Diferencialines lygtys (1) u’v+v’u+p(x)uv=f(x)…(5) ar-
F-ija F(x,y,y’)=0…(1) vadin pa- ba u arba v iskeliam pries skliaus-
prasta dif lygtimi y’=f(x,y)…(2) tus: uv’+u(v’+p(x)v)=f(x)…(6).
F(x,y,y’,y”,…,y(n))=0…(3)-n eiles Is (6): v’+p(x)v=0…(7); u’v=
paprasta dif lygtimi. f(x)…(8).Is (7) v’=-p(x)v
Y(n)=f(x,y,y’,…,y(n-1))…(4). dv/dx=-p(x)v ; dv/v=-p(x)dx ;
Dif lygties eile nusako auksciau- v=c1e- p(x)dx…(9).(9)(8):
sios isvestines eile,o laipsni- u’ c1e- p(x)dx=f(x) ;(du/dx)c1=
auksciausios eiles isvestines f(x)e- p(x)dx ; du=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx
laipsnis.y=y(x) ,x(a,b) ir ten- u=1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2…(10).
kintu (1)arba(3)lygti ir butu is- (9) ir (10)(3): y=uv=
sprendziama C atzvilgiu. =[1/c1 f(x)e- p(x)dxdx+c2] c1e- p(x)dx=
(x,y,C)=0.Bendras sprendinys =e- p(x)dxf(x)e- p(x)dxdx+c2 c1e- p(x)dx
reiskia integraliniu f-iju seima. Tiesiniu dif. lygciu sprendimas
F(x,y,y’,y”)=0 (x,y,C1,C2)=0. Lagranzo metodu
Dif lygtis,i kuria ieina keli nepri- Duota y’+p(x)y=f(x)…(1).Suda-
klausomi kintamieji vadin dali- rom jai atitinkama homogenine
nem isvestinem. lygti y’+p(x)y=0…(2)
Kosi uzdavinys formuluojamas, dy/dx=-p(x)y ; dy/y=-p(x)dx ;
kai tenkina sal.:yx=x0=y0. ln y=-p(x)dx+lnC ; ln y/C=
Pirmiausia randam bendra spren- dini,o po to i ji istatom pradines sal. ir randam pastovuji C.
Apytikslis dif.lygciu sprendimas
izoklinu budu
y’=f(x,y)…(1).y’=tg=k,
k=const
f(x,y)=C
Dif.lygtys su atskiriamais kinta-
maisiais 1)P(y)dy=Q(x)dx…(1)
dy/dx=Q(x)/P(y) P(y)dy=Q(x)dx
y=(x,C).
2)P1(y)Q1(x)dy+P2(y)Q2(x)dx=0
P1(y)dy/P2(y)+Q2(x)dx/Q1(x)=0
yx=x0=y0.Randame C0 y=(x,C0)
Baigus spresti lygti reikia patikrin-
ti ar Q1(x)=0 ir P2(y)=0 tenkina
pradine sal..Jei tenkina,tai yra pa-
vieniai sprendiniai.
3) y’=f(ax+by+C). Pazymim
ax+by+C=u u=u(x) y’=f(u).
Homogenines dif lygtys ir ju
sprendimas
1)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0…(1)
P(x,y) ir Q(x,y)-to paties laipsnio
homogenine f-ija.P(tx,ty)=tnP(x,y)
..(2).P(tx,ty)=P(x,y). y’=f(x,y)
y’=f(1,y/x)=(y/x)…(3) .(y=ux;
u=u(x);y’=u’x+u;u=y/x.).
2)Gali buti,kaddif lygtis yra homogenine x-so atzvilgiu
x’=(x/y); x=uy x’=u’y+u u=(y).
3)y’=f((a1x+b1y+C1)/(a2x+b2y+C2))
Pazymim x=x1+mdx=dx1
y=y1+ndy=dy1
y’=dy/dx=dy1/dx1 x,y,y’(1)
dy1/dx1=f1((a1(x1+m)+b1(y1+n)+C1)/
(a2(x1+m)+b2(y1+n)+C2))=
=f1((a1x1+b1y1+a1m+b1n+C1)/(a2x1+
b2y1+a2m+b2n+C2)) .m ir n paren-
kam taip,kad a1m+b1n+C1=0 ir
a2m+b2n+C2=0…(2).
a) a1 b1
a2 b2 0,tada (2) tures vieninte-
li sprendini ir rasim m ir n reiks-
mes.Istate gausim:x1=x-m ir
y1=y-n…(2a).
dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1)/(a2x1+b2y1))=f1((a1+b1(y1/x1))/(a2+b2(y1/x1)))=
=(y1/x1)…(3).Pazymeje y1/u1=u;
y1=ux1;u=u(x1);y1’=u’x1+u statom
i (3).Gausim lygti,kurioje atsiskirs
kintamieji.Suintegrave vietoje u ra-
som u=y1/x1,po to istatom i (2a).
b)a1/a2=b1/b2c1/c2,tada gausim taip: a1/a2=b1/b2=ka1=a2k ,b1=
=b2k .dy1/dx1=f1((a1x1+b1y1+c1)/
(a2x1+b2y1+c2))=f1((a2kx1+b2ky1+
+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=f1((k(a2x1+
+b2y1)+c1)/(a2x1+b2y1+c2))=((kz+
+c1)/(z+c2));z=a2x1+b2y1 .Toliau
rasim z’,atsiskirs kintamieji.
c)a1/a2=b1/b2=c1/c2 .Tada a1/a2=
=b1/b2=c1/c2=ka1=a2k ;b1=b2k ;
c1=c2k .dy1/dx1=f((a1x1+b1y1+c1)/
(a2x1+b2y1+c2))=f1(k) ;dy1=f(k)dx1;
y1=f(k)dx1 .
Pirmos eiles tiesines dif. lygtys
y’+p(x)y=f(x)…(1) x’+q(y)x=(y)
ay’+p(x)by=f(x)/a .p(x) ir f(x)-api-
br.,tolyd. x[a;b].Jei f(x=0),tai
y’+p(x)y=0…(2)-tiesine homoge-
nine.Jei f(x)0 ,tai y’+p(x)y=f(x)-
tiesine nehomogenine.
Bernulio metodas Duota:y’+p(x)y=f(x)…(1).Bendras
sprendinys y=uv…(3),cia u=u(x) ir
v=v(x);y’=u’v+v’u…(4).(3)ir(4)
=-p(x)dx ; y/C=e-p(x)dx ; C=C(x);
y=Ce-p(x)dx…(3)-homogenines lyg-
ties bendras sprendinys.
y=C(x) e-p(x)dx…(4). y’=C’(x) e-p(x)dx
+C(x) e-p(x)dx(-p(x))…(5).(4)ir(5)
statom i (1): C’(x) e-p(x)dx-
-C(x)p(x)e-p(x)dx+ C(x)p(x)e-p(x)dx=
=f(x) ; C’(x) e-p(x)dx=f(x)
C(x)=f(x)ep(x)dxdx+C…(6).(6)
(4)
y=(f(x)ep(x)dxdx+C)e-p(x)dx.
Bernulio dif.lygtys Bernulio dif.
lygtis:y’+p(x)y=f(x)y ;ir
(Jei =1,gautume lygti su atskiria-
mais kint. y’+p(x)y=f(x)y ;dy/dx=
y(f(x)-p(x)); dy/y=(f(x)-p(x))dx).
p(x),f(x) tolydi,diferenc.x(a,b)
y’+p(x)y=f(x)y 1/y y0 (y=0
pirminis sprend.).y’y-+p(x)y1-=
=f(x).Pazymim y1-=z ,(1-)y1–1y’=
=z’ ; (1-)y-y’=z’ ;y-y’=z’/1-