Matematikos atsiradimas
5 (100%) 1 vote

Matematikos atsiradimas

Klaipėdos Universitetas

Gamtos ir Matematikos Mokslų Fakultetas

Informatikos Katedra

Dmitrij Škaliov

Informatikos 2 kurso studentas

Matematikos atsiradimas

Darbo vadovas:

Prof. D.Švitra

Klaipėda

2003

Turinys:

1. Kada atsirado matematika.

1.1 Kas yra matematika.

1.2 Kaip matematika gimė.

2. Senovės Egipto matematika.

2.1 Senovės Egipto skaičiavimo ypatumai.

2.2 Senovės Egipto geometrija.

3. Senovės Graikijos matematika.

3.1 Ankstyvoji senovės Graikijos matematika. Matematikos mokslo atsiradimas.

3.2 Pitagoriečių skaičių fetišizmas.

3.3 Pitagoro teorema ir pirmoji matematikos krizė.

3.4 Geometrinės algebros suklestėjimas.

3.5 Zenono Elėjiečio aporijos.

3.6 Demokrito atomizmas.

3.7 Platono matematinė programa.

3.8 Aristotelis apie matematikos esmę.

3.9 Euklido “Pradmenys”.

3.10 Euklido 5-to postulato problema.

3.11 Archimedas: klasikinės graikų matematikos pabaiga.

4. Romos imperijos laikų matematika.

4.1 Logistika.

4.2 Diofanto algebra.

5. Išvada

6. Literatūros sąrašas.

1. Kada atsirado matematika.

1.1 Kas yra matematika.

Šis klausimas nėra toks paprastas, koks atrodo iš pirmo žvilgsnio. Visi žino, kad matematika – tai aritmetika, algebra, geometrija, trigonometrija ir t. t. tačiau paklausus, kodėl aritmetika ar algebra yra matematika, dauguma sutriktų. Tad klausimas – kas yra matematika? – anaiptol nėra aiškus. Per visą matematikos raidą buvo pateikta daugybė įvairių apibrėžimų, kurie vis kitaip nustatydavo matematikos esmę.

Pitagoras (V a. pr. m. e.): Pasak vienos legendos, senovės graikų matematikas Pitagoras šį smalsuolio klausimą, kas yra matematika, taip atsakęs: “Kalbi graikiškai, o nežinai, kas yra matematika. Mathematike – tai juk mathema, mathesis, – vadinasi, žinojimas, pažinimas. Be šios, tas žodis neturi kitų prasmių”. Platonas: “Matematika – tai geometrija”. Gal todėl jis prie savo mokyklos – Akademijos – durų pakabino reikalavimą: “Tegul čia neįžengia tas, kuris nemoka geometrijos”. Žymus XVII a. prancūzų filosofas ir matematikas R. Dekartas: “Kiekvienas geriau pagalvojęs supras, kad matematikai priskiriami tik tie mokslai, kurie nagrinėja arba tvarką, arba matą; ir visiškai nesvarbu, ar šis matas bus ieškomas skaičiams, figūroms, žvaigždėms, garsams ar kokiam nors kitam dalykui”. Taigi, R. Dekartas bandė suvienyti visas matematikos šakas. Matematinės analizės kūrėjas G. Leibnicas: ”Matematika – tai mokslas apie funkcijas”. Vokiečių matematikas H. Veilis: “Matematika – tai mokslas apie begalybę”.

Matome, kad nebuvo ir nėra amžino, galutinio matematikos apibrėžimo. Kiekvienas apibrėžimas atskleisdavo tą matematikos dalį, kuri būdavo labiausiai nagrinėjama, aktualiausia. Ilgainiui matematikos turinys keitėsi, tad ir jos apibrėžimas pasirodydavo esąs per siauras. Be to matematikos apibrėžimas priklauso ir nuo konkrečiu laikotarpiu egzistuojančių filosofinių pažiūrų į mokslą bei jo šakas.

Klausimą – kada atsirado matematika – mes galime pakeisti jam analpgišku klausimu – kada žmogus pirmą kartą susidomėjo dydžiu, t. y., kada jis išmoko skaičiuoti, pradėjo suvokti geometrines figūras. Pagal vieną prielaidą matematikos užuomazgos atsirado vos tik žmogus pradėjo mąstyti, t. y., tapo Homo sapiens (žmogumi – protinga būtybe). Kita prielaida – mąstymo ir gebėjimo skaičiuoti, suvokti geometrines figūras procesų pradžią skiria gana ilgas laiko tarpas. Pastaroji hipotezė neatrodo įtikinanti. Jau paprasčiausių darbo įrankių, kurių dėka ir atsirado ‘Homo sapiens’, gamyba vertė pirmykštį žmogų susidomėti geometrine figūra. Ypač šis dėmesys padidėjo įpratus naudotis ugnimi, stebint jos besikeitaliojančių formų liepsną. Pačioje ‘Homo sapiens’ istorijos pradžioje atsirado ne gebėjimas skaičiuoti, o figūros suvokimas.

Žinoma, nereikia manyti, kad apie skaičiavimą anuo metu iš viso negalime kalbėti. Stebint įvairias panašias figūras, žmogui turėjo kilti mintis apie jų galimą kiekybinį palyginimą. Besiplečianti praktinė veikla reikalavo vis didesnių skaičiavimo įgūdžių. Ūkiniai poreikiai privertė laipsniškai sudaryti paprasčiausių plokščiųjų figūrų ir erdvinių kūnų plotų ir tūrių skaičiavimo taisykles. To reikalavo žemių pertvarkymo, grūdų saugyklų tūrių skaičiavimų reikmės, būtinų žemės darbų, statant statinius, apimties apskaičiavimas. Pamažu žmonės išmoko sveikųjų skaičių aritmetikos veiksmus, po to su racionaliomis trupmenomis; išmoko teisingai apskaičiuoti gana sudėtingų figūrų plotus ir paprasčiuasių kūnų tūrius.

1.2 Kaip matematika gimė.

Filosofas A. Čanyčevas rašo: “Matematika – mąstymo kalba”. Žmogus, pradėjęs mąstyti, nustojo buvęs tik vienu iš Žemės gyvūnijos atstovų. Brangiausią savo turtą – protą – žmogus įgijo per darbą. Per jį žmogus ir išsiskyrė iš gamtos – tarp gamtos ir savęs jis įterpė darbo įrankį. Homo sapiens bendravimas su gamta jau pasidarė netiesioginis; nusistovėjo naujas ryšys – dirbančio žmogaus ryšys su jį supančiu pasauliu. Homo sapiens prireikė nustatyti tą ryšį, t. y. susidaryti sąmonėje bent paprasčiausią idealizuotą pasaulio vaizdinį. Tai ir buvo mąstymo atsiradimo
priežastis.

Mokslas, taigi ir matematika, rutuliojosi žmogui plečiant savo praktinę veiklą, nes tada kito jo gyvenimo būdas, o tai pirmutinė prielaida atsirasti mokslui. Kol seniausios akmens amžiaus epochos – vėlyvojo paleolito žmogus tiktai naudojosi gamtos gėrybėmis: medžiojo, žvejojo, rinko vaisius ir pan., tol jam skaičiuoti pakako rankų ir kojų pirštų. Skaitiniai terminai lėtai įėjo į žmogaus gyvenimą. Iš pradžių jie buvo pradėti naudoti greičiau kaip kokybiniai, o ne kiekybiniai terminai, reiškiantys skirtumą tik tarp vieno ir dviejų (ar daugiau). Todėl pirmiausia konkrečiam skaičiui išreikšti buvo naudojama kokia nors aibė – etalonas. Žmonės seniai pastebėjo, kad danguje yra vienas Mėnulis, kad žmogus turi dvi akis, o ranka – penkis pirštus. Iš pradžių jie ir sakydavo, jog daiktų yra tiek, kiek Mėnulių danguje, arba kiek žmogus turi akių ir pan. Vėliau šios etaloninės aibės buvo pakeistos vieninteliu etaloniniu vienetu, pavyzdžiui, rankų pirštais. Šis žingsnis iš karto praplėtė skaičiaus sąvokos turinį.

Padėtis pasikeitė, žmogui įžengus į neolito laikotarpį, kai prasidėjo žemdirbystė ir gyvenimo būdas pasidarė sėslus, o prekybos vaidmuo išaugo (8000 – 4000 m. pr. m. e.). Tada buvo padaryti šie atradimai: pradėtos gaminti plytos, slidės, namų akmeniniai pamatai, pastatyta pirmoji gyvenvietė, turėjusi sienas. Kartu plėtėsi ir skaičiaus sąvokos turinys, – didesnius skaičius pradėta gauti iš mažesnių juos sudedant, taip ‘3’ buvo jau traktuojama kaip 2+1, ‘4’ kaip 2+2 ir t. t. Štai australų tautelė nuo Murėjaus upės skaičius taip vadina: 1 = enea, 2 = petčeval, 3 = petčevalenea, 4 = petčeval-petčeval ir t. t. Pradėjo rastis aritmetikos atmaina, nulėmusi skaičiavimo sistemos atsiradimą. Skaičiavimo sistemos buvo didžiausias to laiko atradimas, savotiškas revoliucinis perversmas. Jas sukūrus buvo prieita prie tokių aritmetinių veiksmų kaip dalyba ir daugyba. Tiesa, iš pradžių buvo tenkinamasi tik dalyba ir daugyba iš ‘2’. Taigi pirmoji į priekį pažengusios matematikos atmaina buvo aritmetika.

Plintanti žemdirbystė ir statyba (apie 4000-3000 m. pr. m. e.) skatino geometriją. Terminas “geometrija” yra graikiškos kilmės žodis ir reiškia “žemės matavimą”. Pirminė šio mokslo nagrinėta figūra buvo stačiakampis. Iš pradžių geometrija buvo visiškai aritmetizuotas mokslas. Išlikusiuose senuose uždaviniuose klausiama ne “koks plotas”, o “koks laukas”? Figūros plotas buvo lyginamas su tam tikru ploto etalonu, o ne ieškoma jo išraiška ploto vienetais. Analogiškai buvo matuojamas ir tūris.

Ilgainiui geometrija ėmė nagrinėti ir kitus objektus: trikampius, trapecijas ir t. t.; jie pradėti lyginti su stačiakampiu. Kaip tik šie objektai ir paskatino geometriją “atsikratyti” pernelyg didelės aritmetikos globos. Bene didžiausi geometrijos laimėjimai sietini su apskritimo ir skritulio nagrinėjimu. Geometrija už visą tai turi būti dėkinga astronomijai: kaip tik jos dėka ir buvo atrastos kai kurios tiesos apie apskritimą bei kampus. Manoma, kad geometrija su apskritimo sąvoka susidūrė dar prieš 3200 m. pr. m. e.

2. Senovės Egipto matematika.

2.1 Senovės Egipto skaičiavimo ypatumai.

Apie senovės Egipto matematikos nueitą kelią mes galime tik spėlioti. Iš dalies todėl, kad ją reprezentuoja vos keletas išlikusių rankraščių, iš kurių svarbiausi yra du papiruso ryšulėliai: vadinamasis Londono (arba Raindo, pagal jo savininko pavardę) ir Maskvos (V.Goleniščevo) papirusai. Kaip ik iš jų ir galima susidaryti apytikslį vaizdą apie to laiko matematikos pasiekimus ir trūkumus. O trūkumų būta, ir gana nemažų. Dalį jų nulėmė senovės Egipto kultūros uždarumas. Dalis buvo sąlygota pačios civilizacijos lygio.

Senovės Egipto skaičiavimo matematikos pagrindą sudarė dešimtainė skaičiavimo sistema. Tuo visas panašumas tarp mūsų ir senovės egiptiečių skaičiavimo sistemų baigiasi. Dabar naudojama skaičiavimo sistema yra porinė, t.y. skaičiaus užraše skaitmens vieta (pozicija) nusako jo eilę, pvz.:

123=1*10 2 + 2*10 1 + 3*10 0.

Tuo tarpu senovės egiptiečių skaičiavimo sistema buvo adityvinė. Bet koks skaičius būdavo išreiškiamas atitinkamų dešimtainių vienetų suma. Štai skaičius „penki“ buvo žymimas penkiais „vienetais“; „dvidešimt šeši“ buvo lygus dviem „dešimtims“ ir šešiems „vienetams“ ir t.t. Kaip matome, čia žymu primityvios adityvinės aritmetikos pėdsakai.

Br 1. Figuros – skaičiai.

Kiekvieną dešimtainį vienetą žymėdavo atitinkamais hieroglifais, kuris egiptiečių kalba kartu reiškė ir skaitvardį. Tokių hieroglifų iš viso buvo 7. Atrodytų senovės egiptiečių skaičiavimo matematika palyginti tobula, – jie net vartojo „milijono“ sąvoką, kuri Europoje prigijo tik XIVa. Tačiau iš tikrųjų taip nėra. Jei mes atidžiau įsižiūrėtume į hieroglifą, žymintį „milijoną“, ten pamatytume priklaupusį ir rankas aukštyn iškėlusį žmogų. Milijonas senovės egiptiečiui buvo tokia kiekybė, prieš kurią paprastas žmogus, pritrenktas tos daugybės, klaupėsi ir iš nuostabos kėlė aukštyn rankas. Vargu ar jie, taip pavaizdavę „milijoną“, galėjo jį vaitoti praktiniams skaičiavimams. Tas pats ir su skaičių „tūkstantis“, „šimtas tūkstančių“ žymėjimu.
„tūkstantis“ žymimas tuo pačiu hieroglifu, kaip ir žodis „lotoso žiedas“, o „šimtas tūkstančių“ – kaip ir „buožgalvis“. Šie skaičiai senovės egiptiečių supratimu buvo tokios kiekybes, kurių jau neįmanoma suskaičiuoti. Pavasarį Nilo paviršių padengia tūkstančiai lotoso žiedų. Tad ir pažymėkime „tūkstantį“ kaip „lotoso žiedą“. Arba dumblyne knibžda šimtai tūkstančių buožgalvių. Tegu ir būna „šimtas tūkstančių“ kaip „buožgalvis“.

Šitokiame skaičių žymėjime, kaip ir visuose egiptiečių hieroglifuose, slypi pačios ankstyviausios rašto stadijos – piktografijos – užuomazgos. Piktografija atsirado, kai žmogui prireikė užrašyti savo žinias, pritaikymą. Norėdamas ką nors pranešti, žmogus piešdavo tą daiktą. Sakysim, pirmykščiam žmogui reikia užrašyti „liūtas praėjo“. Jis ima ir nupiešia supaprastintą žengiančio liūto atvaizdą. Iš tokių primityvių piešinių ir išsirutuliavo senovės egiptiečių hieroglifai, kuriais jie žymėjo ir skaičius.

Ankstyvosios adityvinės aritmetikos pėdsakų galima rasti ir senovės Egipto skaičiavimo metoduose. Praktiškai egiptiečiai nežinojo nei daugybos, nei dalybos. Daugybą jie pakeisdavo daugyba iš 2 ir sudėtimi. Jei, pavyzdžiui, jiems reikėdavo apskaičiuoti 5*9 , tai jie sudarydavo šitokią lentelę:

/1 9

2 18

3 27

/4 36

Suma 45

Tuos dvejetų laipsnius, kurie buvo reikalingi sumai, jie žymėdavo brūkšneliu ir sudėdavo šalia esančius skaičius (5 = 1 + 4). Dalybą atlikdavo analogiškai, tačiau tarsi iš antro galo. Norėdami 120 padalyti iš 8, jie ieškodavo tokio daugiklio, kad pastarųjų sandauga duotų 120. Taigi senovės egiptiečių skaičiavimo matematika apsiribojo vien tik sudėtimi ir atimtimi, – daugyba ir dalyba būdavo atliekama lyg ir bandymų keliu. Patys sunkiausi klausimai buvo susiję su dalyba iš nedalaus duotajam skaičiui daliklio, t.y. su trupmenomis. Štai senovės Egipto matematikas turėjo išspręsti uždavinį: „Kaip po lygiai padalyti 7 kepalus 8 darbininkams?“ Senovės Egipto matematikas ima taip samprotauti: „kadangi kiekvienam darbininkui tenka mažiau kaip po vieną kepalą duonos, tai padalykime visus kepalus pusiau, turėsime 14 dalių. Išdalijus juos dar liks 6 puskepaliai. Vėl juos pusiau, turėsime 12 ketvirtainių kepalo dalių. Juos išdalijus, dar liks 4 gabalai. Padalijus juos pusiau, gautas 8 dalis galėsime visas iki vienos išdalinti darbininkams“.

Todėl egiptiečio matematiko atsakymas būtų šitoks: “ kepalo dalys“.

Ar ne todėl senovės egiptiečiai operavo išimtinai tiktai alikvotinėmis trupmenomis (1/n pavidalo, kur n – natūrinis skaičius) ir dar trupmena , kuriai žymėti buvo naudojamas specialus ženklas. Žinoma, tai nereiškia, kad jie nežinojo tokių mums įprastų trupmenų , kur m, n – natūriniai skaičiai. Jie paprasčiausiai jomis nesinaudojo, jas pakeisdami alikvotinių trupmenų suma. Kadangi senovės Egipte daugyba faktiškai buvo daugyba iš dviejų. Iš Raindo papiruso mes sužinome, kad senovės egiptiečiai žinojo tokius skleidinius:

Pav. 2. Kai kurių skaičių lentelė.

Šiaip ar taip, bet kokios trupmenos išdėstymas alikvotinėmis trupmenomis reikalauja tam tikro matematinio įgudimo, kuris neįmanomas be specialaus pasiruošimo. Todėl senovės Egipto matematikai buvo gana išprusę.

Toks neaukštas skaičiavimų lygis turėjo atsiliepti visai tuometinei matematikai. Ir išties senovės Egipto matematikai mokėjo spręsti tiktai tiesines lygtis (vadinamuosius „aha“ uždavinius), kurias, pritaikius mūsų simboliką, galėtume taip užrašyti:

x + ax + bx +cx +…= p.

Svarbiausia čia buvo rasti dalmenį:



Šį uždavinį jie spręsdavo „melagingos prielaidos“ metodu. Jos esmė šitokia. Tarkime, turime lygtį x + 0.5x = 12. Imame kokią nors sprendinio „melagingą“ reikšmę, sakysim, 4. Tuomet 4 + 0.5*4 = 6. Dalijame Vadinasi, x = 4*2 = 8.

Br 3. Senovės egiptiečių užrašyta lygtis. Hieroglifiniais (viršuje) ir hieratiniais (apačioje) rašmenimis.

2.2 Senovės Egipto geometrija.

Jau antikos graikai laikė Egiptą geometrijos gimtine. Geometrijai suklestėti senovės Egipte turėjo įtakos svarbiausias įvykis tais laikais – Nilo potvynis. Patvinęs Nilas žemdirbiams padarydavo neįkainojamą paslaugą, – jų laukus padengdavo derlingu dumblu. Tačiau kartu jis nuplaudavo bet kokias ribas tarp sklypų. Po kiekvieno Nilo potvynio reikėdavo atstatyti šių sklypų ribas. Tai ir sudarė prielaidas atsirasti praktinei geometrijai, kurią tačiau maitino tik teoriniai tyrinėjimai.

Pav 4. Laukų matavimas senovės Egipte. (Piešinys maždaug iš XVa. pr.m.e.)

Visa senovės egiptiečių geometrija buvo plotų ir tūrių skaičiavimas. Toli pažengę jie buvo tik skritulio ploto skaičiavime. Jų nuomone, skritulys yra lygiaplotis kvadratui, kurio kraštinės lygios 8/9 skritulio skersmens. Senovės Egipto matematikai pirmieji ėmėsi spręsti antikoje (ir vėliau) pagarsėjusią skritulio kvadratūros problemą. Kaip žinome, skritulio plotas išreiškiamas formule r2. Skaičiuojant skritulio plotą, sunkiausia buvo nustatyti skaičių . Nepavykus nustatyti tikslios  reikšmės, buvo ieškoma geometrinio būdo skritulio plotui apskaičiuoti. O kas gali būti geriau, kaip suvesti tokią, atrodytų paprastą figūrą kaip skritulys, į ne mažiau paprastą kvadratą. Ir čia
egiptiečiai pasirodė pranašesni už kitų, netgi vėlesnių, skaičiavimo metodų autorius, – jų skritulio kvadratūros būdas pateikia palyginti tikslią  reikšmę 3,1605, t.y. paklaida neviršija nė 1%. Kaip jie sugebėjo tai nustatyti, nežinoma. Yra keletas hipotezių, aiškinančių šio būdo atsiradimą, tačiau nė viena iš jų absoliučiai įtikinama.

Kitas senovės Egipto geometrijos laimėjimas buvo būdas apskaičiuoti nupjautos piramidės tūriui, kurį, kaip matyti iš Maskvos papiruso 14 uždavinio, galima išreikšti šitokia formule:

V= (a2+ab+b2)  ; (čia a ir b – piramidės kvadratinių pagrindų kraštinės, h – jos aukštinė).

Panašaus rezultato nebuvo surasta jokioje kitoje senovės šalyje, gal būt todėl, kad piramidžių skaičiavimai buvo vieni aktualiausių senovės Egipte. Kaip tų laikų matematikai sugebėjo nustatyti piramidės tūrį, ligi šiol neaišku. Kai kas teigia, kad jis buvo surastas empiriškai. Ir tarp tų, kurie mano, jog senovės Egipte jis buvo atrastas teoriškai, nėra vienybės. Vienu atžvilgiu tyrinėtojai sutaria, – jų nuomone, senovės egiptiečiai nupjautą piramidę suskaidydavo į keletą paprastų piramidžių. Tačiau kaip ją suskaidydavo? Čia ir prasideda nesutarimai: kiekvienas siūlo savo rekonstrukciją. Ir reikia pasakyti, kad bet kurioje iš šių rekonstrukcijų pateikiamas palyginti sudėtingas nupjautinės piramidės skaidymas.

O štai kas įdomiausia: šalia šių nuostabių rezultatų senovės Egipto matematikoje galima rasti it tokią keturkampio ploto formulę:

, arba trikampio ploto formulę:

Šiomis formulėmis gaunami išties geri rezultatai, tačiau tik tada, kai šios figūros yra taisyklingos, t.y., kai keturkampis mažai tesiskiria nuo stačiakampio, o trikampis artimas stačiajam ir yra labai ištęstas. Priešingu atveju skaičiavimo paklaidos gali pasidaryti labai didelės. Galima manyti, kad šios apytikslės formulės gimė ankstyvaisiais laikais, kai graikų matematika jau pasiekė savo „aukso amžių“. Plokščias geometrines figūras egiptiečiai vaizdavo gulsčioje padėtyje, o erdvines – stačioje padėtyje.

Šiuo metu Jūs matote 30% šio straipsnio.
Matomi 2760 žodžiai iš 9147 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.