Kubinis splainas
5 (100%) 1 vote

Kubinis splainas

1. Matematinis uždavinio formulavimas.

Duota funkcijos y = f(x) reikšmių lentelė (xi, yi) , i = 1, 2, … ,N. Rasti kubinį splainą y = S3i(x) , tenkinantį Lagranžo interpoliavimo sąlygą: S3i(x) = yi , i = 1, 2, … ,N.

x0=a x1 x2 … xn=b

y0 y1 y2 … yn

Reikia paskaičiuoti y-o reikšmę, pagal bet kokią x-o reikšmę iš intervalo [a, b], naudojant sudarytąjį kubinį splainą.

PVZ. Duota štai tokia lentelė.

xi 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

yI 1.2 4 0.8 2.5 2 3 1.5

Šio kubinio splaino grafikas:

Pagal lentelės duomenis sudarome kubinį splainą ir apskaičiuojame jo reikšmę taške x.

2. Teorinė dalis.

Splaino užrašymo formos.

Literatūroje nurodomos keturios splainų užrašymo formos, iš kurių tik dvi naudojamos praktiniuose skaičiavimuose, tai:

1) kiekviename intervale [xi, xi+1] nurodoma polinomo išraiška t.y., dalimis polinominė forma;

2) splainas užrašomas tiesine B – splainų kombinacija.

Splaino apibrėžimas.

Sakykime, kad intervale [a, b] yra apibrėžta funkcija y = f(x), ir tame intervale yra žinoma n+1 reikšmė.

x0=a x1 x2 … xn=b

y0 y1 y2 … yn

Funkcija S(x), kuri, pirma, kiekviename intervale [xi, xi+1] yra m – ojo laipsnio daugianaris:

Si(x) = aixm + ai1xm-1 + … + aim-1x + aim , antra , tenkina interpoliavimo sąlygą S(xi)=f(xi), i = 0, 1, … ,n, ir, trečia, kurios išvestinės iki (m-1)-osios eilės imtinai yra tolydžios intervale [a, b], vadinama m-osios eilės splainu.

Splainai gali būti tiesiniai, kvadratiniai, bet dažniausiai naudojami kubiniai splainai.

Kubiniai splainai.

Kubinis splainas S3(x) yra du kartus tolydžiai diferencijuojama funkcija – kubinis daugianaris kiekviename intervale xi  x  xi+1:

S3i(x) = aix3 + bix2 + cix + di , i = 0, 1, … ,n-1.

Iš viso kubinis splainas turi 4N koeficientų, taigi turime sudaryti 4N lygčių sistemą šiems koeficientams apskaičiuoti. Iš interpoliavimo sąlygos gausime 2N lygčių:

S3i(xi) = yi,

S3i(xi+1) = yi+1.

Iš išvestinių tolydumo sąlygos – dar (2N – 2) lygtis:

S’3i(xi) = S’3i-1(xi),

S”3i(xi) = S”3i-1(xi).

Taigi dar turime sudaryti dvi lygtis. Paprastai tos lygtys gaunamos iš kraštinių sąlygų.

Kraštinės sąlygos.

Praktiškai taikant kubinius splainus, reikia tinkamai parinkti kraštines sąlygas. Tai ypač svarbu, jei splainas turi gerai sutapti su aproksimuojamąja funkcija interpoliavimo intervalo galinėse srityse. Kubinių splainų kraštinės sąlygos didžiausią įtaką splaino formai turi interpoliavimo intervalo galinėse srityse ir turi nedidelę įtaką kitose interpoliavimo intervalo srityse. Tai reiškia, kad kraštines sąlygas galima parinkti, remiantis lokalinėmis aproksimuojamosios funkcijos savybėmis.

Jei žinomos f’(x0) ir f’(xN) arba f”(x0) ir f”(xN) reikšmės, tai tikslinga reikalauti, kad splaino S3i(x) atitinkamos eilės išvestinės taškuose x0 ir xN sutaptų su funkcijos f(x) tos pačios eilės išvestinėmis. Jei yra galimybė rinktis tarp pirmosios ir antrosios eilės išvestinių, pirmenybė teiktina pirmosios eilės išvestinėms.

Tačiau dažniausiai yra keliamos sąlygos antrosios eilės išvestinėms:

S”30(x0) = 0,

S”3N(xN) = 0.

Šios sąlygos vadinamos natūraliosiomis, o splainas, tenkinantis natūraliąsias sąlygas – natūraliuoju. Fizinė šių sąlygų prasmė – splaino galai gali laisvai sukiotis apie ašį, esančią pradiniame (ar galiniame) mazge.

Pervertimas į triįstrižaininę lygčių sistemą.

Sudarytąją sistemą galima spręsti tiesiogiai, tačiau mes ją pertvarkysime taip, kad ji smarkiai supaprastėtų – paversime triįstrižaine lygčių sistema, kurioje yra (N+1) lygtis.

Kadangi S”3i(x) yra tiesinė funkcija, o S”3(x) yra tolydi, tai splaino antrąją išvestinę galime aproksimuoti tiesiniu splainu:

S”3i(x) = gi + (x – xi)(gi+1 – gi)/hi ,

čia gi ir gi+1 yra nauji nežinomieji,

gi = S”3i(xi).

hi = (xi – xi-1) – žingsnis tarp artimiausių mazgų.

Suintegruokime šią lygybę:

S’3i(x) = ei + gi(x – xi) + (gi+1 – gi)(x – xi)2/2hi ,

čia mes apibrėžėme dar vieną naują nežinomąjį S’3i(xi) = ei. Į šią lygtį įrašę x = xi+1, remdamiesi splaino išvestinės tolydumu, gausime:

ei+1 = ei + (gi+1 – gi)hi/2.

Dar karą suintegruokime tą pačią lygybę:

S3i(x) = yi + ei(x – xi) + gi(x – xi)2/2 + (gi+1 – gi)(x – xi)3/6hi .

Įrašykime į ją x = xi+1 ir išreikšime ei:

Šiuo metu Jūs matote 30% šio straipsnio.
Matomi 707 žodžiai iš 2339 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.