Integralai
5 (100%) 1 vote

Integralai

1.Pirmykstės funkcijos ir neapibrėžtinio integralo savokos. Neapibrėžtinio integralo savybės

1 apibrėžimas. Funkcija F(x) vadinama funkcijos f(x) pirmykšte funkcija atkarpoje [a;b], jeigu visuose šios atkarpos taškuose x teisinga lygybė

arba

Analogiškai apibrėžiama funkcijos f(x) pirmykštė funkcija begaliniame bei atvirame intervale (a;b).

Teorema. Jei F1(x) ir F2(x) yra dvi funkcijos f(x) pirmykštės funkcijos atkarpoje [a;b], tai jos viena nuo kitos skiriasi konstanta C, t.y.

.

Remiantis pirmykstės funkcijos apibrežimu, visuose atkarpos [a;b] taškuose x teisingos lygybes:

Iš šių lygybių gauname, kad

, ,

.

Toliau pasiremsime anksciau įrodytu teiginiu: jeigu funkcijos išvestinė kuriame nors intervale lygi nuliui, tai funkcija shiame intervale yra pastovi.

Vadinasi,

, .

Išvada. Kai F(x) yra viena funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų atkarpoje [a;b], tai kiekviena kita tos funkcijos pirmykštė funkcija šioje atkarpoje išreiškiama suma F(x)+C, čia C=const.

2 apibrežimas. Aibė visų duotossios funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų F(x)+C, čia C=const., vadinama funkcijos f(x) neapibrėžtiniu integralu ir žymima simboliu .

Funkcija f(x) vadinama pointegraline funkcija, sandauga f(x)dx — pointegraliniu reiškiniu, ženklas — integralo ženklu, x — integravimo kintamuoju.

Vadinasi,

, C=const, kai .

Veiksmas, kuriuo surandama duotosios funkcijos pirmykštė funkcija, vadinamas integravimu. Jo rezultatas — pirmykščių funkcijų begalinė aibė. Tuo šis veiksmas skiriasi nuo jam atvirkštinio diferencijavimo veiksmo, nes funkcijos išvestinė apskaičiuojama vienareikšmiškai.

Geometriškai neapibėžtinis integralas nusako šeimą (aibę) kreivių y=F(x)+C, kurių kiekviena gaunama lygiagrečiai pastumiant funkcijos y=f(x) grafiką Oy ašies kryptimi į viršų, kai C>0, ar į apačią, kai C<0

Paweiksliukas

Bendruoju atveju, ne kiekviena funkcija f(x), apibrėžta atkarpoje [a;b], turi pirmykštę funkciją. Tolydžiųjų atkarpoje [a;b] funkcijų pirmykštė funkcija (kartu ir neapibrėžtinis integralas) egzistuoja visada. Šį teiginį kol kas laikysime teisingu be įrodymo ir toliau kalbėsime tik apie tolydžiųjų funkcijų integravimą.

Iš neapibrėžtinio integralo apibrėžimo išplaukia šie teiginiai:

1. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei funkcijai, t.y.

, nes

.

2. Neapibrėžtinio integralo diferencialas yra lygus pointegraliniam reiškiniui, t.y.

.

3. Bet kurios funkcijos F(x) diferencialo neapibrėžtinis integralas lygus tai funkcijai, sudėtai su konstanta, t.y.

, nes

.

SAVYBĖS

1 teorema. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš integralo ženklą:

, kai . (1)

Diferencijuojant abi (1) lygybės puses, remiantis teiginiu, kad neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi pointegralinei funkcijai, gausime:

,

.

Žinome, kad turinčios vienodas išvestines funkcijos ir skiriasi tik konstanta, todėl priklauso tai pačiai funkcijos f(x) pirmykščių funkcijų aibei. Tokia prasme reikia suprasti (1) lygybę.

2 teorema. Dviejų ar didesnio baigtinio skaiciaus funkcijų algebrinės sumos integralas yra lygus šių funkcijų integralų algebrinei sumai:

;

.

Įrodymas analogiškas pirmos teoremos įrodymui.

Iš šių dviejų teoremų išplaukia, kad

.

3 teorema (apie integravimo formulių invariantiškumą). Jeigu ir — funkcija turinti tolydžią išvestinę, tai

.

Kadangi , tai arba . Imkime sudėtinę funkciją . Žinome, jog pirmosios eilės diferencialui būdinga formos invariantiškumo savybė, todėl

.

Tuomet .

Vadinasi, pagrindinių integralų formules visada yra teisingos, ar integravimo kintamasis yra nepriklausomas, ar bet kuri diferencijuojama to kintamojo funkcija. Ši savybė vadinama integravimo formulių invariantiškumo savybe.

Remdamiesi 3 teorema, neapibrėžtinių integralų lentelę galėsime užrašyti funkcijai :

Šiuo metu Jūs matote 51% šio straipsnio.
Matomi 557 žodžiai iš 1098 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.