Logikos mokslas ir jo objektas teiginių logika
5 (100%) 1 vote

Logikos mokslas ir jo objektas teiginių logika

TURINYS

LOGIKOS MOKSLAS IR JO OBJEKTAS

TEIGINIŲ LOGIKA

Pagrindiniai teiginių logikos terminai ir simboliai

Propozicinių kintamųjų eilės interpretacija ir teiginių logikos operatorių reikšmės Teiginių logikos operatorių reikšmės

Teiginių logikos formulės reikšmės nustatymas

Teiginių logikos formulių rūšys

Loginiai formulių santykiai

Teiginių logikos operatorių pakeičiamumas

Teiginių logika ir protavimas

Teiginių logika ir natūralioji kalba

Normalioji formulės forma

LOGIKOS MOKSLAS IR JO OBJEKTAS

Paprasčiausias logikos mokslo apibūdinimas yra šis: logika yra mokslas apie samprotavimo taisyklingumą.

Kiekvienas vidurinę mokyklą baigęs asmuo turi daugiau ar mažiau tikslią nuovoką apie tai, kas yra taisyklingumas ir samprotavimas.Apie taisyklingumą (tiesa, ne samprotavimo, o kalbos) šiek tiek žinome iš gimtosios kalbos gramatikos, o apie samprotavimą nuvokiame, nes pakankamai dažnai vartojame veiksmažodį “samprotauti”. Aiškiau samprotavimo taisyklingumą, suprasite, baigę logikos studijas. Dabar pateiksime tik keletą samprotavimo pavyzdžių ir samprotavimo apibrėžimą.

Samprotavimas yra naujo teiginio gavimas iš turimų teiginių.

Teiginys – tai toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Tačiau ne visi sakiniai yra teiginiai, o tik tie, kurie reiškia sprendimą apie daiktą ar reiškinį. Jei daiktui iš tikrųjų būdinga tai, ką mes apie jį sprendžiame, šį sprendimą reiškiantis sakinys yra teisingas. Pvz., sakinys “Vilnius yra Lietuvos sostinė”. Jei daiktui nėra būdinga tai, ką mes apie daiktą sprendžiame, sakinys yra klaidingas. Pvz., sakinys “Paryžius yra Lietuvos sostinė”. Sakinys, kuris nereiškia sprendimo, nėra nei teisingas, nei klaidingas. Pvz., klausimą reiškiantis sakinys “Kiek dabar valandų?”. Taigi samprotavimas yra naujo sprendimą reiškiančio sakinio gavimas iš turimų sakinių.

Samprotavimų būna įvairių. Kai kuriems jų keliami skirtingi taisyklingumo reikalavimai. Samprotavimai, kuriais gaunamas teiginys būtinai teisingas, jei turimi teiginiai teisingi, vadinami dedukciniais. Pateiksime jų pavyzdžių:

1. “Jei lyja, tai šlapia. Lyja. Taigi šlapia.”

2. “Jei lyja, tai šlapia. Šlapia. Taigi lyja.”

3. “Jei Vilnius yra Lietuvos sostinė, tai Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė. Vilnius yra Lietuvos sostinė. Taigi Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė.”

4. “Visi europiečiai žmonės. Aš europietis. Taigi aš žmogus.”

Pirmame, trečiame ir ketvirtame pavyzdyje pateikti taisyklingi dedukciniai samprotavimai. Jais būtinai gausime teisingus teiginius, jei duoti teiginiai teisingi. Pirmo pavyzdžio teiginys “Jei lyja, tai šlapia” teisingas. Jei būtų teisingas ir antras teiginys “Lyja”, tai gautas teiginys “Šlapia” irgi būtų teisingas. Trečio ir ketvirto pavyzdžio teiginiai “Jei Vilnius yra Lietuvos sostinė, tai Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė”, “Vilnius yra Lietuvos sostinė”, “Visi europiečiai žmonės” ir “Aš europietis” teisingi. Iš jų gauti teiginiai “Vilniuje yra Lietuvos valdžios būstinė” ir “Aš žmogus” irgi teisingi.

Antrasis pavyzdžio samprotavimas nėra taisyklingas dedukcinis samprotavimas: teiginys “Lyja”nebūtinai yra teisingas net ir tuo atveju, jei teiginiai “Jei lyja, tai šlapia” ir “Šlapia” abu būtų teisingi: teisingu gali būti teiginys “Taigi tirpsta sniegas”.

Tam, kad būtų įmanoma nustatyti samprotavimų taisyklingumą, logikai tyrinėja teiginių ypatumus, jų sandarą, ryšių dėsningumus, formuluoja teorijas, grindžiančias samprotavimų teiginiais taisykles bei kuria metodus, kuriais galima nustatyti, ar samprotavimai tų taisyklių nepažeidžia.

Atliekant loginius tyrimus, logikams tenka atsiriboti nuo taisyklingumui nereikšmingų teiginių ypatumų, teorijų bei taisyklių formuluotėse vengti dviprasmybių: dviprasmybės verstų abejoti logikos taisyklių ir teorijų patikimumu.

Logikos teorijų ir jomis pagrįstų taisyklių bei metodų patikimumą padeda užtikrinti dirbtinės kalbos, kuriomis reiškiami pagrindiniai logikos terminai, teorijos, taisyklės bei metodai. Šios dirbtinės kalbos turi savo morfologiją, sintaksę, semantiką, jų išraiškos turi tikslias reikšmes. Be to, logikos teorijose panaudojamas aksiominis dedukcinis metodas, kurio dėka svarbiausios loginių tyrimų išvados tampa teoremomis, išvedamomis iš logikos aksiomų – nenuginčijamų teisingų logikos teorijos teiginių. Logika, kuri naudoja dirbtines kalbas ir aksiominį dedukcinį teorinių tyrimų metodą, vadinama simboline logika.

Natūralios kalbos žodžiai yra daugiareikšmiai. Daugiareikšmiškumas šalinamas apibrėžiant vartojamų žodžių reikšmes. Tačiau teorijose ir taisyklėse, kurios formuluojamos natūralia žodine kalba, dviprasmybių išvengti neįmanoma: jose tenka pavartoti ir tokius natūralios kalbos žodžius, kurių apibrėžti neįmanoma. Pvz., mes pateikėme termino “teiginys” apibrėžimą, pagal kurį teiginys – tai toks sakinys, kuris yra arba teisingas, arba klaidingas. Paaiškinome, kad tik tie sakiniai, kurie reiškia sprendimą, gali būti teisingi ar klaidingi. Lyg ir viskas aišku. Tačiau pamėginkite nustatyti, ar žodžių junginys “Žalios bespalvės idėjos įnirtingai miega” yra teisingas ar klaidingas? Nustatant pateikto pavyzdžio
teisingumą, keblumų kyla todėl, kad mūsų paaiškinimuose liko neapibrėžtumų. Mes nepaaiškinome, kokie žodžių junginiai vadintini sakiniais, kokius reikalavimus turi tenkinti sakinys, kad jis reikštų sprendimą, kas yra sprendimas,. Jei būtume mėginę apibrėžti ir šių žodžių reikšmes, ne tik ištęstume aiškinimą, bet galiausiai prieitume prie bendriausios reikšmės žodžių, kurių apibrėžti neįmanoma.

Tiesa, esama tokių samprotavimo taisyklingumo aspektų, kurie simbolių kalba ir aksiominėmis dedukcinėmis teorijomis dar nėra išreikšti, o gal net iš išvis neišreiškiami. Juos tiria logikos mokslo šakos, nepriklausančios simbolinei logikai. Pavyzdžiui, praktinė logika kaupia ir sistemina žinias apie taisyklingų įrodinėjimų praktiką, apie tas problemas ir sėkmes, su kuriomis susiduria sugebėjimą taisyklingai samprotauti lavinantys žmonės, o logikos filosofija tiria fundamentalias pačių logikos teorijų problemas.

Logikos reikšmė.

Samprotavimai yra daugumos įrodinėjimų sudėtinė dalis. Samprotavimų taisyklės ir samprotavimų taisyklingumo analizės metodai padeda išsiaiškinti bei užtikrinti įrodinėjimų, naudojamų tiek atskiruose moksluose, tiek kasdieniame gyvenime, patikimumą. Logikos mokslas ir jo rezultatai reikalingi kiekvienam asmeniui, kuriam darbe arba gyvenime prireikia įrodinėjimų arba šiaip samprotavimų. Pavyzdžiui, teisininkas savo darbe pastoviai susiduria ir su samprotavimais, ir su įrodinėjimais. Juk teismo nutartys yra tekstai, reiškiantys samprotavimą, prokuroro kalbos, grindžiančios kaltinamojo kaltumą, advokato kalbos, skirtos ginamo asmens nekaltumui yra įrodinėjimai. Policijos pareigūnų atliekamas nusikaltimų tyrimas yra versijų teisingumo arba klaidingumo įrodinėjimas.

Be to, logikos teorijos panaudojamos kuriant kompiuterinę techniką, atliekančią skaičiavimo, tekstų analizės ir kt. operacijas, bei šios kompiuterinės technikos programas.

Klausimai pakartojimui

1. Ką tyrinėja logikos mokslas?

2. Kam panaudojami logikos tyrimų rezultatai?

TEIGINIŲ LOGIKA

Teiginių logika tiria tuos teiginių ir jų ryšių ypatumus, kuriuos lemia teiginių reikšmė. Tokiame teiginių tyrime sėkmingai panaudojama dirbtinė simbolių kalba.

Šiame skyriuje aptarsime simbolių kalba formuluojamą teiginių teoriją ir ja pagrįstus samprotavimo taisyklingumo analizės metodus. Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurio teiginys turi tik reikšmę “teisinga” arba reikšmę “klaidinga”. Mūsų aptariama teiginių logikos teorija yra simbolinės logikos dalis, viena pamatinių simbolinės logikos teorijų, kuri savo griežtumu nenusileidžia matematikos teorijoms. Simbolinė logika apima tik formuluojamas simbolių kalba teorijas, naudojančias aksiominį dedukcinį metodą. Šiomis teorijomis pagrįstų samprotavimo taisyklingumo analizės metodų taikymas natūralia kalba išsakytiems samprotavimams tirti yra vienas iš taikomųjų simbolinės logikos aspektų.

Pagrindiniai teiginių logikos terminai ir simboliai

Šiame poskyryje įvesime vienos iš galimų teiginių logikos dirbtinių kalbų ženklus, nurodysime jų reikšmes ir vartojimo taisykles. Kituose poskyriuose pateiksime ženklų semantikos pagrindus, pagrindines teiginių logikos ženklų junginių, vadinamų formulėmis, sintaksės taisykles ir parodysime, kaip teiginių logikos dirbtinė kalba naudojama samprotavimų analizei.

Teiginių ir jų reikšmės žymėjimas. Propoziciniai kintamieji. Teiginius įprasta žymėti lotynų abėcėlės mažosiomis raidėmis “p”, “q”, “r”, “s”, “t”, “u”, “v”, “x”, “y”, “z” arba šiomis raidėmis su indeksais, pvz. “r1”, “r2”, “r3”,…, “rn”,…, “z1”, “z2”, “z3”,…,“zn”. Simbolis, žymintis teiginį, vadinamas propoziciniu kintamuoju. Propozicinis kintamasis nėra teiginys. Propozicinis kintamasis žymi vietą, kurią simbolių kalbos išraiškoje gali užimti teiginys, išreikštas simboliais arba natūralios kalbos žodžiais. Propozicija yra iš lotynų kalbos kilęs tarptautinis žodis, reiškiantis teiginį. Propozicinis kintamasis skiriasi nuo teiginio tuo, kad jis neturi reikšmės. Teiginys reikšmę turi. Mes aptarsime dvireikšmę teiginių logiką, kurioje teiginys turi tik dvi reikšmes: “teisinga” ir “klaidinga”. Jokių kitokių reikšmių teiginys šioje logikoje neturi. “Teisinga” žymėsime simboliu “1”, o “klaidinga” – simboliu “0”. Kai reikia pažymėti teiginio reikšmę teiginių logikos formulėje, vartojamas toks žymėjimas: teisinga – T, klaidinga – . Užrašas Tp arba p reiškia, kad konstanta priskirta propoziciniam kintamajam.

Vienos iš šių reikšmių priskyrimas propoziciniam kintamajam paverčia propozicinį kintamąjį arba teisingu, arba klaidingu teiginiu. Simboliais teiginį galime pažymėti taip: p arba p , Tp arba p. Teiginys, gaunamas propoziciniam kintamajam priskyrus teiginio reikšmę, yra elementarus nedalomas teiginių logikos elementas, dar vadinamas elementariu teiginiu. Jo sandaros teiginių logika netyrinėja.

Natūraliosios kalbos išraiškos yra žodžiai arba sakiniai. Propoziciniai kintamieji yra dirbtinės simbolių kalbos išraiškos, kurios vadinamos elementariomis teiginių logikos formulėmis.

Teiginių logikos operatoriai. Teiginių logikos operatorius yra simboliu reiškiamas vienai
kelioms elementarioms teiginių logikos formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimas. Jis jungia elementarioms formulėms priskirtas teiginio reikšmes su formulės, sudarytos iš tų elementarių formulių ir operatoriaus, teiginio reikšmėmis. Todėl teiginių logikos operatorius dar vadinamas jungtimi. Elementarioms formulėms priskirtų teiginio reikšmių kitimams žymėti logikai naudoja įvairius simbolius. Net lietuviškuose logikos vadovėliuose jiems žymėti naudojami nevienodi simboliai. Nors perimti iš užsienio autorių, tie simboliai nepriklauso kuriai nors vienai užsienio autorių simbolių sistemai. Mes naudosime tik vienos, labiausiai paplitusios sistemos simboliką, pavadintą tą sistemą sudariusių dvidešimto amžiaus anglų logiko Bertrand’o Russell’o ir devyniolikto amžiaus pabaigos italų matematiko Giuseppe’s Peano pavardėmis, – Peano-Russell’o sistemos simboliką. Kiti autoriai savo knygose naudoja kitų užsienio logikų arba mišrią simboliką. Norėdami palengvinti kitų autorių knygų, skirtų logikai, skaitymą, šios knygos priede Nr. 2 pateikiame dažniausiai naudojamų operatorių simbolių lyginamąją lentelę, kurioje nurodome ir operatorių, žymimų tais simboliais, pavadinimus.

Peano-Russell’o sistemoje yra vieno monadinio operatoriaus simbolis “” ir keturių dažniausiai naudojamų diadinių operatorių simboliai: “”, “”, “”, “”. Monadinis operatorius priskiriamas vienam teiginiui arba teiginių logikos formulei. Diadinis operatorius į vieną teiginį ar formulę apjungia du teiginius arba formules.

Operatorius “” vadinamas neigimu. Jis žymi teiginio neigimą.

Operatorius “-” vadinamas konjunkcija. Jis pagal loginę reikšmę atitinka teiginių jungimą jungtuku “ir”, todėl jis dar vadinamas operatoriumi “ir”.

Operatorius “” vadinamas silpnąja disjunkcija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “arba” ir gali būti vadinamas operatoriumi “arba”.

Operatorius “” vadinamas materialiąja implikacija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “jei…, tai..” ir gali būti vadinamas operatoriumi “jei, tai”.

Operatorius “” vadinamas materialiąja ekvivalencija. Jis atitinka teiginių jungimą jungtuku “jei ir tik jei.., tai…”.

Teiginių logikos operatorių logines reikšmes išvesime poskyryje “Propozicinių kintamųjų eilės interpretacija ir teiginių logikos operatorių reikšmės”, o pačius operatorius detaliau aptarsime poskyryje “Teiginių logikos operatoriai”, kuriame parodysime, kaip atrenkami pagrindiniai žodeliai, kuriais operatoriai reiškiami lietuvių kalboje.

Bendrosios teiginių logikos simbolių vartojimo taisyklės. Pateiksime tris:

1. skirtingas propozicinis kintamasis, tiesos vertė ar loginis operatorius žymimas skirtingai,

2. vienodas propozicinis kintamasis, tiesos vertė ar loginis operatorius žymimas vienodai,

3. simbolis, kurio nėra teiginių logikos simbolių kalboje, nėra teiginių logikos simbolis.

Teiginių logikos formulių sudarymo taisyklės. Teiginių logikos formule vadinama bet kuris teiginių logikos simbolis arba simbolių eilė. Formulių sudarymo taisyklės nurodo, koks atskirai užrašytas simbolis arba kokia simbolių eilė laikytini taisyklingomis teiginių logikos formulėmis.

Siekdami taisyklių formuluočių glaustumo, formuluotėse panaudosime mažąsias graikiškas raides, kurios pagal trečią bendrąją dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolių vartojimo taisyklę nėra teiginių logikos simboliai: vienintelė mažųjų graikiškų raidžių taisyklėse paskirtis yra palengvinti taisyklių formulavimą.

Taigi, atskirai užrašytas simbolis arba simbolių eilė yra taisyklingai sudaryta teiginių logikos formulė tik tuo atveju, jei ji yra sudaryta pagal šias taisykles:

1. Atskirai pateiktas propozicinis kintamasis yra taisyklingai sudaryta formulė.

2. Jei  yra kokia nors taisyklingai sudaryta formulė, tai irgi yra taisyklingai sudaryta formulė.

3. Jei ir  yra kokios nors taisyklingai sudarytos formulės, tai ( ), ( ), ( ), (  ) irgi yra taisyklingai sudarytos formulės, kuriose ir  yra subformulės.

Keletas pastabų dėl formulių sudarymo taisyklių:

1. Skliaustai yra teiginių logikos techninis simbolis. Jie yra būtinas taisyklingai sudarytos formulės elementas, kai formulės sudarymui taikoma trečia taisyklė. Galima nenaudoti tik tų skliaustų, kuriais apskliaustina visa formulė. Sudėtingesnėje formulėje skliaustai žymi subformules su diadiniais operatoriais. Formulės subformulės yra visos formulės dalys, kurios atitinka taisyklingų formulių taisykles: pvz., formulės (p r) subformulės yra p, r, r, p r. Pirmąją ir antrąją taisyklingų formulių taisyklę tenkinančios subformulės skliaustais nežymimos. Susipažinę su operatorių reikšme, pateikiama kitame knygos poskyryje, pamatysime, kad formulės (pp)p  r) ir formulės (p(p p))  r reikšmė skirtinga. Kad skliaustų poros būtų lengviau skiriamos, formulėje galima naudoti ne tik paprastų, bet ir laužtinių ar figūrinių skliaustų poras.

2. Formulės, kuri sudaryta pagal trečią formulių sudarymo taisyklę panaudojant operatorius “”, “”, narių skaičius dviem nariais nėra
ribojamas. Pavyzdžiui, tiek p q r, tiek ir pq r s yra taisyklingai sudarytos formulės.

Formulių sudarymo taisyklės įgalina grynai mechaniškai sudaryti taisyklingas formules.

Pateiksime keletą taisyklingų formulių pavyzdžių: p, r, p, p,

p r, pp, (p r), r p, (pp)p  r). Pavyzdžių formulės su loginiais operatoriais sudarytos taisyklėse nurodytus formulių kintamuosius keičiant pavyzdžiuose pateiktomis formulėmis.

Šiame poskyryje pateikėme visus dirbtinės teiginių logikos kalbos simbolius, išskyrus pasekmės santykio simbolį. Sekmens santykio simboliu dirbtinę teiginių logikos kalbą papildysime poskyryje “Loginiai formulių santykiai”, kuriame aptarsime, ką reiškia išvedimas teiginių logikoje.

Klausimai pakartojimui

1. Ką tyrinėja teiginių logika?

1. Kas vadinama teiginiu?

2. Kas yra propozicinis kintamasis?

3. Kas yra teiginių logikos operatorius?

4. Koks operatorius vadinamas monadiniu?

5. Koks operatorius vadinamas diadiniu?

6. Kas vadinama elementaria teiginių logikos formule?

7. Kas yra teiginių logikos formulė?

8. Kas yra taisyklinga teiginių logikos formulė?

9. Kas yra subformulė?

10. Kada kintamojo simbolis yra subformulė?

11. Kokie simboliai yra teiginių logikos kalbos ženklai?

12. Ką žymi skliausteliai?

13. Kada skliaustelių galima nenaudoti?

14. Ar simbolių seka (p q r yra teiginių logikos formulė?

15. Ar formulė q p yra taisyklinga?

16. Ar formulė R  (PQ) yra taisyklinga?

17. Ar formulė   () yra taisyklinga?

Pratimai

1. Užrašykite simbolių p q r seką tokia tvarka, kad gautųsi taisyklinga teiginių logikos formulė, kurioje skliausteliai būtinai reikalingi.

2. Sudarykite pagal antrąją taisyklingų formulių taisyklę taisyklingą formulę iš formulės (p  r) s ir operatoriaus simbolio .

3. Sudarykite pagal trečiąją formulių sudarymo taisyklę 2 taisyklingas formules iš formulių p, r p ir operatoriaus simbolio .

4. Kiek formulėje (pp)r yra subformulių? Nurodykite jas.

Propozicinių kintamųjų eilės interpretacija ir teiginių logikos operatorių reikšmės

Šis knygos poskyris yra sudėtingesnis už kitus. Jei siekiama įgyti tik pačių elementariausių žinių apie teiginių logiką, jį galima praleisti.

Poskyryje paaiškiname, kas tai yra interpretacija teiginių logikos požiūriu. Taip pat parodome, iš kur atsiranda teiginių logikos operatorių reikšmės ir apibrėžimai.

Šiuo metu Jūs matote 30% šio straipsnio.
Matomi 2503 žodžiai iš 8305 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.