Matricų algebra
5 (100%) 1 vote

Matricų algebra

1. Atvirkštinė funkcija.

Y=f(x) (1) x – nepriklaus kintamas (argumentas), y – priklaus kintam (f – ja). x[a, b] (2) šioje lygybėj y – neprikl kintam (argumentas), x – priklaus kintam (funkcija). Jeigu kiekvieną argumento reikšmę į intervalo y[c, d] atitinkančias x[a, b] priklauso intervalui [a, b] tai f – jos y= f(x) ir x=(y) vad viena kitos atžvilgiu atvirkštinėm f – jom. Jeigu (2) argument kaip paprastai pažymim x, o f – ją y tai turėsim y= (x). jeigu f – ja y= f(x) ir y= (x) yra atvirkšt viena kitos atžvilgiu tai tų f – jų grafikai simetriniai tiesės y= x atžvilgiu. Pvz y= f(x)= x2 rasim jai atvirkšt f – ją y= x2; x= y; y= x. jos yra atvirkšt (brėž 1).

2. Išreikštinės ir neišreikšt f – jos.

Tegu y reikšmės priklauso nuo kintamojo x reikšmių. Jeigu funkcijinis rišys tarp f – jų y ir argum x duotas lygtim išspresta y atžvilgiu y: y= f(x). pvz y= (3×2- 1)/ 5. Iš tokios lygybės matom kokius veiksmus turime atlikti su argum ir pastoviais skaičiais norėdami rasti f – jos y reikšmes. Jeigu funkcijinis rišys tarp argum x ir f – jos y duotos lygtimi neišspręsta y atžvilgiu tai turim neišreikšt f – ją y. ją žymim F(x, y)= 0 y – neišreikšt f – ja. Pvz 2x – sim(xy)+ y2 – 5= 0.

3. Hiperbolinės f – jos.

Hiperbol f – jom vad šitos f – jos sh (sinusas hiperbol), shx= (ex+ e-x)/ 2, ch (kosinus hiperbol), th, cth. Šios f – jos vad trigonometrinėm, nes jų panašios sąvybės į trigonometr, o hiperbol nes jos su lygiaašia hiperbole turi tokį pat ryšį kokį trigonometr f – jos turi apskritimu. Hiperbol f – jos tenkina tokia sąvyb: ch2x – sh2x= 1, thx= shx/chx, cthx=chx/shx.

4. Parametrinės f – jos lygtis.

Turim 2 lygtis x= (t) y= (t) (1), t [; ]. Kiekvienai t reikšmei iš [; ] iš (1) rasim reikšmes x ir y. jeigu į reikšmių porą x ir y žiūrėsim kaip į plokštumos Oxy koordinat, tai keisdami parametro t reikšmę plokštumoj Oxy gausim vis naują taško M(x; y) padėtį. Tegu visuma šitokių taško M padėčių sutampa su kokios tai f – jos y= f(x) grafiku. Tokiu atveju sakom kad y= f(x) yra išreikšta parametrinėm lygtim sist{ y= (t), x= (t). Pasirinkę t reikšmę iš (x, y) po to dar gaunam aibę taškų kurie sutampa su y= f(x) grafiku. Kai kurios dažniau vartojamo parametrinės lygtys: 1. Apskritimo (brėž 2) spindulys r, M(x; y) – bet kuris apskrit taškas, parametras t – kampas kurį spindulys sudaro x ašies teigiama kryptim. x= OB= OA+ AB= OA+ CD= a+ rcost, y= BM= BD+ DM= b+ rsint. Sist{ x= a+ rcost, y= b+ rsint – parametrinės lygtys apskrit kurio centras C(a; b) ir spind r. 0 t 2. (x – a)2+ (y – b)2= r – lygtis apskritimo. 2. Elipsės parametrinė lygtis. (brėž 3). a> b x= OA= BM= acost, y= OB= AM= bsint. Sist{ x=acost, y= bsint – parametrinė elepsės lygtis a ir b elepsės pusašiai.

5. Funkcijos išvestinės geometrinė prasmė.

Duota y= f(x) apibrėžta visom x reikšmėm x[a; b]. tegu x ir x+x yra dvi argumento reikšmės priklausančios interval [a; b] Jeigu egzistuoja riba y/x= (f(x+ x) – f(x))/ x, kai x 0 ji vad funkcijos y= f(x) išvestine taške x ir žymim ją y`, f`(x), dy/dx. y`= x0 lim y/ x= x0 lim (f(x+ x) – f(x))/ x – f – jos išvestinė. F- jos išvest yra lygi f – jos pokyčio y ir argumento x pokyčio santykio ribai, kai argumento pokytis artėja į nulį. Jeigu y= f(x) taške x turi išvest, tai sakom kad ji šiame taške diferencijuojama. Jeigu y= f(x) diferen visuose [a; b] taškuose tai sakom, kad ji diferen intervale [a; b]. funkcijos išvest radimo veiksmas vad f – jos diferenc. Išsiaiškinsim f – jos išvest geometrinę prasmę (brėž 4). Y= f(x) grafiko taške M(x; y) pravedam liestinę ML kurios krypties koefic kML. Argumentui x davus pokitį x gaunam kitą grafiko tašką N(x+ x; y+ y). pravedam stygą MN kuri su x ašies teigiama kryptimi sudaro kampą , tada stygos krupties koef kMN= tg. Sakykim kad x0 tada taškas N kreive artėja prie taško M, tuo pačiu styga MN keisdama savo padėtį artėja prie liestinės ML, vadinasi ir krypt koef kMN kML. Vadinasi kML= x0 lim kMN= x0 lim y/ x= y`, tg= y/ x. taigi y`= kML ši lygybė nusako išvest geometrinę prasmę f – jos y taške x, geometriškai reiškia šiame taške pravestos grafiko liestinės krypties koefic.

6. F – jos diferencijuojamumas.

Ją nusako teorema jeigu y= f(x) yra diferenc taške x0 tai ji šiame taške yra tolydi. Įrodymas: jeigu y= f(x) taške x0 turi išvest, tai egzistuoja riba x0 lim y/ x= f`(x0) (1). Žinom kad f – ja nuo savo ribinės reikšmės skiriasi n.m.d, tai iš (1) tyrėsim y/ x = f`(x0)+ (x), (x) – nykst maž f – ja, kai x0. y= f`(x0) x+ (x) x; (x) x – n.m.d, kaip sandauga dviejų n.m.d. f`(x) x – n.m.f, nes tai yra sandauga n.m.d x ir pastovaus dydžio (x) x+ f`(x0) x – n.m.f, nes tai yra suma dviejų n.m.d. y – n.m.d kai x0, tai yra kad x0 lim y= 0 – ši lygybė rodo, kad n.m. argumento pokitį x atitinka n.m.f – jos pokytis y, o tai reiškia, kad f – ja y= f(x) yra tolydi taške x0. Išvada: vadinasi tik tolydi duotajame taške f – ja yra jame diferenc.

7. Diferencijavimo taisyklės.

1. pastovaus dydžio išvest lygi 0; c`=0. 2.
Argumento išvest lygi 1; x`=1. 3. F – jų algebr sumos išvest lygi šių funkc išvest algebrin sumai; (U V)`= U` V`. 4. Sandaug išvest (UV)`=U`V+ V`U. 5. Pastovų daugiklį galima iškelti prieš skliaustus (cU)`=cU`, c= const. 6. Baigtinio skaič f – jos sandaugos išvest yra lygi sumai sandaugų sudarytų iš kiekvienos f – jos išvest ir likusiųjų f – jų; (UVZ)`=U`VZ+ V`UZ+ Z`UV. 7. Laipsninės f – jos išvest; (xn)`= nxn-1, (1/x)`= –1/x2, (x1/2)`= 1/2x. 8. Trupmenos išvestinė (U/V)`= (U`V – V`U)/ V2. 9. Trigonometrinių f – jų išvestinės; (sinx)`= cosx, (cosx)`= –sinx, (tgx)`= 1/ cos2x, (ctgx)`= –1/ sin2x. 10. (arcsinx)`= 1/ (1 – x2), (arccosx)`= –1/ (1 – x2), (arctgx)`= 1/ (1+ x2), (arcctgx)`= –1/ (1+ x2). 11. Rodiklinės f – jos išvestinė (ax)`= axlna, a= const, (ex)`= ex. 12. Logoritminės f – jos išvest; (logax)`= 1/ xlna.

8. Sudėtinės f – jos išvestinė.

Duota y= f(u), kur u= (x) tada turėsim kad y= f((x)), x – nepriklaus argumentas, u – tarpinis argumentas. Jeigu y= f(u) yra diferenc tarpiniu argumentu u, o u= (x) yra difer nepriklaus argum x, tai argumentui x davus pokitį x, y= (x) įgaus pokitį u kuris savo ruožtu f – jai y= f(u) suteik pokitį y. tada turėsim kad y/ x= (y/ u) (u/ x). tada x0 lim y/ x= (u0 lim y/ u) (x0 lim u/ x). Kadangi u= (x) yra difer taške x, tai ji šiame taške yra tolydi. Pagal f – jos tolydumo apibrėž turėsim, kad x0 lim u= 0, tai yra kai x0, tai ir u0. x0 lim y/ x= (u0 lim y/ u) (x0 lim u/ x). Taigi yx`= yu`ux`. sudėtinės f – jos y= f((x)) išvest pagal x yra lygi šios f – jos išvest pagal tarpinį argumentą u padaugintai iš tarpinio argum išvest pagal nepriklaus argumentą x. ((2x+ 1)3)`=3(2x+ 1)22= 6(2x+ 1)2.

9. Atvirkštinės f – jos išvestinė.

Jeigu tiesioginė f – ja y= f(x) taške x turi nelygią 0 išvest f(x) 0 ir jai atvirkšt f – ja x= (y) yra tolydi taške y tai atvirkšt f – jos išvest yra lygi jai tiesioginės f – jos išvest atvirškt reikšmei. `(y)= 1/ f`(x). įrodymas x/ y= 1/ (y/ x), y0 lim x/ y= y0 lim 1/ (y/ x), kadangi x= (x) yra tolydi taške y tai, kai y0 tai ir x0 y0 lim x/ y=1/ (x0 lim y/ x), xy`=1/ yx`; `(y)= 1/f`(x).

10. Neišreikštinių f – jų diferencijavimas.

Sakykim kad nepriklaus argum x neišreikšt f – ja y duota ryšio lygtimi F(x; y)= 0 (1). Kad rasti y išvest difer (1) abi puses F`(x; y)= 0 (2) Iš (2) lygties y` randame kaip nežinomąjį. Pvz rasti neišreikš f – jos y išvest kuri duota lygtimi 2xy– sinx+ y2+ 3=0, 2(y+ xy`)– cosx+ 2yy`=0, 2y+ 2xy`– cosx+2yy`=0, y`(2x+ 2y)= cosx– 2y, y`= (cosx– 2y)/ (2x+ 2y).

11. Logoritminio diferencijavimo metodas.

xx – laipsninė – rodiklinė f – ja. Šitokiai f – jai išvest rasti taikomas logorit difer metodas. y= xx, lny= lnxx, lny= xlnx. Toliau difer kaip neišreikt f – ją. y`/y=lnx+ x 1/x, y`= y(lnx+ 1), y`=xx(lnx+ 1). Logorit difer metodą patogu taikyti ieškant sudėtinių išvest logoritmuojamų reiškinių y= ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4), lny=ln ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4), lny= 2ln(x+ 1)+ ½lnx+ 5lnx– 3lnx– 4ln(x– 2), y`=y (2/ (x+ 1)+ 5/ 2x– 4/ (x– 2)), y`= ((x+ 1)2x x5)/ (x3(x– 2)4) ((x2– 5x– 10)/ (2x(x+ 1)(x–2))).

12. Parametrinėmis lygtimis duotų f – jų diferencijavimas.

Tegu f – ja y= f(x) duota parametrinėm lygtim sist{ x= (x), y= (x) lygtį x= (t) išsprendę t atžvilgiu rasim f – ją t= (x) kuri bus atvirkštinė f – jai x= (t). Kadangi atvirkšt f – jos išvest lygi jai tiesiginės f – jos išvest atvirkšt reikšmei turėsim, kad (x)= 1/ `(t). Jeigu į f – ją y= (t) istatysim t= (x) tai turėsim sudėtinę f – ją y= [(x)]. Rasim šios f – jos išvest pagal x. yx`= t`(x)`=t`/  t`, tai yx`=yt`/ xt`. pvz rasti yx`, kai f – ja duota parametrinėm lygtim. Sist{ x= sin3t, y= e2t. yx`= (e2t)`/ (sin3t)`= (2e2t)/ (3cos3t).

13. Viduriniųjų reikšmių teoremos. Lagranžo teorema.

Jeigu f – ja y= f(x) yra tolydi intervale [a; b] ir šio intervalo vidiniuose tškuose turi baigtines išvest, tai tame intervale bus bent viena argumento reikšmė x= c, tokia kad f(b)– f(a)= f`(c) (b– a), a< c< b. Įrodymas: (brėž 5) Kreivės y= f(x) taške kurio apsisė x= c, pravestoji liestinė yra KL|| AB. Stygos AB kAB= tg. tg= BD/ AD= (f(b)– f(a))/ (b– a). pagal išvest geometrinę prasmę kKL= f`(c), kadangi KL|| AB tai kKL= kAB, f`(c)= (f(b)– f(a))/ (b–a) iš čia f(b)– f(a)= f`(c) (b– a).

14. Rolio teorema.

Jeigu f – ja y= f(x) yra tolydi inteval [a; b] šio interval vidiniuose taškuose turi baigtines išvestines f`(x), be to intervalo galuose f – jos reikšmės yra lygios f(a)= f(b), tai intervalo viduje bus bent viena argumento reikšmė x= c tokia, kad f`(c)=0. (brėž 6). F – jos grafiko taške, kurio apsisė x= c pravesta liestinė KL|| AB. Kadangi AB= Ox, tai kAB= tg0= 0. Pagal išvest geometr prasmę liestinės KL, kKL= f`(c), kadangi KL|| AB, tai kKL= kAB. f`(c)=0.

Šiuo metu Jūs matote 31% šio straipsnio.
Matomi 1937 žodžiai iš 6210 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.