Turinys
Įvadas 3psl.
Lošimo išlošių matrica 4psl.
Nasho pusiausvyra
5psl.
Mišriosios strategijos 6psl.
Kalinio dilema 7psl.
Kartojami lošimai
8psl.
Kartelio palaikymas 9psl.
Nuoseklieji lošimai 11psl.
Bauginimo įeiti lošimas
12psl.
Išvados 14psl.
Literatūra 15psl.
Įvadas
Tradicinė, arba „klasikinė“, oligopolijos teorija atsako į klausimą,
kaip firmos pasirenka optimalų gamybos apimties ir kainos derinį, kai yra
keletas vienas nuo kito priklausomų gamintojų arba pardavėjų. Tačiau ši
teorija nevisada gali paaiškinti visus gyvenime pasitaikančius atvejus. Kai
kuriuos jų geriau paaiškina lošimų teorija.
Šio rašto darbo pasirinktu tyrimo objektu yra lošimų teorija. Sekant šia
mintimi, darbe bus stengiamasi išanalizuoti lošimo teorijos atvejus,
skirtus paaiškinti oligopolinių firmų tarpusavio priklausomybę.
Lošimų teorijos pradininkas yra vengrų kilmės įžymus matematikas John
von Neuman (1903 – 1957), kuris 1928 m. paskelbė straipsnį, padėjusį lošimo
teorijos pamatus.
Lošimo išlošių matrica
Strateginė sąveika gali apimti daug lošėjų ir strategijų, tačiau
apsiribosiu dviejų asmenų lošimais su baigtiniu strategijų skaičiumi. Tokį
lošimą aprašysiu išlošių matrica.
Tarkime, du žmonės lošia paprasčiausią lošimą. A asmuo ant popieriaus
lapo parašo vieną iš 2 žodžių – „viršus“ arba „apačia“. Tuo pat metu B
asmuo nepriklausomai nuo A ant kito lapo parašo „kairė“ arba „dešinė“. Tai
padarius abu lapai atverčiami ir išsiaiškinami išlošiai abiem dalyviams,
kaip parodyta 1.1 lentelėje. Jei A parašė „viršus“, o B – „kairė“,
žvelgiame į viršutinįjį kairįjį matricos kampą. Šioje matricoje išlošis A
asmeniui yra pirmasis įrašas langelyje, vienetas, o asmeniui B – antrasis,
dvejetas. Analogiškai, jei A užrašė „apačia“, o B – „dešinė“, A gaus
vienetą, o B – nulį.
A asmuo turi dvi pasirinkimo strategijas: rinktis „viršų“ arba
„apačią“. Ekonominiame gyvenime šie variantai atitiktų tokias alternatyvas,
kaip, sakykim, „padidinti kainą“ arba „sumažinti kainą“. Arba tai būtų
politiniai pasirinkimai – „skelbti karą“ ir „neskelbti karo“. Išlošių
matrica tiesiog apibūdina kiekvieno lošėjo išlošius, susiklosčius vienokiam
ar kitokiam pasirinktų strategijų deriniui.
Kuo baigiasi tokio pobūdžio lošimas? 1.1 lentelėje pavaizduoto lošimo
sprendimas labai paprastas. A asmens požiūriu visada geriau užrašyti
„apačia“, kadangi tokio pasirinkimo išlošiai (2 arba 1) be išlygų geresni,
negu užrašius „viršus“ (1 arba 0). Analogiškai B asmeniui visada geriau
užrašyti „kairė“, nes 2 ir 1 yra daugiau negu 1 ir 0. Taigi galima tikėtis,
kad pusiausvyros strategija – A asmeniui rinktis „apačią“, o B asmeniui –
„kairę“.
Šiuo atveju tai vyraujanti (dominuojanti) strategija. Kiekvienas
lošėjas turi galimybę pasirinkti optimaliai nepriklausomai nuo to, ką
pasirenka kitas lošėjas. Ką beužrašytų B asmuo, A visada turės daugiau, jei
pasirinks „apačią“, – todėl jam racionalu lošti būtent taip. Savo ruožtu ką
bepasirinktų A, B visada laimės daugiau, jei pasirinks „kairę“. Vadinasi,
šie du pasirinkimai vyrauja, jie nustelbia alternatyvas – taigi yra
vyraujančių strategijų pusiausvyra.
Išlošių matrica 1.1 lentelė
B lošėjas
Kairė
Dešinė
|1,2 |0,1 |
|2,1 |1,0 |
A lošėjas Viršus
Apačia
Jei lošime kiekvienam iš žaidėjų galima vyraujanti strategija, galima
numatyti, jog būtent jų pusiausvyros susidarymu lošimas ir baigsis. Taip
yra todėl, kad vyraujanti strategija yra geriausia, ką bedarytų kitas
lošėjas. Pateiktame pavyzdyje galima manyti pusiausvyrą susidarant su
tokiais išlošiais, kai A asmuo pasirenka „apačią“, pasiekdamas pusiausvyros
išlošį 2, o B asmuo – „kairę“, gaudamas pusiausvyros išlošį 1.
Nasho pusiausvyra
Vyraujančios strategijos pusiausvyra – puikus dalykas, bet anaiptol ne
taip dažnai ji įmanoma. Antai 1.2 lentelėje pateiktame lošime vyraujančios
strategijos nėra. Jei B asmuo pasirenka „kairę“, išlošiai A asmeniui yra 2
arba 0. kada B pasirenka „dešinę“, išlošiai A asmeniui yra 0 arba 1.
Vadinasi, kai B pasirenka „kairę“, A rinksis „viršų“, o kai B – „dešinę“, A
teiks pirmenybę „apačiai“. Išeina, kad optimalus A pasirinkimas priklausys
nuo to, kokį jis numatys B pasirinkimą.
1.2 lentelė Nasho pusiausvyra
B lošėjas
Kairė
Dešinė
|2,1 |0,0 |
|0,0 |1,2 |
A lošėjas Viršus
Apačia
Vyraujančios strategijos pusiausvyra yra, ko gero, per griežtas
reikalavimas. Užuot reikalavę, kad A pasirinkimas būtų optimalus visų B
pasirinkimų atveju, galėtume reikalauti, kad jis būtų optimalus tik
optimalių B pasirinkimų atveju. Nes jei B yra gerai informuotas ir
išmintingas lošėjas, jis rinksis tik optimalias strategijas. (Kitas
dalykas, kad jo pasirinkimo optimalumas priklausys ir nuo A pasirinkimo!).
Strategijų porą vadiname Nasho pusiausvyra, jei A pasirinkimas yra
optimalus, kai žinomas pirmojo pasirinkimas[1]. Nepamirština, kad nė vienas
iš lošėjų, pats rinkdamasis savo strategiją, nežino, ką darys kitas. Bet
kiekvienas lošėjas turi savo įsitikinimą apie tai, ką pasirinks kitas.
Nasho pusiausvyrą galima interpretuoti kaip tokią spėjimų dėl kiekvieno
lošėjo pasirinkimo porą, kai, išaiškėjus kito asmens pasirinkimui, nė
vienas iš lošėjų savo elgsenos keisti nenori.
1.2 lentelėje strategija („viršus“, „kairė“) yra Nasho pusiausvyra.
Siekdami tai įrodyti, turime pažymėti kad jei A pasirenka „viršų“, B
asmeniui geriausia rinktis „kairę“, nes šitaip B laimi vieną, o
pasirinkdamas „dešinę“ – nulį. O jei B renkasi „kairę“, optimalus A
pasirinkimas – „viršus“. Šitaip gauname Nasho pusiausvyrą: kiekvienas asmuo
renkasi optimaliai, kai žinomas kito pasirinkimas.
Nasho pusiausvyra yra bendresnis nei Cournot pusiausvyros variantas.
Cournot – pasirenkamos gamybos apimtys, ir kiekviena firma renkasi savąją,
kitos pasirinkimą laikydama nekintančiu. Daroma prielaida, jog kiekviena
firma renkasi sau geriausią sprendimą, tardama, kad kita firma pasirinktos
gamybos apimties nekeis – tai yra laikysis anksčiau pasirinktos
strategijos. Cournot pusiausvyra susidaro tada, kai kiekviena firma
maksimizuoja savo pelną, kai žinoma kitos firmos elgsena; būtent tokia ir
yra Nasho pusiausvyros definicija.
Nasho pusiausvyros idėja turi tam tikrą logiką. Deja, ji turi ir
problemų. Pirmiausia, lošimas gali turėti daugiau negu vieną Nasho
pusiausvyrą. Tiesą sakant, pasirinkimas („apačia“,
„dešinė“) 2.1 lentelėje irgi yra Nasho pusiausvyra. Tai galima patikrinti
pagal ankstesnį įrodymą arba tiesiog pastebint, kad lošimo sandara yra
simetriška: B asmeniui išlošiai vieno sprendimo atveju yra tokie patys,
kaip išlošiai A asmeniui – kito sprendimo atveju; taigi įrodymas, kad
(„viršus“, „kairė“) yra pusiausvyra, kartu yra įrodymas, jog („apačia“,
„dešinė“) taip pat pusiausvyra.
Kita Nasho pusiausvyros problema yra ta, kad esama lošimų, išvis
neturinčių čia aprašytos Nasho pusiausvyros. Imkime 1.3 lentelės pavyzdį.
Čia tokia Nasho pusiausvyra, kokią ką tik nagrinėta, neegzistuoja. Jei A
lošėjas pasirenka „viršų“, tada B nori „kairės“. Bet jei B renkasi „kairę“,
tada A – „apačią“. Analogiškai, jei A renkasi „apačią“, B – „dešinę“. Bet
jei B pasirinks „dešinę“, A – „viršų“.
Lošimas be Nasho pusiausvyros
1.3 lentelė
(grynosiose strategijose)
B lošėjas
Kairė
Dešinė
|0, 0 |0, -1 |
|1, 0 |-1, 3 |
A lošėjas Viršus
Apačia
Mišriosios strategijos
Bet jei strategijų definiciją išplėstume, minėtam lošimui rastume
naujo Nasho pusiausvyros rūšį. Juk lig šiol kiekvieną subjektą laikėme kaip
pasirenkančiu strategiją tik kartą ir visam laikui. Tai yra kiekvienas
subjektas sykį pasirenka ir pasirinkimo jau niekada nebekeičia. Tai
vadinama grynąja strategija.
Kitas, traktavimo būdas yra leisti subjektams rinktis tikimybiškai –
kiekvienam pasirinkimui skirti tam tikrą tikimybę ir lošėjų pasirinkimus
analizuoti pagal jas. Pavyzdžiui, A asmuo 50 procentų kartų gali rinktis
„viršų“ ir 50 procentų kartų – „apačią“, o B analogiškai – 50 procentų
kartų „kairę“ ir 50 procentų kartų „dešinę“. Tokios rūšies strategija
vadinama mišriąja.
Jei A ir B elgiasi pagal mišriąsias strategijas ir lošia panaudodami
kiekvieną pasirinkimą pusę jų laiko, jie turės ¼ tikimybės atsidurti
kiekviename iš išlošių matricos langelių. Iš čia išeina, kad A asmeniui
vidutinis išlošis bus 0, o B asmeniui – ½ .
Nasho pusiausvyra mišriųjų strategijų atveju reiškia tokią
pusiausvyrą, kurioje jo naudojamoms strategijoms kiekvienas subjektas
pasirenka optimalų dažnumą, kai žinomas kito lošėjo pasirinktų strategijų
dažnumas.
Galima įrodyti, kad tokiems lošimams, kokius nagrinėjome, visada
egzistuoja mišriųjų strategijų Nasho pusiausvyra. Dėl to, taip pat ir
todėl, kad ši kategorija savaime priimtinesnė, ji yra labai populiari
apibūdinant pusiausvyrą lošimų procesuose.
Naudojantis 1.3 lentelėje
esančiu pavyzdžiu galima įrodyti, kad jei yra ¾ tikimybės, jog B lošėjas
rinksis „kairę“ ir ½ tikimybės – jog „dešinę“, tai susidarys Nasho
pusiausvyra.
Kalinio dilema
Dar viena Nasho pusiausvyros lošimuose problema yra tai, kad ji
nebūtinai lemia efektyvų pagal Pareto sprendimą. Imkime, pavyzdžiui, 1.4
lentelėje pavaizduotą lošimą. Jis žinomas kalinio dilemos pavadinimu.
Pradinis lošimo aprašymas buvo situacija su dviem kaliniais, kurie drauge
įvykdė nusikaltimą ir dabar buvo tardomi atskiruose kambariuose. Kiekvienas