Diferencialinių lygčių paruoštukė
5 (100%) 1 vote

Diferencialinių lygčių paruoštukė

Diferencialines lygtys (1) u’v+v’u+p(x)uv=f(x)…(5) ar-

F-ija F(x,y,y’)=0…(1) vadin pa- ba u arba v iskeliam pries skliaus-

prasta dif lygtimi y’=f(x,y)…(2) tus: uv’+u(v’+p(x)v)=f(x)…(6).

F(x,y,y’,y”,…,y(n))=0…(3)-n eiles Is (6): v’+p(x)v=0…(7); u’v=

paprasta dif lygtimi. f(x)…(8).Is (7) v’=-p(x)v

Y(n)=f(x,y,y’,…,y(n-1))…(4). dv/dx=-p(x)v ; dv/v=-p(x)dx ;

Dif lygties eile nusako auksciau- v=c1e- p(x)dx…(9).(9)(8):

sios isvestines eile,o laipsni- u’ c1e- p(x)dx=f(x) ;(du/dx)c1=

auksciausios eiles isvestines f(x)e- p(x)dx ; du=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx

laipsnis.y=y(x) ,x(a,b) ir ten- u=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2…(10).

kintu (1)arba(3)lygti ir butu is- (9) ir (10)(3): y=uv=

sprendziama C atzvilgiu. =[1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2] c1e- p(x)dx=

(x,y,C)=0.Bendras sprendinys =e- p(x)dxf(x)e- p(x)dxdx+c2 c1e- p(x)dx

reiskia integraliniu f-iju seima. Tiesiniu dif. lygciu sprendimas

F(x,y,y’,y”)=0 (x,y,C1,C2)=0. Lagranzo metodu

Dif lygtis,i kuria ieina keli nepri- Duota y’+p(x)y=f(x)…(1).Suda-

klausomi kintamieji vadin dali- rom jai atitinkama homogenine

nem isvestinem. lygti y’+p(x)y=0…(2)

Kosi uzdavinys formuluojamas, dy/dx=-p(x)y ; dy/y=-p(x)dx ;

kai tenkina sal.:yx=x0=y0. ln y=-p(x)dx+lnC ; ln y/C=

Pirmiausia randam bendra spren- dini,o po to i ji istatom pradines sal. ir randam pastovuji C.

Apytikslis dif.lygciu sprendimas

izoklinu budu

y’=f(x,y)…(1).y’=tg=k,

k=const

f(x,y)=C

Dif.lygtys su atskiriamais kinta-

maisiais 1)P(y)dy=Q(x)dx…(1)

dy/dx=Q(x)/P(y) P(y)dy=Q(x)dx

y=(x,C).

2)P1(y)Q1(x)dy+P2(y)Q2(x)dx=0

P1(y)dy/P2(y)+Q2(x)dx/Q1(x)=0

yx=x0=y0.Randame C0 y=(x,C0)

Baigus spresti lygti reikia patikrin-

ti ar Q1(x)=0 ir P2(y)=0 tenkina

pradine sal..Jei tenkina,tai yra pa-

vieniai sprendiniai.

3) y’=f(ax+by+C). Pazymim

ax+by+C=u u=u(x) y’=f(u).

Homogenines dif lygtys ir ju

sprendimas

1)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(1)

P(x,y) ir Q(x,y)-to paties laipsnio

homogenine f-ija.P(tx,ty)=tnP(x,y)

..(2).P(tx,ty)=P(x,y). y’=f(x,y)

y’=f(1,y/x)=(y/x)…(3) .(y=ux;

u=u(x);y’=u’x+u;u=y/x.).

2)Gali buti,kaddif lygtis yra homogenine x-so atzvilgiu

x’=(x/y); x=uy x’=u’y+u u=(y).

3)y’=f((a1x+b1y+C1)/(a2x+b2y+C2))

Pazymim x=x1+mdx=dx1

y=y1+ndy=dy1

y’=dy/dx=dy1/dx1 x,y,y’(1)

dy1/dx1=f1((a1(x1+m)+b1(y1+n)+C1)/

(a2(x1+m)+b2(y1+n)+C2))=

=f1((a1x1+b1y1+a1m+b1n+C1)/(a2x1+

b2y1+a2m+b2n+C2)) .m ir n paren-

kam taip,kad a1m+b1n+C1=0 ir

a2m+b2n+C2=0…(2).

a) a1 b1

a2 b2 0,tada (2) tures vieninte-

li sprendini ir rasim m ir n reiks-

mes.Istate gausim:x1=x-m ir

y1=y-n…(2a).

dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1)/(a2x1+b2y1))=f1((a1+b1(y1/x1))/(a2+b2(y1/x1)))=

=(y1/x1)…(3).Pazymeje y1/u1=u;

y1=ux1;u=u(x1);y1’=u’x1+u statom

i (3).Gausim lygti,kurioje atsiskirs

kintamieji.Suintegrave vietoje u ra-

som u=y1/x1,po to istatom i (2a).

b)a1/a2=b1/b2c1/c2,tada gausim taip: a1/a2=b1/b2=ka1=a2k ,b1=

=b2k .dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1+c1)/

(a2x1+b2y1+c2))=f1((a2kx1+b2ky1+

+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=f1((k(a2x1+

+b2y1)+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=((kz+

+c1)/(z+c2));z=a2x1+b2y1 .Toliau

rasim z’,atsiskirs kintamieji.

c)a1/a2=b1/b2=c1/c2 .Tada a1/a2=

=b1/b2=c1/c2=ka1=a2k ;b1=b2k ;

c1=c2k .dy1/dx1=f((a1x1+b1y1+c1)/

(a2x1+b2y1+c2))=f1(k) ;dy1=f(k)dx1;

y1=f(k)dx1 .

Pirmos eiles tiesines dif. lygtys

y’+p(x)y=f(x)…(1) x’+q(y)x=(y)

ay’+p(x)by=f(x)/a .p(x) ir f(x)-api-

br.,tolyd. x[a;b].Jei f(x=0),tai

y’+p(x)y=0…(2)-tiesine homoge-

nine.Jei f(x)0 ,tai y’+p(x)y=f(x)-

tiesine nehomogenine.

Bernulio metodas Duota:y’+p(x)y=f(x)…(1).Bendras

sprendinys y=uv…(3),cia u=u(x) ir

v=v(x);y’=u’v+v’u…(4).(3)ir(4)

=-p(x)dx ; y/C=e-p(x)dx ; C=C(x);

y=Ce-p(x)dx…(3)-homogenines lyg-

ties bendras sprendinys.

y=C(x) e-p(x)dx…(4). y’=C’(x) e-p(x)dx

+C(x) e-p(x)dx(-p(x))…(5).(4)ir(5)

statom i (1): C’(x) e-p(x)dx-

-C(x)p(x)e-p(x)dx+ C(x)p(x)e-p(x)dx=

=f(x) ; C’(x) e-p(x)dx=f(x)

C(x)=f(x)ep(x)dxdx+C…(6).(6)

(4)

y=(f(x)ep(x)dxdx+C)e-p(x)dx.

Bernulio dif.lygtys Bernulio dif.

lygtis:y’+p(x)y=f(x)y ;ir

(Jei =1,gautume lygti su atskiria-

mais kint. y’+p(x)y=f(x)y ;dy/dx=

y(f(x)-p(x)); dy/y=(f(x)-p(x))dx).

p(x),f(x) tolydi,diferenc.x(a,b)

y’+p(x)y=f(x)y 1/y y0 (y=0

pirminis sprend.).y’y-+p(x)y1-=

=f(x).Pazymim y1-=z ,(1-)y1–1y’=

=z’ ; (1-)y-y’=z’ ;y-y’=z’/1-

Šiuo metu Jūs matote 30% šio straipsnio.
Matomi 1017 žodžiai iš 3381 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.