboja duotas paviršius z=f(x,y), iš apačios sritis D ir sudaromosios lygiagretės Oz ašiai.

X=φ(y,z) ∫∫φ(y,z)dydz

D

(2) Dvilypio integralo skaičiavimas dekartinėje koord. sistemoje

∫∫f(x,y) dxdy z=f(x,y) x,y Є D

φ2(x)≥φ1(x) a≤x≤b, MNGH lygiagr. YOZ

φ2(x)

SMNGH=∫ f(x,y)dy

φ1(x)

SMNGH =S(x) nes priklauso nuo P padėties “x” atžvilgiu.

V= ∫∫f(x,y)dxdy

b D b φ2(x) b φ2(x)

V= ∫S(x)dx= ∫ ( ∫ f(x,y)dy)dx=∫ ∫ f(x,y)dxdy

a a φ1(x) a φ1(x)

(3) Dvilypių integralų savybės

Tokios pat, kaip apibrėžtinio integr. Visos savybės išplaukia iš dvilypio integralo geometrinės prasmės (tūris cilindrinio kūno).

1. ∫∫ f(x,y) ±φ(x,y)dxdy=∫∫ f(x,y)dxdy +∫∫φ(x,y)dxdy

D D D

2. Pastovų sk. galima iškelti priėš integralo ženklą.

1 ir 2 savybės tiesiškumo savybės:

∫∫(αf(x,y)+ βφ(x,y)dxdy= α∫∫f(x,y)dxdy+ β∫∫φ(x,y)dxdy

D D D

3. jei f(x,y)≥φ(x,y) tai: ∫∫ f(x,y)dxdy ≥ ∫∫φ(x,y)dxdy

D D

4. Jei D=D1 U D2 U Dn tai:

∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dxdy+∫∫f(x,y)dxdy+…∫∫ f(x,y)dxdy

D D D D

5. Dvilypių integralų įvedimo teorema:

Jei M=sup f(x,y) m=inf f(x,y)

m ≤ ∫∫ f(x,y)dxdy / Qsr.D ≤M

D

Qsr.D=∫∫dxdy—srities “D” plotas

m ≤ ∫∫ f(x,y)dxdy / ∫∫dxdy ≤M

D D

∫∫ f(x,y)dxdy / ∫∫dxdy=fvid. (ξi,ηi)

D D

Pi (ξi, ηi)

∫∫ f(x,y)dxdy=fvid.(ξi, ηi) Qsr. D=fvid. (ξi, ηi) ∫∫dxdy

(4) Trilypis integralas. Fizikinė presmė

∆v–tūris v–kūno tūris ∆m–masė σ–tankis

σ=∆m / ∆v σ=lim ∆m / ∆v

∆v→0

σ = σ(M) M(x,y,z) M Є v

Apibrėžimas: Jei egzistuoja integralinės sumos riba, kai n→∞ ir ta riba nepriklauso nuo to, kaip tūrį padalijome į tūrius ∆vi ir kur kiekviename tūryje ∆vi pasirinkome tašką, tai ta riba vad. trilypiu integralu, pagal tūrį v.

lim ∑ σ(xi,yi,zi)∆vi= ∫∫∫ σ(x,y,z)∆v= ∫∫∫f(x,y,z)dv=

i =1 V V

=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz

V

V=∫∫∫dv=∫∫∫dxdydz V=∫∫f(x,y)dxdy

V V D

(5) Trilypio integ. egzistavimo teorema

σ (M)= σ(x,y,z)– tankis v–kūno tūris m–masė

n n n

M Є v m≈∑ ∆mi≈ ∑ σ(Mi)∆vi=∑ σ(x,y,z)∆vi

n i=1 i=1 i=1

lim ∑ σ(xi, yi, zi)∆v=m

n→∞ i=1

∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz= lim ∑f(xi,yi,zi)∆vi

V V n→∞

V= ∑∆vi Mi (x,y,z) Є ∆vi

Riba egzistuos tik tada, kai f—ja f(x,y,z) aprėžta.

m≤ f ≤M m=inf f(x,y,z) M=sup f(x,y,z)

Vi Vi

∆w=M–m —funkcijos svyravimai

Drobu suma: S=M*Vi S=∑m*Vi lim ∑∆w*V=0

i=1 n→0 i=1

(6) Trilypio intgralo savybės

Tokios pat savybės, kaip dvilypio integralo.

1. Pastovų sk. galima iškelti prieš integ. ženklą:

∫∫∫ c f(x,y,z)dv=c∫∫∫f(x,y,z)dv c—const. c prik. R

2. Jeigu f—jos f(x,y,z) ir φ(x,y,z) yra tolydžios, aprėžtos tūrio V aplinkoje, tai trilypis integ. lygus tų f—jų trilypių integ. sumai: ∫∫∫ (f±φ)dv=∫∫∫fdv±∫∫∫φdv

V V V

3. Jei V=V1 U V2 U… U Vn ∫∫∫f(x,y,z)dv= ∫∫∫f(x,y,z)dv1+∫∫∫f(x,y,z)dv2+…+∫∫∫f(x,y,z)dvn

V V V

4. Jei f ir φ aprėžtos, tolydžios tūryje V ir išp. sąlyga f ≥ φ tai: ∫∫∫ fdv ≥ ∫∫∫dv

V V

5. Integralo įvertinimo teorema:

Jei M=sup f(x,y,z) m=mf f(x,y,z)

V V

tai: m ≤ ∫∫∫ f(x,y,z)dv / V ≤ M

m ≤ fvid.(ξi,ηi,ζi) ≤ M

∫∫∫ f(x,y,z)dv / V=fvid. (ξi,ηi,ζi)

(7) Trilypio integ. apsk. dekartinėje koord. sistemoje

Tegul standartinį kūną iš viršaus gaubia f—ja:

z1=z1(x,y) z2=z1(x,y) z1,z2—tolydžios aprėžtos V.

z (x,y)

z ≤ z ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫ (∫f(x,y)dz)dxdy

V D z1(x,y)

V=∫∫∫ dxdydz V=∫∫ f(x,y)dxdy v f(x,y,z)=1

V D

Cilindrinė koord. sistema. Čia taško padėtis aprėžiama to taško pr—ja XOY pl—je polinėje koord. sistemoje ir aplikate.

M(x,y,z) x=φ cos φ 0 ≤ φ ≤ 2π

Šiuo metu Jūs matote 51% šio straipsnio.
Matomi 877 žodžiai iš 1731 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.