Dinamika
5 (100%) 1 vote

Dinamika

TAŠKO DINAMIKA

Dinamikos aksiomos.

1. Materialus taškas nejuda arba juda tolygiai ir tiesiaeigiškai, kol atsiranda jėgos, kurios priverčia jį pakeisti šią būseną. Taško savybė išlikti būsenoje vadinama inertiškumu, jo judėjimas, kai neveikia jėgos vadinamas inerciniu.

2. Materialaus taško pagreitis proporcingas tašką veikiančiai jėgai ir nukreiptas jėgos veikimo linkme ( antrasis Niutono dėsnis ) ma=P. Šie dėsniai galioja pastovios masės taškui, judant nejudančios arba judančios tiesiaeigiškai ir tolygiai slenkančios koordinačių sistemos ( inercinės ) atžvilgiu. Kai kintamos masės taškas juda inercinės koordinačių sistemos atžvilgiu, pirmoji aksioma išreiškiama mv=const. , o antroji . masė yra kūno inertiškumo matas. Masę galima išreikšti m=G/g, čia G – svorio jega.

3. Poveikis ( akcija ) visada lygus atoveikiui ( reakcija ), tai yra dviejų kūnų poveikiai vienas kitam yra vienodo didumo ir priešingai nukreipti.

4. Geometrinės jėgų sudėties taisyklė: Tašką veikiančių dviejų jėgų AB=P1 ir AC=P2 poveikis ekvivalentiškas vienos jėgos AD = R poveikiui, kuri yra lygiagretainio ACBD įstrižainė. Iš antros ir ketvirtos aksiomos: kai tašką veikia kelios jėgos, kiekviena jėga suteikia taškui tokį pagreitį, kokį ji suteiktų veikdama viena – tai nepriklausomo jėgų veikimo dėsnis. Materialaus taško, kurį veikia kelios jėgos, pagreitis lygus geometrinei sumai pagreičių, kuriuos taškui suteikia kiekviena jėga atskirai – tai jėgų veikimo superpozicijos principas.

Materialaus taško judėjimo dif. lygtys.

Materialaus taško judėjimą aprašo vektorinė dif. lygtis, kai pagreitis a yra 1- oji greičio v ir 2- oji padėties vektoriaus išvestinė: . Ji ekvivalenti trim skaliarinėm dif. lygtim, gaunamom išreiškus vektorių r taško koordinatėmis, o jėgą P – projekcijomis Dekarto sistemos ašyse Px, Py ir Pz.: . Naudojant natūraliąją koordinačių sistemą gaunamos tris dif. lygtys, aprašančios taško judėjimą natūraliosios sistemos atžvilgiu: , čia ir v2/ρ – tangentinė ir normalinė pagreičio projekcijos; PΤ, Pn ir Pb – jėgos P projekcijos trajektorijos liestinėje, svarbiausioje normalėje ir binormalėje. Iš Pb=0 matyti, kad jėga tašką visada veikia glaustinėje plokštumoje. Tiriant suvaržyto taško judėjimą, atmetami jį varžantys ryšiai, ir jie pakeičiami reakcijomis. Dinamikoje vyrauja dvejopi uždaviniai: 1) Žinant taško judėjimo dėsnį, ieškoma jį veikianti jėga – tai tiesioginis uždavinys; 2) Žinant veikiančią jėgą, ieškomas taško judėjimo dėsnis – tai atvirkštinis, arba pagrindinis uždavinys Pirmu atveju, naudojantis Dekarto sistema , būna žinomas taško judėjimo dėsnis x=x(t), y=y(t), z=z(t) ir taško masė m. Randamos antrosios išvestinės ir apskaičiuojamos veikiančios jėgos projekcijos ašyse. Antruoju atveju žinoma taško masė ir veikianti jėga, priklausanti nuo taško padėties, greičio ir laiko. Nagrinėjant judėjimą Dekarto sistemoje reikia integruoti dif. lygčių sistemą: Suintegravus nustatomas taško judėjimo dėsnis: x=x(t,C1,…,C6), y=y(t,C1,…,C6), z=z(t, C1,…,C6); Čia C1,…,C6 – integravimo konstantos, nustatomos iš pradinių taško judėjimo sąlygų. Pradines judėjimo sąlygas nusako padėties vektoriaus ir taško greičio reikšmės laiko momentu t=t0. Taigi tiriant taško judėjimą Dekarto sistemos atžvilgiu reikia žinoti taško koordinates x0,y0, z0; ir greičio projekcijas laiko momentu t0. Tai įrašius į aukščiau minėtas lygtis gaunamos 3 lygtys su 6-iomis nežinomomis konstantomis C1, …., C6. 3 trūkstamos lygtys sudaromos radus taško greičio projekcijas: ir įrašius į šias lygtis t0 bei žinomas greičio projekcijas .

D‘Alambero principas.

Jis įrodė, kad, remiantis statikos metodais, galima sudaryti lygtis, kurios sieja jėgas, veikiančias judantį materialų tašką. Tarkim jėga P yra veikiančių jėgų atstojamoji. Pagal antrąjį Niutono dėsnį ma=P. Perkėlus į vieną lygybės pusę P+(-ma)=0, atrodo taip pat, kaip jėgos P ir vektoriaus –ma pusiausvyros lygtis. Vektorius Φ=-ma vadinamas inercijos jėga. Inercijos jėgos didumas lygus taško masės ir pagreičio modulio sandaugai ir kryptis priešinga pagreičio krypčiai. Prie materialų tašką veikiančios jėgos P pridėjus inercijos jėgą Φ,gaunama atsverta jėgų sistema. Lytys P+Φ=0 vadinama dinamine taško pusiausvyros lygtim. Sprendžiant uždavinius inercijos jėgą patogu išskaidyti į komponentus natūraliųjų ašių kryptimis:Φ=Φn+ΦT. Φn-išcentrinė (normalinė) inercijos jėga ΦT-tangentinė inercijos jėga: .

TAŠKO DINAMIKOS TEOREMOS

Judėjimo kiekio teorema.

Teoremos lygtis išvedama iš lygties . Suintegravus gaunama , čia v0-greitis pradiniu momentu t0, v-greitis laiko momentu t. Integralas vadinamas jėgos impulsu, vektorius mv – taško judėjimo kiekiu.

Materialaus taško judėjimo kiekio pokytis per kurį nors laikotarpį lygus tašką veikiančių jėgų impulsų geometrinei sumai. Taško judėjimo kiekio projekcijos, kurioje nors ašyje pokytis lygus tašką veikiančių jėgų projekcijų toje ašyje sumai: .

Kinetinio momento teorema.

Materialaus taško judėjimo kiekio momentas, kurio nors taško O atžvilgiu: Lo=r×mv vadinama kinetiniu momentu. Vektorius Lo statmenas vektorių r ir mv plokštumai. Materialaus taško kinetinio momento
kurio nors nejudamo centro atžvilgiu išvestinė pagal laiką lygi tą tašką veikiančios jėgos momentui to paties centro atžvilgiu: . Materialaus taško kinetinio momento kurios nors ašies atžvilgiu išvestinė pagal laiką lygi tą tašką veikiančios jėgos momentui tos pačios ašies atžvilgiu:

Darbas ir galingumas.

Veikiamas jėgos P taškas C juda trajektorija AB greičiu v, per laikotarpį dt jo poslinkis dr=vdt: dA=Pdr. Kadangi dr modulis lygus trajektorijos lanko diferencialui ds, tai:dA=cos φds. Elementarus jėgos darbas lygus jėgos projekcijos trajektorijoje liestinei ir elementaraus kelio ds sandaugai. Kai jėga veikia besisukantį apie ašį kūną, tai jos veikiamo taško kelias ds=r*dφ, r-taško sukimosi apie ašį spindulys, dφ-kūno posūkio kampas. Taigi Pcosφ*r=M, M-jėgos P momentas ašies atžvilgiu, taigi jėgos P darbas A=∫Mdφ. Naudingumo koeficientas tai naudingo darbo santykis su visu darbu. Mašinos pajėgumas per tam tikrą laiką atlikti tam tikrą darbą apibūdinamas mašinos galingumu N. Jį galima išreikšti N=dA/dt, o taip pat jėgos ir jos veikiamo taško sandauga: N=P*v. Kai judėjimas sukamas: N=Mω, čia ω – kampinis greitis, M-jėgos P momentas.

Svorio tamprumo, trinties ir traukos jėgų darbas.

Svorio jėgos darbas lygus svorio jėgos didumui, padaugintam iš jos veikiamo taško vertikalaus poslinkio: A=±Gh. Trinties jėgos darbas: tarkime veikiamas jėgos P svorio G kūnas per tam tikrą laiką nuslinko atstumą s. Kadangi normalinė reakcija N=Gcosα nekinta, tai slydimo trinties jėga F= fN pastovi ir A=-Fs. Tarkime veikiamas jėgos P ratas rieda neslysdamas. Tuomet trinties jėgos veikimo taškas yra rato greičių centras, kurio greitis lygus 0. Šiuo atveju F= 0. Rato judėjimui priešinasi jėgų pora G ir N. Šios poros momentas M=kN yra pastovus, čia k-riedėjimo trinties koeficientas. Kadangi poros momento ir posūkio kampo φ kryptys yra priešingos, tai: A=-Mφ=-kNφ. Rato centro greitis v=ωR, bet v=ds/dt ir ω=dφ/dt, todėl rato centro kelias s=Rφ, taigi riedėjimo trinties darbas

Trinties jėgų darbas visada neigiamas.

Tamprumo jėgos darbas. Deformuota spyruoklė prie jos pritvirtintą kūną veikia tamprumo jėga, kurios projekcija ašyje Ox: T=-kx, čia k-standumo koeficientas, x-spyruoklės deformacija. Laikant, kad x1 ir x2 pradinė ir galinė spyruoklės deformacijos, tamprumo jėgos darbas . Tarkime pradinis tamprumo jėgų didumas T1=kx1 galinis tamprumo jėgos didumas T2=kx2, spyruoklės deformacijos pokytis Δx=x2-x1. Tada .

Traukos jėgų darbas.

Šiuo metu Jūs matote 31% šio straipsnio.
Matomi 1350 žodžiai iš 4332 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.