Magiškieji skaičiai
5 (100%) 1 vote

Magiškieji skaičiai

TURINYS

Įvadas 3

Darbo planas 4

1. Pažintis su tikimybių teorija 5

1.1. Kas yra tikimybių teorija? 5

1.2. Tikimybės 5

1.3. Daugybos taisyklė 6

1.4. Baigčių erdvės 6

1.5. Įvykiai 6

1.6. Tikimybiniai modeliai 7

1.7. Galimybės ir tikimybės 8

1.8. Atsitiktiniai dydžiai 8

1.9. Teorijos išvados 8

2. Žaidimai 9

2.1. Bridž-it 9

2.2. Chalma 11

2.3. Soliteris 13

2.4. Žaidimas virvute 17

2.4.1. Pirmojo tipo žaidimai 17

2.4.2. Antrojo tipo žaidimai 18

2.5. Matematiniai žaidimai specialiose lentose 21

2.5.1 Prancūzų karinis žaidimas 21

2.5.2. Topologinis žaidimas blekas 22

2.6. Žaidimas 15 ir kiti galvosūkiai 24

3. Uždaviniai 26

4. Uždavinių atsakymai 29

Autorecenzija 31

Reziumė 32

Summary 33

Literatūra 34

Priedai 35

1. Topologinis žaidimas blekas 36

2. Bridž-it lošimų lenta 37

3. Lenta soliteriui žaisti 38

4. Kaip supinti Jokūbo kopėčias 39

5. Prancūzų karinis žaidimas 40

6. Penketukas vienoje eilėje 41

7. Tėvuko galvosūkis 42

8. Žaidimas 15 43

9. Kaip, neperpjovus virvutės, išlaisvinti žirkles 44

10. Fokusas su žiedeliu 45

11. Magiškieji skaičiai……………………………………………………………………………………….46

ĮVADAS

Vystantis gamtos mokslams, matematiniai žaidimai bei lošimai iš klasikinės eros perėjo į šiuolaikinę. Ne tik mokslas, bet ir XXI amžiaus pramogos neatskiriamos nuo šiuolaikinės matematikos. Klasikiniais laikais tik tikimybių teorijoje organiškai pasireiškė lošimų teorija, dabar pats žodis „lošimas“ tapo matematiniu terminu, plačiai vartojamu įvairiausiuose moksluose: ekonomikoje, biologijoje, karyboje… Tačiau populiarioji literatūra beveik neatspindėjo šių permainų.

Žmogus negali nejausti pasitenkinimo, pamatęs netikėtus ryšius tarp pramogų ir rimto mokslo, nesistebėti abstrakčių sąvokų ir skaičiavimo technikos išradingu pritaikymu žaidimų bei lošimų ir galvosūkių analizei…

J. Danilovas

J. Smorodinskis

Mano pagrindinis tikslas yra įrodyti, kad loginis mąstymas padeda mokytis ir tobulėti. Juk tam nėra ribų.

Šiame darbe aš pateiksiu daug lošimų ir žaidimų pavyzdžių, juos analizuosiu, taip pat dar pateiksiu keletą užduočių ir jų sprendimo būdų. Darbo rezultatai turėtų aiškiai parodyti, kad ne tik rimtai mokantis galima ko nors pasiekti, bet ir žaidžiant galima mokytis. Ir tai būtų daug įdomiau, ne taip nuobodu. Visą mano darbą galima būtų pritaikyti jaunesniųjų klasių mokiniams ugdyti: lavinti jų mąstymą, pritraukti įdomia veikla, sudominti.

Darbo tikslas:

• Įrodyti, kad loginiai žaidimai lavina mąstymą

Darbo uždaviniai:

• Surinkti tikimybių teorinę medžiagą;

• Pateikti žaidimų pavyzdžių;

• Surinkti ir pateikti su žaidimais susijusių uždavinių.

Tęstinumas:

• Šį projektinį darbą bus galima naudoti, kaip mokomąją medžiagą jaunesniųjų klasių mokiniams ugdyti.

DARBO PLANAS

Eil. nr. Laikas Darbai

1. Spalis Susipažinau su projekto tema.

2. Lapkritis Susiradau reikalingas knygas.

3. Gruodis Pradėjau nagrinėti žaidimus.

4. Sausis Pradėjau rinkti teorinę medžiagą ir suvesti ją į kompiuterį.

5. Vasaris Visą darbo laiką skyriau žaidimams ir iliustracijoms.

6. Kovas Ieškojau ir surinkau žaidimų uždavinius ir jų atsakymus.

7. Balandis Kaip demonstracinę priemonę, pagaminau žaidimą 15.

8. Gegužė Pabaigiau viską susisteminti ir suvesti į kompiuterį.

1. PAŽINTIS SU TIKIMYBIŲ TEORIJA

„Šansai“, „galimybės“, „tikimybės“ — tai žodžiai iš kasdieninio mūsų žodyno, kaip ir „moneta“, „futbolas“ ar „tortas“. Nors visi intuityviai jaučiame, ką reiškia kiekvienas iš keturių pacituotų teiginių, griežtai apibrėžti terminus „šansai“, „galimybės“ ir „tikimybės“ yra neįtikėtinai sunku.

Žodis „tikimybės“ vartojamas dvejopa prasme. Viena vertus, šis žodis reiškia mokslą — iš esmės matematikos šaką. Antra vertus, mes kalbame apie įvykių tikimybes, ir tada „tikimybė“ reiškia skaičių, kaip, pavyzdžiui, teiginyje „Tikimybė, kad tris kartus metant monetą, atvirs vien herbai, lygūs 12,5%“. Terminas „galimybės“ vartojamas tai pačiai tikimybės sąvokai išreikšti šiek tiek kitu pavidalu.

1.1. Kas yra tikimybių teorija?

Tikimybių teorija tiria tam tikras situacijas, kurias matematikai mėgsta vadinti tikimybiniais bandymais, arba tiesiog bandymais. Sakysime, kad bandymas yra tikimybinis, jei galimų jo baigčių (rezultatų) yra daugiau negu viena, ir negalima iš anksto tvirtai pasakyti, kuri iš galimų baigčių iš tikrųjų įvyks. Tipiški bandymų pavyzdžiai yra monetos mėtymas, lošimo kauliuko ridenimas, šaudymas į lėkštes, orų prognozės. Žodis „bandymas“ čia vartojamas labai laisvai, ir daugumai šių bandymų atlikti visai nereikia baltų chalatų ar gerai įrengtų laboratorijų.

Su tikimybiniais bandymais susiduriame kasdien. Kai kurie iš jų yra paprastesni (orai, Pasaulio taurės rezultatai ir t. t.), o kai kurie — sudėtingesni (mūsų mokamos draudimo įmokos, perkamų produktų patikimumas ir t. t.).

Tikimybių teorija nagrinėja sudėtingiausius reiškinius, o ne tik monetų mėtymą, lošimo kauliukų ridenimą ar šaudymą į lėkšteles.

1.2.

e, metame monetą. Kokia tikimybė, kad ji atvirs herbu? Tai nėra sunkus matematinis klausimas, ir beveik kiekvienas duos atsakymą: 50%, 1 iš 2, apie pusę ir t. t. paprašius pagrįsti šiuos atsakymus, argumentai paprastai suskyla į dvi kategorijas.

Vienas argumentų tipas yra toks: kadangi moneta gali atvirsti dviem būdais, herbo tikimybė yra 1 iš 2. Šį argumentų tipą vadiname objektyviuoju požiūriu į tikimybę.

Kitas argumentų tipas yra maždaug toks: jei mes mėtysime monetą daug daug kartų, tai maždaug pusę kartų atvirs herbas ir maždaug pusę kartų atvirs skaičius, ir todėl herbo tikimybė yra maždaug apie pusę. Šį argumentų tipą vadiname dažniniu, arba statistiniu požiūriu į tikimybę.

Nors abu požiūriai yra logiškai pagrįsti (laikant, kad mėtoma moneta yra ideali), sunku apibendrinti bet kurį iš jų taip, kad būtų aprėptas ir kitas požiūris.

1.3. Daugybos taisyklė

Tikimybių daugybos taisyklė. Jei sudėtinį įvykį galima suskaidyti į paprastesnius nepriklausomus įvykius (t. y. tokius, kurių baigtis neturi įtakos kitų įvykių baigčiai), tai viso įvykio tikimybė lygi jo sudėtinių įvykių tikimybių sandaugai.

Daugybos taisyklė tvirtina, kad jei kas nors vyksta keliais etapais, tai, norint rasti bendrą skaičių iš būdų, kuriais tai gali įvykti, reikia nustatyti, keliais būdais tai gali įvykti kiekviename etape, ir gautus skaičius sudauginti.

Kodėl veikia daugybos taisyklė, galime paaiškinti paprastu pavyzdžiu.

Pavyzdys: Jūs norite suvalgyti porciją ledų. Galima pasirinkti iš dviejų rūšių vaflinių indelių (saldžių ir nesaldžių) ir vieną iš trijų rūšių ledų (vanilinių, šokoladinių ir vaisinių). 1 paveikslėlis rodo visas galimas pasirinkimo kombinacijas.

1 pav. Taip veikia daugybos taisyklė

1.4. Baigčių erdvės

Su kiekvienu bandymu susijusi visų galimų jo baigčių (rezultatų) aibė, vadinama baigčių erdve, arba elementariųjų įvykių erdve. Baigčių erdvė žymima raide E, o aibės baigčių erdvės elementų skaičius — raide N.

1.5. Įvykiai

Iki šiol mes kalbėjome apie atskirų baigčių tikimybes, kurias nurodo tikimybių paskirtis. Dauguma tikimybių uždavinių yra susiję su baigčių kombinacijomis, vadinamomis įvykiais. Įvykiu vadiname bet kokį baigčių erdvės poaibį.

Įvykio baigčių skaičius gali kisti nuo 0 iki N (baigčių erdvės dydžio). Jei įvykio baigčių skaičius lygus 0, tai įvykis vadinamas negalimuoju įvykiu; jei baigčių įvykio skaičius yra N, tai įvykis vadinamas būtinuoju įvykiu.

Kiekviena baigčių erdvės tikimybių paskirtis kiekvienam įvykiui savaime priskiria tikimybę. Ji gaunama sudėjus tą įvykį sudarančių baigčių tikimybes. Kad ir kokia būtų tikimybių paskirtis, negalimojo įvykio tikimybė visada lygi 0 (P({ }) = 0), o būtinojo įvykio tikimybė visada lygi 1 (P(E) = 1)

1.6. Tikimybiniai modeliai

Tikimybinį modelį sudaro, pirma, baigčių erdvė, sudaryta iš visų galimų atsitiktinio bandymo baigčių ir, antra, tos baigčių erdvės tikimybių paskirtis. Pastaroji kiekvienai atskirai baigčiai priskiria skaičių tarp 0 ir 1 imtinai, vadinama tos baigties tikimybe. Matematiniu požiūriu nesvarbu, iš kur tos tikimybės imamos. Jos gali remtis stebėtojo subjektyvia nuomone, gali būti dažnių skaičiavimo ar kokios nors sudėtingos formulės taikymo rezultatas. Tereikalaujama, kad būtų laikomasi „žaidimo taisyklių“ — visos tikimybių reikšmės turi būti tarp 0 ir 1, o jų suma lygi 1. jei tikimybės jau priskirtos atskiroms baigtims, tai ir jų kombinacijos, vadinamoms įvykiais, yra priskirtos tikimybės. Bet kurio įvykio tikimybė gaunama sudedant įvykį sudarančių baigčių tikimybes. Skyrium imant, negalimojo įvykio { } tikimybė lygi 0, o būtinojo įvykio E tikimybė lygi 1. Visus šiuos teiginius galima apibendrinti taip.

Tikimybinis modelis

• Baigčių erdvė. Visų galimų atsitiktinio bandymo baigčių erdvė E = {b1, b2, … bN}

• Erdvės E tikimybių paskirtis. Kiekvienai baigčiai bi priskiriamas skaičius P(bi), laikantis taisyklių:

1. 0  P(bi)  1 ir

2. P(b1) + P(b2) + . . . + P(bN) = 1.

• Įvykiai. Įvykis yra bet kuris E poaibis. Skyrium imant, { } (negalimas įvykis) ir pati E (būtinas įvykis) yra įvykiai.

• Įvykių tikimybės. Kiekvieno įvykio tikimybė yra tą įvykį sudarančių baigčių tikimybių suma. Skyrium imant, P({ }) = 0 ir P(E) = 1.

Vienas iš seniausių ir paprasčiausių tikimybių teorijos taikymų susijęs su azartiniais lošimais. Mes nesame jų šalininkai, bet azartiniai lošimai yra gausus pavyzdžių šaltinis ir kelia daugybę įdomių matematinių uždavinių. Daugeliui lošimų reikia kokios nors priemonės ar prietaiso, kaip moneta ar monetos, lošimo kauliukas ar kauliukai, kortų kaladė, ruletė ir t. t. Tokiu atveju laikoma, kad lošimo įrankis yra idealus, t. y. moneta ar kauliukas yra simetriški, kortos gerai išmaišytos ir nėra žymėtos, o ruletės ratas — subalansuotas. Matematiškai tai reiškia, kad visų baigčių tikimybės vienodos. Kadangi tikimybių suma lygi 1, tai, pirma, kiekvienos baigties tikimybė turi būti 1/N (čia N — baigčių erdvės dydis), ir, antra, bet kurio įvykio tikimybė gaunama padalijus jį sudarančių baigčių skaičių iš N. Tad šį tikimybinį modelį galime surašyti taip.

Tikimybinis modelis, jei visos

baigtys vienodai tikėtinos

• Baigčių erdvės dydis = N.

• P(bet kuri baigtis) = 1/N.

• Jei A yra įvykis, tai P(A) = įvykio A baigčių skaičius/N.

Pagal šį modelį tikimybės gali būti apskaičiuotos (neretai tenka taikyti daugybos principą).

1.7. Galimybės ir tikimybės

Matematikas, siekdamas aiškumo, reikalauja, kad tikimybės būtų skaičiai tarp 0 ir 1. kasdieninei vartosenai tai nėra taip svarbu — mes žinome, kad žmonės kalba apie šansus kaip tikimybes, išreikštas procentais, ir apie galimybes, kurios dažniausiai naudojamos išreikšti tikimybėms, susijusioms su lošimo situacijomis.

Jei galimybės įvykio A naudai yra m prieš n, tai P(A) = m/m+n

Bendra tikimybių vertimo galimybėmis taisyklė yra tokia:

Jie P(A) = a/b, tai galimybės įvykio A naudai yra a prieš b — a, o galimybės įvykio A nenaudai yra b — a prieš a.

1.8. Atsitiktiniai dydžiai

Kintamieji gali būti natūraliai susiję su tikimybiniu bandymu, nes, šiaip ar taip, bandymo baigtys yra kintamos. Jei kiekybinio dydžio skaitinė reikšmė priklauso nuo bandymo rezultato, tai kintamąjį vadiname atsitiktiniu dydžiu. Galima sakyti ir kiek kitaip — kadangi tyrinėjama populiacija yra baigčių erdvė, tai bet koks kiekybinis kintamasis, susijęs su ta populiacija, yra vadinamas atsitiktiniu dydžiu.

1.9. Teorijos išvados

Žmogui tikimybės, šansai ir galimybės yra miglotos sąvokos, vartojamos visų pirma lošiant loterijoje ar aptariant rytojaus orus. Tačiau matematikai ir statistikai žiūri į tikimybių teoriją kaip į tikslią schemą, kuri dažnai leidžia išsiaiškinti atsitiktinių įvykių dėsnius. Pagrindiniai šios schemos elementai yra baigčių erdvė, matematiškai tiksliai nusakanti visas galimas atsitiktinio bandymo baigtis (rezultatus), ir tikimybių paskirtis, suteikiančias kiekvienai baigčiai skaitinę reikšmę. Šios skaitinės reikšmės rodo atitinkamos baigties tikėtinumą. Jos gali turėti matematines ar nematematines ištakas, tačiau vos tik tikimybės priskirtos, žaidimo taisyklės tampa visiškai matematinės.

Vienas iš paprasčiausių tikimybių priskyrimo būdų yra vienodų tikimybių suteikimas visoms baigtims. Šiuo atveju tikimybės skaičiuojamos, atsakius į du pagrindinius (ne visada paprastus) klausimus: 1) koks yra nagrinėjamos baigčių erdvės dydis? 2) koks yra nagrinėjamą įvykį atitinkančio baigčių erdvės poaibio dydis?

Nors tikimybių teorija yra palyginti jauna matematikos šaka, pažintis su atsitiktinumo dėsniais yra svarbi visuotinės kultūros dalis ir labai praverčia kasdieniniame gyvenime. Minutėlę pamąsčius apie tai, kiek mūsų gyvenimas yra valdomas likimo ir kiek — atsitiktinumo, didelis tikimybių vaidmuo nebestebintų. Kaip kartą pasakė Julijus Cezaris, „atsitiktinumas yra didysis gyvenimo mokytojas“.Pagrindinės sąvokos: atsitiktinis dydis

baigčių erdvė

būtinas įvykis

daugybos taisyklė

elementariųjų įvykių erdvė

galimybės,

nepriklausomi įvykiai

tikimybių daugybos taisyklė

tikimybinis bandymas

įvykis

tikimybių paskirtis negalimas

šansai

tikimybė

tikimybinis modelis

2. ŽAIDIMAI

Visas gyvenimas — matematika! Taip pat ir dauguma žaidimų ir lošimų mūsų gyvenime yra susiję su matematika. Šaškės, šachmatai, kortos, magija ir dauguma kitų — matematiški. Čia jums pateiksiu keletą žaidimo pavyzdžių ir jų sprendimo būdų.

2.1. Bridž-it

Ryškiausias lošimų su porine strategija pavyzdys yra topologinis lošimas bridž-it, kuris 1970 — 1980 metais buvo viena mėgstamiausių vaikų pramogų.

1 paveiksle parodyta bridž-it žaidimų lenta. Kai lošimo laukas nupieštas popieriaus lape, dalyviai paeiliui brėžia vertikalias arba horizontalias linijas, jungiančias du vienodos spalvos taškus. Negalima taškų jungti įstrižai. Vienas priešininkas juodu pieštuku sujungia juodus taškus, antras — kitos spalvos taškus tokios pačios spalvos pieštuku. Priešininkų linijos niekus neturi susikirsti. Laimi tas, kuris pirmasis sudaro laužtę, jungiančią dvi priešingas lentos „savo“ spalvos kraštines. Daugelį metų buvo žinoma, kad egzistuoja strategija, padedanti pasiekti pergalę lošėjui, darančiam pirmąjį ėjimą, bet ją rasti pavyko ne iš karto. Ją atrado teorijos specialistas O. Grosas. Martinas Gardneris parašė Grosui laišką, tikėdamasis gauti ilgą ir sudėtingą uždavinio analizę, tikriausiai neprieinamą eiliniui skaitytojui. M. Gardnerio nuostabai, visą aiškinimą sudarė brėžinys, kurį matote 2 paveiksle, ir dvi tokios frazės: „Jūs pradedate lošimą ir darote ėjimą, pažymėtą juoda linija kairiajame apatiniame brėžinio kampe. Toliau reikia lošti taip: kiekvieną kartą, kai tiesė, kurią nubrėžė priešininkas, kerta kokios nors punktyru pažymėtos kreivės galą, jūs brėžiate tiesę, kertančią tos tiesės antrąjį galą.“ Ši sąmoninga porinė strategija padeda nugalėti tam, kuris daro pirmąjį ėjimą, bet visų ėjimų skaičius nebus minimalus. Pats Grosas taip charakterizavo aprašytąją strategiją: ji yra „bukas ginklas prieš buką lošėją, gudrus — prieš gudrų, bet ir vienu ir kitu atveju padeda laimėti“.

Grosas sugalvojo nemažai porinių strategijų, bet išsirinko tą, apie kurią ką tik pasakojau. Ji turi du privalumus: pirma, yra labai nuosekli, antra, lengvai apibendrinama bet kokių matmenų
lauko atveju.

Atkreipkite dėmesį, kad 2 paveiksle iš anksto nenumatytos linijos, jungiančios lentos kraštinius taškus. Bridž-it lošimo taisyklės nedraudžia tokių linijų, bet brėžti jų nėra prasmės, nes pergalei pasiekto jos neturi įtakos. Jeigu lošiate taip, kaip parodyta brėžinyje , o jūsų priešininkas staiga nubrėžia liniją išilgai lentos pakraščio, tai jūs darote atsakomąjį ėjimą, sujungdami du kraštinius arba, jeigu jums tai labiau patiks, bet kuriuos du lentos taškus. Gali atsitikti, kad šį atsitiktinį ėjimą jums paskui padiktuos strategiją, tuomet, nubrėžkite kokią nors kitą liniją. Papildoma linija lentoje netrukdo, o kažkuriais atvejais net teikia tam tikrų privalumų. Suprantama, dabar, kai žinoma optimali pirmojo lošėjo strategija, bridž-it netenka viso patrauklumo. Jį lošti gali tik tie, kurie dar negirdėjo aiškinimo kaip laimėti.

Nepaisant palyginti paprastų taisyklių, daugelio lošimų, kuriems reikia specialių lošimo laukų, matematiškai išanalizuoti negalima.

2.2. Chalma

Praėjusio šimtmečio pabaigoje Anglijoje plačiai buvo žinomas chalmos lošimas, iš kurio atsirado visa šeima iki šiol dar matematikų neišnagrinėtų lošimų.

1898 metais Bernardas Šo rašė: „Anglijoje priimta, kad kiekvienos atskiros šeimos, gyvenančios atskirame name, nariai sėdėtų atskiruose kambariuose ir arba tylėdami skaitytų knygą ar laikraštį, arba loštų chalmą…“

Iš pradžių chalmą lošė ant 16×16 matmenų šachmatų lentos. Vėliau pradėtos naudoti įvairiausių matmenų ir formų lentos. Lošimas, dar žinomas kaip „kiniškos šaškės“, yra vienas iš daugelio vėlesnių chalmos variantų. Čia M. Gardneris papasakojo apie vieną suprastintą variantą, kuris lošiamas paprastoje 8×8 langelių šachmatų lentoje. Iš jo galima sudaryti vieną įdomų ir vis dar neišspręstą galvosūkį iš pasiansų dėliojimo srities.

Pradedant lošimą, šaškės išdėstomos lentoje kaip įprasta. Ėjimai daromi beveik taip pat, tik su kai kuriais pakeitimais:

1) Draudžiama stumti šaškę, kuri ką tik peršoko per kitą;

2) Šokinėti galima ir per savo, ir per svetimos spalvos šaškes;

3) Galimi ėjimai ir šuoliai atgal.

Vienu ėjimu galima nuosekliai peršokti per kelias bet kokios spalvos šaškes, stovinčias pagal langelio įstrižainę, bet derinti tokį ėjimą su paprastu ėjimu (be peršokimo) draudžiama. Kiekvienas lošėjas stengiasi užimti priešininko pradinę poziciją, ir laimi tas, kuriam pirmam pasiseka tai padaryti. Išlošti galima ir tada, kaip lentoje susidaro tokia situacija, kad priešininkas daugiau negali padaryti nei vieno ėjimo.

Analizuoti chalmos topo lošimus yra sudėtinga. Štai jums dar vienas pavyzdys. Lyginiuose lentos pirmų trijų eilių kvadratuose įprastu būdu sustatykite dvylika šaškių, visus kitus langelius palikdami laisvus. Koks minimalus ėjimų skaičius reikalingas visoms šaškėms perkelti į priešingos lentos pusės tris eiles. Ėjimai daromi pagal chalmos taisykles: pirma, šaškę galima įstrižai perkelti ant gretimo juodo langelio pirmyn arba atgal ir, antra, leidžiama įstrižai peršokti per vieną arba kas antrą per kelias šaškes. Šokinėjant per šaškes, galima grįžti atgal, paskui vėl pirmyn; jeigu šaškės stovi kas langelis, tai visą sudėtingą šuolį galima atlikti vienu ėjimu. Taip pat, kaip ir chalmoje, nebūtina peršokti per visas galimas šaškes; nuoseklių šuolių seriją leidžiama nutraukti bet kurioje vietoje nepriklausomai nuo to, ar galima ją pratęsti.

Šiuo metu Jūs matote 31% šio straipsnio.
Matomi 2892 žodžiai iš 9240 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.