Apibrežtinis integrantas

22. Apibrėžtinio integralo apibrėžimas ir geometrinė prasmė. 1-7 jo savybės.

Sakykime, kad atkarpoje [a;b] apibrėžta teigiama ir tolydi funkcija f(x). Figura, apribota iš apačios abscisių ašies, iš šonų- tiesių x= a ir x=b, iš viršaus – funkcijos f(x) grafiko, vadinama kreivine trapecija. Apskaičiuosime šios trapecijos plota: atkarpą taškais bet kaip padaliname į n dalių. Kiekvienoje dalyje bet kur pasirin-kime po tašką c ir suraskime funkcijos reikšmę tame taške. Kiekvieną atkarpą laikydami kraštine, nubraižykime stačiakampį, kurio pagrindas xi=xi-xi-1, o aukštinė lygi f(ci). Gausime laiptuotą figūrą. Apskaičiuokime jos plotą. Kiek-vieno stačiakampio plotas bus lygus f(ci)

, todėl visos laiptuotos figūros plotas lygus tokių demenu sumai. Laiptuotos figūros plotas bus tuo artimesnis kreivinės trapecijos plotui, juo bus mažesnės atkarpos. Pažymekime max xi raide . Tikslią kreivinės trapecijos ploto reikšmę S gausime apskaičiavę sumos ribą, kai 0. Vadinasi,Aprašytą procedurą pritaikykime bet kokiai tolydžiai funkcijai f(x), apibrėžtai intervale [a;b]:

1) sudarykime sumą

, kuri vadinama Rymano integraline suma

2) Apskaičiuokime šios sumos ribą, kai

Apibrėžimas: Jei egzistuoja baigtinė integralinės sumos riba, kai 0, nepriklausanti nuo atkarpos [a;b] skai-dymo būdo bei nuo parinktų taškų ci, tai ta riba vadinama funkcijos apibrėžtiniu integralu atkarpoje [a;b]. Apibrėžtinis integralas žymimas simboliu

Taigi

skaičiai a ir b vadinami apatiniu ir viršutiniu rėžiais. Ši formulė rodo, kad galima formaliai integralinės sumos ribą pakeisti apibrėžtiniu integralu. Jeigu funkcijos f(x) integralinė suma turi baigtinę ribą, tai funkciją vadiname integruojama Rymano prasme atkarpoje [a;b] arba integruojama atkarpoje [a;b].Taigi geometrinė prasme integralas yra kreivines trapecijos plotas.

Apibrėžtinio integralo savybės : sakykime, kad f(x) ir g(x) integruojamos atkarpoje [a;b]. Tuomet teisingi šie teiginiai:

1. čia  ir  – konstantos.

2. Apibrėžtiniame integrale darėme prie-laidą, kad ab, tai sutarsime, kad

3. Kad ir kokie būtų skaičiai a, b, c, teisinga lygybė:4. Jei f(x)>=0, tai

5. Jei f(x)>=g(x)atkarpoje [a;b], tai

6. Tarkime, kad m=min f(x), M=max f(x), kai x priklauso [a;b]. Tada

23. Vidurinės reikšmės teorema.

Teorema: Jeigu funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai egzistuoja atkarpos taškas c, kuriame:Įrodymas: Kadangi funkcija tolydi atkar-poje [a;b], tai ji šioje atkarpoje ygyja mažiausią ir didžiausią reikšmę m ir M, todėl m<=f(x)<=M. Tuomet teisingos nelygybės. Padaliję jas iš b-a>0, gaunameTaigi pagal teoremą apie tolydžios atkar-poje funkcijos tarpinę reikšmę jis yra funkcijos f(x) tarpinė reikšmė, įgyjama, pvz, kuriame nors taške c. Todėl iš čia ir gauname

iš čia gaunasi:

Pvz.:

24. Apibrėžtinis integralas su kintamu vir-šutiniu rėžiu. Jei funkcija f(x) integruo-jama atkarpoje [a;b], tai ji bus integruo-jama ir atkarpoje [a;b], xe [a;b]. Nagrinėsime integralą

, kuris geometriškai reikštų kreivinės tra-pecijos turinčios kintamą kraštinę , plotą. Aišku, kad tokios trapecijos plotas bus kintamas ir priklausys nuo x. Todėl Teorema: Jei funkcija f(x) tolydi atkarpoje [a;b], tai ((x))’=f(x) šios atkarpos taškuose. Įrodymas: Kintamajam x suteikiame pokytį x ir apskaičiuojame pokytį :

=(x+x)- (x)=

Šiam integralui taikome vidurinės reikšmės teoremą. Tuomet

Pasinaudosime išvestinės apibrėžimu:

Kadangi cx,kai x0, tai dėl f(x) tolydumoTaigi ’(x)=f(x)

Ši lygybė reiškia, kad funkcija(x) yra funkcijos f(x) pirmykštė atkarpoje [a;b].