(1) Dvilypiai integralai apibrėžimas. Geometrinė prasmė.
Turime tolydzia f-ja srityje D. Cilindriniu kreiviu
V≈∑ vi =∑ f(Pi) ∆qi =∑ f(ξi+ηi)∆qi (*) –integraline suma.
Jei egzistuoja integralinės sumos (*) riba, tai max plotelio ∆qi diametras artėja prie nulio arba n→∞ (n- padalijimų sk.) ir ta riba nepriklauso nuo to, kai mes kūną padalinsime į plotelius ir kur pasirinksime tašką qi, tai ta riba vad. dvilypiu integralu pagal sritį D.
∫∫f(x,y)dq= ∫∫f(x,y)dxdy= lim ∑(ξi,qi)∆qi
D D n→∞
∆qi =∆xi –∆yi dq=dxdy
Geometriškai reiškia tūrį cilindrinio kūno, kurį iš viršaus riboja duotas paviršius z=f(x,y), iš apačios sritis D ir sudaromosios lygiagretės Oz ašiai.
X=φ(y,z) ∫∫φ(y,z)dydz
D
(2) Dvilypio integralo skaičiavimas dekartinėje koord. sistemoje
∫∫f(x,y) dxdy z=f(x,y) x,y Є D
φ2(x)≥φ1(x) a≤x≤b, MNGH lygiagr. YOZ
φ2(x)
SMNGH=∫ f(x,y)dy
φ1(x)
SMNGH =S(x) nes priklauso nuo P padėties “x” atžvilgiu.
V= ∫∫f(x,y)dxdy
b D b φ2(x) b φ2(x)
V= ∫S(x)dx= ∫ ( ∫ f(x,y)dy)dx=∫ ∫ f(x,y)dxdy
a a φ1(x) a φ1(x)
(3) Dvilypių integralų savybės
Tokios pat, kaip apibrėžtinio integr. Visos savybės išplaukia iš dvilypio integralo geometrinės prasmės (tūris cilindrinio kūno).
1. ∫∫ f(x,y) ±φ(x,y)dxdy=∫∫ f(x,y)dxdy +∫∫φ(x,y)dxdy
D D D
2. Pastovų sk. galima iškelti priėš integralo ženklą.
1 ir 2 savybės tiesiškumo savybės:
∫∫(αf(x,y)+ βφ(x,y)dxdy= α∫∫f(x,y)dxdy+ β∫∫φ(x,y)dxdy
D D D
3. jei f(x,y)≥φ(x,y) tai: ∫∫ f(x,y)dxdy ≥ ∫∫φ(x,y)dxdy
D D
4. Jei D=D1 U D2 U Dn tai:
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(x,y)dxdy+∫∫f(x,y)dxdy+…∫∫ f(x,y)dxdy
D D D D
5. Dvilypių integralų įvedimo teorema:
Jei M=sup f(x,y) m=inf f(x,y)
m ≤ ∫∫ f(x,y)dxdy / Qsr.D ≤M
D
Qsr.D=∫∫dxdy—srities “D” plotas
m ≤ ∫∫ f(x,y)dxdy / ∫∫dxdy ≤M
D D
∫∫ f(x,y)dxdy / ∫∫dxdy=fvid. (ξi,ηi)
D D
Pi (ξi, ηi)
∫∫ f(x,y)dxdy=fvid.(ξi, ηi) Qsr. D=fvid. (ξi, ηi) ∫∫dxdy
(4) Trilypis integralas. Fizikinė presmė
∆v–tūris v–kūno tūris ∆m–masė σ–tankis
σ=∆m / ∆v σ=lim ∆m / ∆v
∆v→0
σ = σ(M) M(x,y,z) M Є v
Apibrėžimas: Jei egzistuoja integralinės sumos riba, kai n→∞ ir ta riba nepriklauso nuo to, kaip tūrį padalijome į tūrius ∆vi ir kur kiekviename tūryje ∆vi pasirinkome tašką, tai ta riba vad. trilypiu integralu, pagal tūrį v.
lim ∑ σ(xi,yi,zi)∆vi= ∫∫∫ σ(x,y,z)∆v= ∫∫∫f(x,y,z)dv=
i =1 V V
=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz
V
V=∫∫∫dv=∫∫∫dxdydz V=∫∫f(x,y)dxdy
V V D
(5) Trilypio integ. egzistavimo teorema
σ (M)= σ(x,y,z)– tankis v–kūno tūris m–masė
n n n
M Є v m≈∑ ∆mi≈ ∑ σ(Mi)∆vi=∑ σ(x,y,z)∆vi
n i=1 i=1 i=1
lim ∑ σ(xi, yi, zi)∆v=m
n→∞ i=1
∫∫∫f(x,y,z)dv=∫∫∫f(x,y,z)dxdydz= lim ∑f(xi,yi,zi)∆vi
V V n→∞
V= ∑∆vi Mi (x,y,z) Є ∆vi
Riba egzistuos tik tada, kai f—ja f(x,y,z) aprėžta.
m≤ f ≤M m=inf f(x,y,z) M=sup f(x,y,z)
Vi Vi
∆w=M–m —funkcijos svyravimai
Drobu suma: S=M*Vi S=∑m*Vi lim ∑∆w*V=0
i=1 n→0 i=1
(6) Trilypio intgralo savybės
Tokios pat savybės, kaip dvilypio integralo.
1. Pastovų sk. galima iškelti prieš integ. ženklą:
∫∫∫ c f(x,y,z)dv=c∫∫∫f(x,y,z)dv c—const. c prik. R
2. Jeigu f—jos f(x,y,z) ir φ(x,y,z) yra tolydžios, aprėžtos tūrio V aplinkoje, tai trilypis integ. lygus tų f—jų trilypių integ. sumai: ∫∫∫ (f±φ)dv=∫∫∫fdv±∫∫∫φdv
V V V
3. Jei V=V1 U V2 U… U Vn ∫∫∫f(x,y,z)dv= ∫∫∫f(x,y,z)dv1+∫∫∫f(x,y,z)dv2+…+∫∫∫f(x,y,z)dvn
V V V
4. Jei f ir φ aprėžtos, tolydžios tūryje V ir išp. sąlyga f ≥ φ tai: ∫∫∫ fdv ≥ ∫∫∫dv
V V
5. Integralo įvertinimo teorema:
Jei M=sup f(x,y,z) m=mf f(x,y,z)
V V
tai: m ≤ ∫∫∫ f(x,y,z)dv / V ≤ M
m ≤ fvid.(ξi,ηi,ζi) ≤ M
∫∫∫ f(x,y,z)dv / V=fvid. (ξi,ηi,ζi)
(7) Trilypio integ. apsk. dekartinėje koord. sistemoje
Tegul standartinį kūną iš viršaus gaubia f—ja:
z1=z1(x,y) z2=z1(x,y) z1,z2—tolydžios aprėžtos V.
z (x,y)
z ≤ z ∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫ (∫f(x,y)dz)dxdy
V D z1(x,y)
V=∫∫∫ dxdydz V=∫∫ f(x,y)dxdy v f(x,y,z)=1
V D
Cilindrinė koord. sistema. Čia taško padėtis aprėžiama to taško pr—ja XOY pl—je polinėje koord. sistemoje ir aplikate.
M(x,y,z) x=φ cos φ 0 ≤ φ ≤ 2π