Geometrijos špera
5 (100%) 1 vote

Geometrijos špera

1. Lygybės dešinės pusė nepriklauso nuo taško P pasirinkimo.

•> Paimkite, bet kokį tašką Q. Tada , nes . Taigi, lygybės dešinė pusė nepriklauso nuo taško pasirinkimo. <•

2. Taškas , kai yra tarp taškų P1, P2 ir dalija atkarpą P1, P2 santykiu , tai yra

•> Taigi <•

3. Trikampio, kurio viršūnės P1, P2, P3, pusiaukraštinių susikirtimo taškas yra .

•> Pradžioje įrodysime, kad pusiaukraštinės susikerta taške P. Iš lygybės (1) , galima matyti, kad taškas p yra tiesėje tarp taškų . Kadangi taškas Q12 yra kraštinės P1P2 vidurio taškas, tai taškas P priklauso pusiaukampinei, išvestai iš taško P3, ir be to dalina ją santykiu 1:2. Analogiškai, lygybę (1) galima perrašyti kitu būdu ir tada matysime, kad taškas P priklauso pusiaukampinei, išvestai iš taško P2 (arba P1).<•

4. Afinusis darinys taškų turi sekančią geometrinę prasmę: čia [ABC] = S(A,B,C) yra orientuotas trikampio plotas.

•> Naudojantis formule orientuotas trikampio plotas gali būti suskaičiuotas naudojant mišrią vektorių sandaugą, pavyzdžiui, dviem skirtingais būdais [ABC] = ½ (AC,BC) = ½ (BA,CA). Tarkime, kad . Tada , , . Dabar nesunkiai suskaičiuojame orientuotus plotus .Iš čia ir gauname reikalingas formules.<•

5. Atstumas d tarp taško su koordinatėmis Q = (x1,y1) ir tiesės l (užduotos formaline lygtimi) (1) yra: . Jei duota bendroji tiesės lygtis

ax + by + c = 0 tai: (2) .

•> Tarkime duota normalinė tiesės lygtis. Nuleiskime statmenį iš taško Q į tiesę l pažymėkime jį Q0 = (x0,y0). Tada vektorius QQ0 yra lygiagreti tos tiesės normalės vektoriui. Todėl skaliarinės sandaugos modulis |QQ0  n| yra lygus d. nes taškas Q0 priklauso tiesei l ir todėl tenkina lygtį (1) . Lygybė (2) seka iš jau įrodytos lygybės, kadangi normalinė tiesės lygtis atitinkanti bendrąja yra . <•

6. Jeigu duotos dviejų tiesių lygtys , tai visos tiesės einančios per dviejų duotų tiesių sankirtos tašką sudaro tiesių pluoštą. Visas tokio pluošto tiesias galima užrašyti taip (1): , čia ,  yra bet kokie skaičiai.

•>Pirma pastebime, kad lygtis (1) yra bendroji tiesės lygtis, kuri eina per tiesių l1 ir l2 bendrą tašką B. Paaiškinkite, kodėl kiekviena tiesė l einanti per tašką B yra pavidalo (1). Tiesei l nusakyti pakanka be taško B žinoti dar vieną tašką P = (x1,y1). Tarkime, kad ,  yra sprendiniai lygties: (2) . Tada aišku, kad tiesė (1) su tokiais , eina per tašką P, taigi tiesė sutampa su tiese l. Lygtis (2) visada turi sprendinių (,  nežinomieji). <•

7. Determinanto modulis lygus tetraedro tūriui.

•> Paimkime tris vektorius . Jie turi tokias koordinates: , , . Kaip žinome, stačiakampio gretasienio orientuotas tūris yra vektorių mišri sandauga: . Pastarasis determinantas yra lygus determinantui . Įrodymo pabaiga seka iš lemos – kiekvieną stačiakampį gretasienį galime padalinti į 6 vienodo tūrio tetraedrus.<•

8. Lema. Kiekvieną stačiakampį gretasienį galime padalinti į 6 vienodo tūrio tetraedrus.

•> Kiekvieną stačiakampį gretasienį, kurio viršūnės A1, A2, A3, A4, B1, B2, B3, B4, galime padalinti į dvi vienodo tūrio prizmes. Stačiakampis gretasienis ir viena iš prizmių su viršūnėmis A1, A2, A3, B1, B2, B3. Vienodą tūrį turi ir padalina prizmę: {A1, A2, A3, B1}, {B1, B2, B3, A3}, {A2, A3, B1, B2}. <•

9. Plokštumos normalinėje lygtyje p yra atstumas iki koordinačių pradžios.

•> Tarkime atstumas iki koordinačių pradžios yra d. Tada koordinačių pradžiai tašką D, priklausantį plokštumai, įstatę į plokštumos normalinę lygtį gauname: OD  n – p = d – p = 0, nes vektoriaus OD koordinatės yra lygios taško D koordinatėms. Taigi d = p, ką ir reikėjo įrodyti. <•

10. Atstumą tarp 2 tiesių , , galime apskaičiuoti pagal formulę: (1) .

•> Turime 2 tiese L1 ir L2. Tiesės L1 krypties vektorius k1 = (a,b,c), tiesės L2 krypties vektorius k2 = (n,k,l). Taškas A = (x1,y1,z1) yra tiesėje L1, B = (x2,y2,z2) yra tiesėje L2. Per tašką B galime išvesti tiesę L’ lygiagrečią tiesei L1: . Per tieses L1 ir L’ galime išvesti plokštumą p, kurios normaliais vektorius yra vektorinė sandauga vektorių (a,b,c)  (n,k,l), todėl plokštumo lygtis yra: . Plokštuma p lygiagreti tiesei L1, todėl atstumą tarp plokštumos p ir tiesės L1 galime rasti kaip atstumą tarp tos plokštumos ir bet kokio taško toje tiesėje. Pagal žinomą formulę: , čia plokštumos lygtis apibrėžta pagal formulę: p: Ax + By + Cz + D = 0, taškas T = (x1,y1,z1). Gauname, kad atstumas lygus (1). Šis atstumas ir yra trumpiausias atstumas tarp tiesių L1 ir L2. <•

Šiuo metu Jūs matote 31% šio straipsnio.
Matomi 790 žodžiai iš 2578 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.