PRIEDAI
Pratimų atlikimo pavyzdžiai
Pagrindiniai teiginių logikos terminai ir simboliai
2. _ (p × r) É s
4. šešios: p ×_p, _r, _p, p, p, r.
Teiginių logikos formulės reikšmės nustatymas
p q r _ (p Ś q) × r
1.2.3.4.5.6.7.8. 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 00 1 00 1 00 1 00 1 00 1 01 0 11 0 0
(2) (1) (3)
Teiginių logikos formulių rūšys
p q _ (p Ś q) × (q Ś p) × _p
1.2.3.4. 1100 1010 0 1 0 1 0 00 1 0 1 0 00 1 0 1 0 11 0 0 0 0 1
1.
(4) (2) (5) (3) (6) (1)
Formulės tiesos lentelėje (6) vien eilutės “klaidinga”, taigi formulė _(p Ś q) × (q Ś p) × _p yra netinkama.
2. transpozicijos dėsnio formulė tokia:
(p É q) ŗ (_q É _p)
Taikom nuoseklios substitucijos taisyklę transpozicijos dėsnio formulės kintamajam q (q keičiame į q Ś r):
p É (q Ś r) ŗ (_(q Ś r) É _p)
Gavome, kad p É (q Ś r) ir _(q Ś r) É _p yra ekvivalentai.
3.
Pagal ekvivalencijos pakeitimo implikacija taisyklę iš validžios formulės p ŗ _ _p gauname validžią formulę
p É _ _p
Loginiai formulių santykiai
1. ar formulė p Ś _q seka iš šių formulių:
iš formulės (q É p) × _p
p q (q É p) × _p p Ś _q
1.2.3.4. 1100 1010 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1
(2) (3) (1) (2) (1)
Sudarytoje tiesos matricoje nėra tokios eilutės, kurioje formulė (q É p) × _p turi teiginio reikšmę “teisinga”, o formulė p Ś _q – reikšmę “klaidinga”, taigi formulė p Ś _q yra formulės (q É p) × _p pasekmė.
2. Nustatykite, ar kuri nors iš formulių porų yra prieštaravimo santykyje?
p ŗ q ir p × _q
p É q ir p × _q
p q p ŗ q p É q p × _q
1.2.3.4. 1100 1010 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1
(1) (1) (2) (1)
Formulių pora p ŗ q ir p × _q nėra prieštaravimo santykyje, nes formulė p ŗ q ir formulė p × _q suderinama pagal reikšmę “klaidinga” (eilutė nr.3). Ar kita formulių pora yra prieštaravimo santykyje, ar ne, nustatykite patys.
4. Nustatykite santykius tarp formulių (_p É q) É r ir q
p q r (_p É q) É r
1.2.3.4.5.6.7.8. 11110000 11001100 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1
(1) (2) (3)
Formulės (_p É q) É r ir q suderinamos pagal reikšmę “teisinga” (eilutės nr.1 ir nr.5), pagal reikšmę“klaidinga” (eilutė nr.4), formulės nėra viena kitos pasekmė (tai parodančių eilučių yra daug, pavyzdžiu paimsime po vieną: pvz., eilutė nr.2 rodo, kad (_p É q) É r nėra q pasekmė, o eilutė nr.3 rodo, kad q nėra (_p É q) É r pasekmė.
Aptariamos formulės yra logiškai nepriklausomos (nes suderinamos tiek pagal reikšmę “teisinga”, tiek pagal reikšmę “klaidinga”, bet jos nėra viena kitos pasekmė).
Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas
1. Pakeiskite formulėje ((p É q) × p) É q skliausteliuose esantį implikacijos operatorių disjunkcijos operatoriumi.
Implikacijos ir disjunkcijos ekvivalencija tokia:
(p É q) ŗ (_ p Ś q)
Taikom ekvivalentų substitucijos taisyklę formulės ((p É q) × p) É q subformulei p É q ir gauname:
((_ p Ś q) × p) É q
Pagal ekvivalentų substitucijos taisyklę gautoji formulė yra formulės ((p É q) × p) É q ekvivalentas.
Teiginių logika ir samprotavimas
1.
1. (p Ś _q) Ś (q É s) Pr
2. _ (q É s) Pr
3. p Ś _q DS 1, 2
1. p É _r Pr
2. _ (p Ś q) Pr
3. _ (p Ś q)×(p É _r) Conj 2, 1
2.
1. (_ r É q) É _ q Pr
2. _ _q Pr / _ (_ r É q)
3. _ (_ r É q) MT 1, 2
1. p Ś q Ś _ r Pr
2. _ (p Ś q) Pr / _ r
3. _ r DS 1, 2
Asociacijos dėsnio
3.
1. p É (p Ś _r) Pr
2. _ p Pr / p Ś _r
Išvada netaisyklinga. Pažeidžia Modus Ponens taisyklę.
4.
1. _ q É p Pr
2. (p É r) × _ q Pr / r
3. _ q Simp 2
4. p MP 1, 3
5. p É r Simp 2
6. r MP 5, 4 QED
5.
1. _ (p Ś q) É r Pr
2. _ p Pr
3. _ q Pr / r
4. _ r AP
5. _ _ (p Ś q) MT 4, 1
6. p Ś q DN 5
7. q DS 6, 2
8. q × _ q Conj 7, 3
9. r Ider 4 – 8 QED
6.
Pirmas būdas
1. p Ś (q Ś _r)
Pr skliaustus sudėti leidžia asociacijos dėsnis
2. _p Pr
3. r Pr / q
4. _q AP
5. q Ś _r DS 1, 4
6. _r DS 5, 4
7. r × _r Conj 3, 6
8. q Ider 4 –7 QED
Antras būdas
1. p Ś (q Ś _r) Pr skliaustus sudėti leidžia asociacijos dėsnis
2. _p Pr
3. r Pr / q
4. q Ś _r DS 1, 4
5. _ _r DN 3
6. q DS 4, 6 QED
7.
1. (_p Ś q) É r Pr
2. _ p Pr / _ r
Sudarome tiesos matricą:
p q r (_p Ś q) É r _p _r
1.2.3.4.5.6.7.8. 11110000 11001100 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1
(1) (2) (3) (1) (1)
Esama kombinacijos, kai samprotavimo premisos (_p Ś q) É r ir _p teisingos, o išvada _r klaidinga (matricos eilutės nr.5 ir nr.7), taigi samprotavimas nėra svarus.