Matematikos istorija2
5 (100%) 1 vote

Matematikos istorija2

Aukštakalnio pagrindinė mokykla

Matematikos referatas

1 tema: Matematika ir jos istorija

2 tema: Lietuvių liaudies matematika

Atliko: Greta Slavinskaitė, 8g

Laura Damauskaitė, 8g

Utena

2005

Matematika ir jos istorija

Kas yra matematika? Daugelis pasakytu, kad į šį klausimą ne taip jau sunku ir atsakyti. Jie tuoj imtų vardinti, kad matematika – tai aritmetika, algebra, geometrija. Tačiau jeigu paklaustume, kodėl būtent aritmetika ar geometrija yra matematika, jie sutriktų. Tad klausimas, kas yra matematika, nėra toks jau paprastas. O jei taip, tai pamėginkime pažiūrėti kaip atsakydavo žymiausi visų laikų pasaulio matematikai.

Pagal vieną legendą, senovės graikų matematikas Pitagoras (V a. pr. m. e.) smalsuolį, kuris jį paklausė, kas yra matematika, taip sugėdino: ,,Kalbi graikiškai, o nežinai, kas yra matematika. Matematike, mathema, mathesis reiškia ,,žinojimą”, ,,pažinimą”. Šis žodis neturi kitos reikšmės”. Kitam graikų išminčiui Platonui matematika tilpo geometrijos rėmuose. Gal todėl jis prie savo mokyklos – Akademijos durų ir pakabino reikalavimą: ,,Tegul čionai neįžengia tas, kas nemoka geometrijos”. O ankstyvųjų viduramžių arabų mokslininkams matematika – tai al-džerb ir al-mukabala, t. y., algebra – visai priešinga antikos graikų pažiūroms. Žymus XVII a. prancūzų filosofas ir matematikas R.Dekartas, nusprendęs suvienyti matematikos šakas, taip nusakė jos esmę: ,,Kiekvienas, geriau pagalvojęs, supras, kad matematikai priskiriami tik tie mokslai, kurie nagrinėja arba tvarką, arba matą; ir visiškai nesvarbu, ar šis matas bus ieškomas skaičiams, figūroms, žvaigždėms, garsams ar kokiam nors kitam dalykui”. Matematinės analizės kūrėjui G.Leibnicui matematika – tai mokslas apie funkcijas. O prancūzų matematikų grupei, pasivadinusiai N.Burbaki vardu, matematika yra ,,mokslas apie matematines struktūras”.

Matome, kad ir mokslo autoritetai menkai tegali mums padėti – vieno amžino, viską apimančio matematikos apibrėžimo nebuvo ir nėra. Kiekvienas žinomas apibrėžimas nusako tą matematikos turinio dalį, kuri tuomet buvo labiausiai nagrinėjama, išryškina tą matematikos pusę, kuri buvo aktualiausia. Laikui bėgant, matematikos turinys keitėsi, tad ir apibrėžimas pasirodydavo esąs per siauras. Pateikti ,,galutinį” matematikos apibrėžimą, vadinasi, apgenėti šio amžinai žaliuojančio ir kerojančio mokslo medžio šakas, iš anksto pasmerkti jį vienpusiam augimui. Ar tik ne tai paskatino žymų vokiečių matematiką R.Kurantą pasakyti, kad ,, į klausimą, kas yra matematika, negali duoti protingo atsakymo nei filosofiniai apibendrinimai, nei semantiniai apibrėžimai, nei išsamūs aprašymai. Negalima tiesiogiai atsakyti į klausimą, kas yra muzika arba tapyba. Niekas negali įvertinti šių meno formų, jeigu nejaučia, kas yra ritmas, harmonija ir dvasia muzikoje arba forma, spalva ir kompozicija tapyboje. O matematikoje tiesioginis kontaktas su jos elementais yra dar reikalingesnis”.

Tačiau jei negalime pateikti tikslaus matematikos apibrėžimo, tai dar nereiškia, kad mes iš viso nesugebame skirti šio mokslo nuo kitų. Pagrindinis matematikos ypatumas slypi jos metode – nuoseklioje abstrakcijoje, logiškai griežtoje aksominėje dedukcijoje ir tolesniame apibendrinime. Be abstrakcijos ir objekto idealizacijos neįmanomas joks mokslas. Tačiau tiktai matematikoje jos yra suabsoliutinamos. Čia vienos matematikos sąvokos yra formuojamos remiantis kitomis, vienas teorijas apibendrina kitos, daug sudėtingesnės. Todėl ir neįmanoma pateikti ,,galutinio” matematikos apibrėžimo, – juk dabar negalima dar pasakyti, kaip atrodys pastatytas ( jei apskritai bus pastatytas ) matematikos rūmas. Tad čia sunku atsekti tas tikrovės reiškinių sritis, kurių atspindžiu gali būti laikoma viena ar kita matematikos sąvoka. Nors pirminių matematikos sąvokų – kvadrato, skritulio, trikampio – pirmavaizdžius dar galime surasti realiame pasaulyje, tačiau kitų prototipus atsekti darosi vis sunkiau. Matematika įgyja sąlygini savarankiškumą ir pati ima kurti savo tyrinėjimų pasaulį, kurį kai kas vadina matematiniu. Jei taip, tai ar kartais matematikai negresia pavojus nukrypti į klystkelius ir tapti tik pačios savęs mokslu? Nuo šio pavojaus ją lyg tvirtos granitinės uolos saugo du Heraklio stulpai – dedukcija ir logika. Juos abu geriausiai gali apibūdinti žodis ,,įrodymas”. Matematikos pagrindų – teoremų, lemų, teiginių – teisingumas yra nustatomas įrodinėjant. Kai matematikas įrodo kokį nors teiginį, tai jis matematikoje įsitvirtina amžiams, jo teisingumo neišklibins nei eksperimentų rezultatai, nei nauji atradimai. Todėl matematikai nepripažįsta jokių ,,darbinių hipotezių”. Matematikoje ,,darbinė hipotezė” egzistuoja, kol ji yra įrodinėjama, o kai teiginys jau įrodytas, jis iš ,,darbinės hipotezės” virsta visada ir visur teisinga teorema. Todėl matematika dažnai yra vadinama griežčiausiu,
tiksliausiu, logiškai pagrįsčiausiu mokslu. Kartais matematikų reikalavimas visur laikytis loginio tikslumo kai kam atrodo tiesiog liguistas atsargumas ir yra įvairių anekdotų šaltinis. Pasakojama kad kartą, keliaudami po Škotiją, trys draugai pamatė pievoje ganantis juodą avį. Astronomas sušuko: ,,Žiūrėkit, Škotijoj visos avys juodos”. Fizikas jį pataisė: ,,Škotijoj kai kurios avys juodos”. O matematikas pareiškė: ,,Galima teigti, kad Škotijoje yra bent viena pieva, kurioje ganosi bent viena avis, kurios bent vienas šonas yra juodas”. Tačiau kaip nebūsi atsargus, jei žinai, kad racionalinių skaičių ( sveikų skaičių ir jų santykių ) yra tiek pat, kiek ir natūriniu (sveikų teigiamų), nors atrodytų, jog racionalinių yra nepalyginti daugiau, o su skriestuvu ir liniuote galima nubrėžti taisyklingą septyniolikakampį, bet negalimą nubrėžti taisyklingo devyniolikakampio. Tad ne veltui logika yra vienas tų stulpų, ant kurių laikosi isas matematikos rūmas.

Tačiau jei norime ką nors įrodyti, turime remtis kokiais nors žinomais teiginiais. Priešingu atveju, matematika primins girnas, į kurias kažkas pripylė įvairiausio niekalo ir tikisi gauti puikiausių miltų. Tad matematinėje teorijoje turime ištisą teiginių hierarchiją, kuri baigiasi pirminiais teiginiais, vadinamomis aksiomomis, kurių įrodinėti jau nereikia. Aksioma – tai teorema, turinti ,,alibi”. Aksiomos yra tas cementas, kuris sujungia į vieną visumą pagrindinius matematikos objektus, sudarydamos tą pagrindą, ant kurio iš teoremų kuriama matematinė teorija. Pirmasis pabandė taip sudėlioti visą matematikos (tiksliau, geometrijos) rūmą antikos matematikas Euklidas (III a. pr. m. e.). Jo sukurti ,,Elementai” yra geriausias dedukcinio metodo įkūnijimo pavyzdys. Juose pirmiausia apibrėžiamos pačios pagrindinės matematikos sąvokos, t. y., nusakomi tie kertiniai akmenys, kurie bus įmūryti matematikos pamate. Vėliau aksiomomis ir postulatais yra nusakomi ryšiai tarp šių bendriausių matematinių objektų, o po to jau įrodinėjamos teoremos ir kuriamas matematikos pastatas.

Tačiau kiek reikia aksiomų, kad galėtume pastatyti šį rūmą? Kiekvienas pasakys, kad geriausia būtų, jei kiekvieną suformuluotą teiginį galima būtų arba įrodyti, arba paneigti, t.y. kad mūsų dedukcinė teorija, kai iš bendrų priimtų teiginių išvedami daliniai, būtų pilna. Bet neužmirškime, kad matematika eina apibendrinimo keliu, – vienas sąvokas pakeičia abstraktesnės, vienus rezultatus nurungia kiti, bendresni. Tad jei dedukcinė teorija yra pakankamai sudėtinga ir išplėtota ( o tokia jau yra aritmetika ), tai ji nėra pilna. Ir iš jos aksiomų negalima išvesti visų tos teorijos teiginių. Tai 1931 m. įrodė austrų logikas K.Gedelis. Tiesa, tokiu atveju aksiomas galima pertvarkyti, praplėsti taip, kad ankščiau neišvedamus teiginius būtų galima iš aksiomų išvesti. Tačiau ankščiau ar vėliau vėl atsiras neišvedamų teiginių ir vėl teks pertvarkyti aksiomų sistemą. Taip visą laiką. O kadangi begalinės aksiomų sistemos negali būti, tai negalimas visiškas mąstymo proceso matematikoje formalizavimas. Vadinasi, matematikos rūmą, kurį galima įsivaizduoti pastatytą iš blokų – matematinių dedukcinių teorijų, galima ir plėsti, ir statyti vis aukštesnį.

Nusprendusio tapti matematikos architektu laukia keletas vilkduobių. Į vieną jų įpulsime, jei pasirinkta aksiomų sistema bus prieštaringa, t. y., jei remdamiesi ja įrodysime du vienas kitam prieštaraujančius teiginius. Taip pat suklupsime, kai į aksiomų tarpą įtrauksime teiginį, kurį galima įrodyti remiantis likusiomis aksiomomis, tiksliau sakant, jei aksiomą laikysime potencialią teoremą. Ilgai matematikai abejojo, ar V.Euklido postulatas, teigiantis, kad per tašką, esantį šalia duotos tiesės, tegalima nubrėžti tik vieną lygiagrečią jai tiesę, nėra įrodomas teiginys. Mat dauguma Euklido aksiomų yra lyg ir savaime aiškios, be to, jų formuluotės visai paprastos. V.Euklido postulatas ir savo matematiniu turiniu, ir formulavimu skiriasi nuo kitų aksiomų bei postulatų, kaip diena nuo nakties. Padėtis pasikeitė tik XIX a., kai matematikų N.Lobačevskio, J.Bojajo ir K.Gauso pastangomis buvo sukurta neeuklidinė geometrija, kurioje V.Euklido postulatas pakeistas priešingu teiginiu. Matematikoje pasirodė ,,beprotiška” teorija, kuri vis dėlto buvo griežtai logiškas euklidinės geometrijos apibendrinimas ir gan greit surado pritaikymą A.Einšteino reliatyvumo teorijoje. Pasirodė, kad euklidinė geometrija yra neeuklidinės geometrijos dalinis atvejis. Kartu buvo įrodyta, kad Euklidas lieka teisus – V postulatas išties nepriklauso nuo kitų aksiomų bei postulatų, t.y., pats yra aksioma. Gal todėl Euklido ,,Elementai” tapo tokie populiarūs: išradus spaudą, po biblijos jie buvo labiausiai leidžiamas kūrinys. Net šiandien mokyklose mokomasi iš supaprastinto šio veikalo varianto. Teisingai pasakė amerikiečių matematikas T.Hysas ( 1861-1940 ) : ,,Euklido veikalas gyvens ir po to, kai visi mūsų dienų vadovėliai bus pakeisti kitais ir užmiršti. Tai vienas žymiausių antikos paminklų”.

Šiuo savo kūriniu Euklidas pastatė paminklą ne tik dedukciniam metodui, bet ir matematikai kaip teoriniam mokslui. Todėl senovės Graikija, A.Einšteino žodžiais tariant, ,,yra Vakarų mokslo
kai kas gali paprieštarauti, jog daugelis matematinių tiesų buvo atrastos senovės Babilone ir Egipte visų tūkstantmečiu anksčiau. Tad kas yra matematikos kūrėjai – senovės babiloniečiai ar graikai? Neskubėkime atsakyti į šį klausimą. Senovės Babilonas buvo Rytų valstybė, kur viešpatavo tironija, tiksliau sakant, tai tipiška bronzos amžiaus valstybė. O į geležies amžių įžengusioje senovės Graikijoje susikūrė demokratinė santvarka, tiesa, labai savotiška, – demokratija laisviems piliečiams ir vergovė vergams. Atrodytų, skirtumas nedidelis, tačiau jo pakako. Juk Rytų valstybėse ( senovės Kinijoje, Egipte, Indijoje ir t.t. ) žmogus buvo arba beteisis, nieko vertas, dulkėse šliaužiojąs kirminas arba ,,pusdievis”, kuris su savo pavaldiniais galėjo elgtis kaip išmanė. O jei taip, tai ar gali paprastas mirtingasis būti kūrėju, mokslininku? Aišku, kad ne! Geriausiu atveju jis gali būti tik savotiškas tarpininkas tarp dievų ir žmonių, dievų išrinktasis, kuriam kartkartėmis kaip dovana, yra duodama nors idėja ar mintis. Todėl mokslas – šventas dalykas, ir juo užsiimti teisę turėjo tik žyniai; jų pareiga buvo ir bendrauti su dievais. O jei visi moksliniai atradimai yra tik dievų dovana, tai ar galima tokiu atveju reikalauti įrodymų, pagrindimų. Senovės Babilono žmonėms toks reikalavimas būtų buvęs tolygus šventvagystei, dievų paniekinimui. Todėl jų mokslinės žinios labiau priminė įvairių dogmų arba taisyklių rinkinį. Čia nerasime nė vieno įrodymo, o tik nurodymus.

Antikos Graikijoje buvo visai kas kita. Susikūrusi demokratinė santvarka suteikė laisviems piliečiams teisę abejoti, svarstyti, samprotauti, vadinasi, turėti savo nuomonę. Susiklosčiusi tradicija viską įrodyti pasireikšti ir moksle, tuo pačiu ir matematikoje, kuri buvo perimta iš senovės babiloniečių. Taip atsirado mokslinė diskusija, ji ir pagimdė tą ,,stebuklą”- teorinį mokslą, kurį, J.Berneto žodžiais, galima nusakyti kaip ,,graikišką mąstymą apie pasaulį”. Matematika susiformavo kaip dedukcinė sistema. N.Burbakis sakė: ,,Senovės Graikijoje ,,matematika” reiškė ,,įrodyti”. Ji savo apogėjų pasiekė Euklido ,,Elementuose”.

Tačiau, kurdamas savo ,,Elementus”, ir išmintingasis Euklidas vienoje vietoje suklupo. Ir kaip tik ten, kur stengėsi apibrėžti pagrindinius matematikos objektus. Čia jam nepavyko – visi šie apibrėžimai yra neefektyvūs. Štai tašką jis taip nusako: ,,Taškas yra tai, kas neturi dalių”. Tačiau juk ir drąsa bei meilė neturi dalių. Nejaugi ir jie gali pretenduoti į matematinio taško vietą? Todėl dabar priimta ne apibrėžti svarbiausius matematinius objektus, o tik aksiomomis pagrindinius ryšius tarp jų. Vokiečių matematikas D.Gilbertas prasitarė: ,,Jei mes sąvokas ,,erdvė”, ,,plokštuma”, ,,tiesė” pakeisime žodžiais ,,stalas”, ,,alaus ąsotis”, ,,bokalas”, tai matematika nuo jos nepasikeis”. Šiame posakyje jaučiama Getingeno aludžių, kur D.Gilbertas mėgdavo pasėdėti su savo mokiniais, dvasia. Ar ne todėl ir sakoma, kad matematika pati kuria nagrinėjamą dalyką, vadinamąjį matematinį pasaulį, kuris iš pirmo žvilgsnio mažą ką bendro turi su mūsų realiu pasauliu. Tačiau kaip paradoksalu: šis, rodos, nuo realios tikrovės labiausiai nutolęs mokslas yra pati veiksmingiausia priemonė pažinti jos reiškinius. Norėdami matematiškai aprašyti tyrinėjama reiškinį, mes pateikiame jo matematinį modelį. Tada pagrindinės matematinės sąvokos yra sukonkretinamos, ir mes nustatome formules, nusakančias mūsų nagrinėjamą reiškinį. Kitą vertus, rastos tuoj tampa savarankiškomis ir gali būti pritaikytos tirti kitus reiškinius. Vokiečių fizikas H.Hercas pasakė: ,,Negalima studijuoti tos nuostabios teorijos nejaučiant kartkartėmis, jog matematinėse formulėse slypi savitas gyvenimas, jog jos protingesnės už mus, protingesnės už jų autorių ir duoda daugiau, negu mes į jas buvome įdėję”.

Bet jei matematika tapo universaliausia tikrovės pažinimo priemone, tai gal ji jau nesivysto, sustingo, tapo dogmatišku mokslu. Pats paviršutiniškiausias žvilgsnis į matematikų darbus sugriauna šią nuomonę. Visas žinias, kurias mes sukaupėme, galime įsivaizduoti kaip šviesos dėmę tamsiame nežinos pasaulyje. Kuo daugiau žinių, tuo didesnė ši dėmė. Tačiau jau Sokratas pastebėjo, jog tuo pat metu didesnis darosi ir šviesos (žinojimo) bei tamsos (nežinomybės) sąlytis. Vadinasi, daugėja ir problemų, kurias reikia išspręsti. Šį fenomeną XIX a. rusų matematikas P.Čebyševas taip apibūdino: ,,Matematikos istorijoje galima išskirti tris etapus. Iš pradžių matematines problemas pateikdavo dievai (pagal vieną legendą, antikoje garsų kubo padvigubinimo uždavinį pirmąkart suformulavo Delfų orakulas), vėliau tokie pusdieviai, kaip P.Ferma, B.Paskalis, I.Niutonas, o dabar juos formuluoja praktika”. Šie žodžiai ypač aktualūs pasidarė šiandien. ,,Mokslų karalienė” ( taip praeitame amžiuje matematiką pavadino vienas vienas žymiausių matematikų K.Gausas ) skirtingai nuo kitų dabarties karalienių ( ir karalių ), kurie tik valdo, bet nevadovauja, ir valdo, ir vadovauja. Ji turi tiek daug darbo, kad dabar ją imta vadinti mokslų tarnaite. Nerasime tokios mokslo šakos, kuri dabar nesinaudotų matematikos paslaugomis. Ir kažin ar šiandien
galėtume įsivaizduoti savo gyvenimą be šios karalienės ir tarnaitės. Visos matematikos šakos yra glaudžiai susijusios, susipynusios. Šiuolaikinė formuluojama matematika aibių teorijos sąvokomis ir pagrįsta aibių teorijos aksiomomis. Tos matematikos šakos, kurios naudojasi tolydumu, pirmiausia mat. analizė ir geometrija, grindžiamos topologija. Vektorinių erdvių teorija naudojasi tiesinės algebros metodais ir kartu sudaro mat. analizės (ypač funkcionalinės analizės) geometrinės kalbos pagrindą. Tikimybių teorija remiasi mato teorija ir funkcionaline analize. Skaičių teorijos šakos skiriamos pagal tai, kokie metodai jose vyrauja. Analizinė skaičių teorija naudojasi analizės, algebrinė – algebros metodais. Alg. geometrija, susiformavusi mat. analizėje iš elipsinių integralų ir elipsinių funkcijų, Abelio integralų ir Rymano paviršių tyrimo, naudojasi alg. tipologijos, homologinės algebros ir komutatyviosios algebros metodais. Homologinė algebra išaugo iš alg. tipologijos.

Kitiems mokslams matematika yra metodas, padedantis formuluoti ir spręsti jų problemas. Glaudžiausius ir seniausius ryšius ji turi su mechanika, astronomija ir fizika. Tie ryšiai abipusiai: mechanika, astronomija ir fizika ne tik naudojasi matematikos rezultatais, bet ir sudaro prielaidas sukurti tuos ar kitus tikrovės mat. modelius. Pvz., vienas iš svarb. stimulų dif ir integral. skaičiavimui buvo mechanikos poreikiai. Daugelio mechanikos ir fizikos problemų sprendimas pakeičiamas atitinkamų dif. lygčių nagrinėjimu. Reliatyvumo teorija mat. požiūriu yra specialiųjų Rymano daugdarų geometrija. Atomo fizika, kristalografija naudojasi grupių teorija. Statistinė fizika ir kvantinė lauko teorija siejasi su tikimybių teorija ir mat. statistika. Skaičiavimo matematikos plėtotę skatino technikos mokslai, kuriems aktualu gauti skatinį uždavinio sprendinį. Dėl technikos poreikių susiformavo variacinis skaičiavimas. Vėliau jo pagrindu rutuliojosi optimalaus valdymo teorija. Dauguma dif. lygčių klasių buvo ištirtos, sprendžiant technikos problemas. Matematikos metodais (daugiausia tikimybių teorija ir mat. statistika) naudojamasi biologijoje, medicinoje, socialiniuose ekonominiuose ir humanitariniuose moksluose. Elektroninių skaičiavimo mašinų sukūrimas ypač išplėtė matematikos naudojimo kt. Moksluose ir liaudies ūkyje galimybes.

Pirmosios matematikos sąvokos atsirado pirmykštės bendruomenės laikais iš praktinės žmonių veiklos poreikių. Žmonių sąmonėje formavosi geometrinių figūrų vaizdiniai, imta lyginti vienarūšius dydžius, matuoti, skaičiuoti. Kartu su kitomis gamtos žiniomis kaupėsi pirmosios geometrijos ir aritmetikos žinios.

Manoma, kad matematikos terminas atsirado senovės Graikijoje VI a. pr. m. e. Tuo laikotarpiu pradėta sistemingai naudoti loginius matematinių faktų įrodymus; matematika tapo savarankišku mokslu. Pitagoras ir jo m-la išplėtojo pirmųjų matematikos teorijų – planimetrijos ir skaičių teorijos – pradmenis. Nagrinėjant skaičių dalumą, pradėta vartoti pirminio skaičiaus ir tarpusavyje pirminių skaičių sąvokas. Pitagorininkai apibrėžė ir tyrė aritmetinį, geometrinį ir harmoninį vidurkiu, sukūrė metodą, kaip gauti neribotą kiekį pitagorinių skaičių. V a. pr. m. e. pitagorininkai grynai deduktyviai įrodė, kad kvadrato kraštinė ir įstrižainė nebendramatės, t.y. kad racionaliųjų skaičių nepakanka geometriniams dydžiams matuoti. IV a. pr. m. e. I pusėje jau buvo žinomi visi 5 taisyklingieji daugiasieniai: tetraedras, kubas, dodekaedras (atrasti dar pitagorininkų), oktaedras ir ikosaedras (atrasti Teteto, 410-368 pr. m. e.). Eudoksas sukūrė proporcijų teoriją, iš esmės pakankamą realiojo skaičiaus sąvokai pagrįsti. IV a. pr. m. e. Euklidas ,,Pradmenyse” susistemino ir deduktyviai išdėstė antikinę matematiką (geometriją, skaičių teorijos, ir algebros elementus, proporcijų teoriją). Šiame veikale buvo suformuluotas 2 skaičių bendro didž. daliklio radimo metodas (Euklido algoritmas), įrodyta, kad pirminių skaičių yra begalo daug, sudaryta geom. Progresijos baigtinio skaičiaus narių sumos formulė. III a. pr. m. e. Archimedas, toliau plėtodamas savo pirmtakų, pirmiausia Eudokso, idėjas, patobulino plotų ir tūrių skaičiavimo užuomazga. Apolonijas Pergietis sistemingai išdėstė kūgio pjūvių teoriją; ja vėliau naudojosi dangaus mechanika.

Šiuo metu Jūs matote 31% šio straipsnio.
Matomi 2963 žodžiai iš 9529 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.