Mano eiles

1.1.1 Skaičių eilutės apibrėžimas ir konvergavimas

1 apibrėžimas. Reiškinys u1+u2+…+un+… arba vadinamas skaičių eilute; un – eilutės bendrasis narys. un – eilutės nariai, sn – dalinės eilutės sumos, kai nN.

2 apibrėžimas.Jeigu eilutės dalinių sumų seka konverguoja, tai sakome, kad eilutė konverguoja; jeigu seka ( sn, nN) diverduoja, tai eilutė diverguoja.

3 apibrėžimas.Jeigu eilutė konverguoja, tai jos dalinių sumų , sn sekos riba vadinamas eilutės suma ir žymima u1+u2+…+un+…:=S arba .

4 apibrėžimas. Eilutė, sudaryta pradedant n+1 nariu, tačiau paliekan narių užrašymo tvarką taip kaip eilutėje, vadinama eilutės n-tąja liekana ir žymima arba un+1+un+2+…

1 teorema: (Koši kriterijus). Skaičių eilutė konverguoja tada ir tik tada, jeigu bet kuriam >0 egzistuoja toks numeris n, kad su visais nn ir bet kuriuo p0 teisinga nelygybė | un+1+un+2+…+u n+p|<.

Būtinoji eilutės konvergavimo sąlyga: jeigu eilutė konverguoja, tai jos narių seka yra nykstama.

1.1.2 Bendrosios konverguojančių eilučių savybės

2 teorema: 1)Jeigu eilutė konverguoja, tai konverguoja ir bet kokia šios eilutės liekana;

2) jeigu egzistuoja konverguojanti eilutės liekana, tai konverguoja ir pati eilutė.

3 teorema: Jeigu eilutė konverguoja, tai eilutė , R konverguoja ir .

4 teorema: Jeigu eilutės ir konverguoja, tuomet eilutė , vadinama duotųjų eilučių suma, konverguoja, ir jos suma yra U+V, kai U:= ir V:= .

1.1.3 Teigiamosios eilutės

5 apibrėžimas. Jeigu eilutėje , un0, nN, tai eilutę vadinsime teigiamąja, jei un>0 – griežtai teigiamąja.

5 teorema: Teigiamoji eilutė konverguoja tada ir tik tada, kai jos dalinių sumų seka apibrėžta.

6 teorema: Jeigu teigiamoji eilutė konverguoja ir jos suma yra S, tai pakeitus eilutės narių išsidėstymo tvarką ir numeraciją, eilutė konverguos ir S=S’.

7 teorema: Tarkime duotos dvi eilutės: ir . Be to po kurio nors nario n0, unvn, n>n0. Tada, konverguojant , konverguos ir ; diverguojant , diverguos ir .

8 teorema: Sakykime eilutė yra teigiamoji, o – griežtai teigiamoji ir . Tuomet teisingi tokie teiginiai:

a) jeigu K=0 ir eilutė konverguoja, tai konverguos ir ;

b) jeigu K=+ ir eilutė konverguoja, tai konverguos ir ;