Materialiojo taško ir kietojo kūno slenkamojo judėjimo kinematika.
Mechanika. Mechaninis judėjimas – tai kūnų ar jų dalių tarpusavio padėties
kitimas erdvėje ir laike.Mechanika – yra fizikos šaka, tirianti
materialiųjų kūnų mechaninį judėjimą ir jų tarpusavio sąveiką Ji nagrinėja
tik tokias materialiųjų kūnų sąveikas, dėl kurių kinta kūnų taškų judėjimo
greitis arba kūnai deformuojasi. Mechaninis judėjimas – tai paprasčiausia
materijos judėjimo forma. Judant kūnui gali kisti gravitacinė,
elektromagnetinė sąveika, masė, kūno matmenys ta kryptimi, kuria jis juda.
Mechanika nagrinėja sukamąjį, svyruojamąjį ir slenkamąjį judėjimą.
Klasikinė – tai Niutono dėsniais pagrysta mechanika. Kvantinė mechanika –
nagrinėja mikrodalelių ir jų sistemų vidines savybes, jų judėjimą ir su juo
susijusius reiškinius. Reliatyvistinė mechanika- nagrinėja kūnų judėjimą
greičiais, artimais šviesos greičiui vakuume. Klasikinė mechanika dar
skirstoma į statiką, kinematiką, dinamiką. Statika- tiria jėgų veikiamų
kūnų pusiausvyrą. Kinematika- nagrinėja kūnų judėjimą nesiedama jo su
fizikinėmis priežastimis. Dinamika – tiria kūno judėjimo kinematinių
charakteristikų priklausomybę nuo kūno ir jį veikiančių jėgų.
Erdvė ir laikas klasikinėje mechanikoje. Materialieji kūnai be paliovos
juda, vystosi, kinta. Vienalytiškumas erdvės – visi erdvės taškai
ekvivalentūs ta prasme, kad visuose juose kūnų judėjimo dėsniai ir
geometriniai sąryšiai vienodi. Kita erdvės simetrijos savybė yra jos
izotropiškumas: erdvėje nėra privilegijuotų krypčių, visomis kryptimis
erdvės savybės vienodos. Klasikinė mechanika teigia, kad laikas visai
Visatai yra vienodas. Taigi laikas yra vienalytis arba pasižymi
transliacine simetrija. Mokslinę erdvės ir laiko sampratą pateikia
dialektinis materializmas. Objektyviai egzistuojantys erdvė ir laikas yra
pagrindinės materijos būties formos: erdvė išreiškia materijos tįsumą ir
struktūriškumą, o laikas pasireiškia materialiųjų objektų egzistavimo
trukme, jų būsenų kaitos nuoseklumu.Erdvė ir laikas neatskiriami nuo
materijos, taigi ir vienas nuo kito.
Materialusis taškas. Šią sąvoką fizikoje žymime materialųjį objektą, kurio
matmenų ir formų nepaisome, laikome tašku. Jo padėtis nusakoma taip pat
kaip ir geometrinio taško – arba trimis koordinatėmis, arba spinduliu
vektoriumi.
Ataskaitos sistema. Bet kuris judėjimas yra reliatyvus ir todėl jį reikia
nagrinėti pasirinktoje atskaitos sistemoje. Atskaitos sistemą – sudaro
koordinačių sistema, susieta su kokiu nors kūnu, ir laikui atskaičiuoti –
laikrodis. Dešinine koordinačių sistema- vadiname jeigu, atlenkus statmenai
dešinės rankos nykštį, smilių ir didįjį pirštą, jų kryptys sutampa su ašių
Ox, Oy ir Oz teigiamomis kryptimis. Kai vienos ašies kryptis pakeičiama
priešinga, gaunama kairinė koordinačių sistema. Materialiojo taško padėtį
atskaitos sistemoje laiko momentu t nusakome trimis koordinatėmis x,y,z
arba iš koordinačių pradžios išvestu spinduliu r. [pic]
Kinematinėmis judėjimo lygtimis- vadinamos skaliarinės lygtys x=x(t);
y=y(t); z=z(t) arba vektorinė lygtis r=r(t).
Materialiojo taško padėčiai nusakyti skiriami 3 atvejai.1) Materialusis
taškas juda išilgai tiesės. Vienmačiu judėjimu – vadiname, kai materialiojo
taško padėtį nusako viena koordinate arba pastovios krypties spinduliu
vektoriumi.2) Judančio materialiojo taško spindulys vektorius brėžia
plokštumą. Jo padėčiai nusakyti reikia dviejų koordinačių, todėl tokį
judėjimą vadiname – dvimačiu arba plokštuminiu. 3) Kai materialiojo taško
padėčiai nusakyti reikalingos trys koordinatės, tai – trimatis arba
erdvinis,judėjimas.
Materialiojo taško judėjimo greitis. Kinematika tiria vadinamąsias
kinematines judėjimo charakteristikas: judančio kūno taškų padėtį, judėjimo
trajektoriją,taškų judėjimo greitį,laiką. Trajektorija – vadiname judančio
materialiojo taško spindulio vektoriaus r galinio taško brėžiama kreivė.Trajektorijos judėjimą skirstome į tiesiaeigį ir kreivaeigį. Poslinkio
vektorius – tai vektorius Δr=r-r1 išvestas iš materialiojo taško pradinės
padėties į jo padėtį duotuoju momentu.
A
r1
(r0 r B
Vidutiniuoju greičiu – vadiname materialiojo taško poslinkio vektoriaus Δr
ir laiko tarpo Δt, per kurį jis pasislinko, santykis.ΰ=Δr/Δt. Materialiojo
taško judėjimo greitis lygus jo spindulio vektoriaus pirmajai išvestiniai
laiko atžvilgiu. Materialiojo taško greičio vektorius v yra lygiagretus
liestinei, ir jo kryptis sutampa su taško judėjimo kryptimi. Taigi
materialiojo taško greičio modulis yra lygus jo nueito kelio pirmajai
išvestinei laiko atžvilgiu.v=ds/dt; ds=vdt.
Materialiojo taško judėjimo pagreitis. Greičio pokytis Δv=v-v1. Santykis
ã=Δv/Δt rodo vidutinę
greičio kitimo spartą, ir vadiname vidutiniuoju
pagreičiu. Šio santykio riba a=lim Δv/Δt=dv/dt nusako greičio kitimo spartą
laiko momentu t ir vadinama pagreičiu. Ir pagreitį užrašome
a=d/dt(dr/dt)=d2r/dt2. Taigi materialiojo taško pagreitis yra lygus jo
greičio pirmajai išvestinei laiko atžvilgiu Išreiškę greitį v ir spindulį
vektorių r projekcijomis užrašome taip: [pic]Kietojo kuno inercijos momentas.Tarkime, kad kietasis kunas susideda is
mases m1, m2, m3,…, mN materialiuju tasku. Kiekvieno ju atstuma iki
asies Oz pazymekime R1,R2,R3,…,RN .Tuomet ,sudeje ji sudaranciu
materialiuju tasku inerciju momentus, apskaiciuojame kuno inercijos momenta
Iz asies Oz atzvilgiu: Iz =m1R21+ m2R22+m3R23+…+m N R 2 N =( mi Ri
.Jeigu nepasome kuno moleku8lines strukturos ir ji laikome vientisu ,tai
inercijos momenta galime apskaiciuoti sitaip: visa kuna padalijame I
nykstamai mazo turio elementus Dv. Kiekvieno elemento mase dm=(dV ir
atstumas iki sukimosi asies R; taigi jo inercijos momentas dIz= R2dm=(
R2Dv.Heigenso ir Steinerio teorema. Kietojo kuno inercijos momentas visada
nusakomas konkrecios asies atzvilgiu. Keiciant asies padeti, bendruoju
atveju keiciasi ir kuno inercijos momentas. Sakysime asis O/z/eina per
mases m kuno masiu centra C, o kita, jai lygiagreti asis Oz eina atstumu l
nuo pirmosios Asims statmenoje plokstumoje nubreziame i mases mi
materialuji taska vektorius R/i, Ri ir jungianti asis vektoriu l. Sie
vektoriai tenkina lygybe Ri= l+ R/i .Nagrinejamo materialiojo tasko atstumo
iki asies O/z/ kvadratas yra R/2i , o iki asies Oz: R2i=(l+ R/I)2=l2+2l R/i
+ R/I2 Atsizvelge i sia lygybe , kuno inercijos momenta asies Oz atzvilgiu
uzrasome taip:Iz=( mi R2i= l2( mi+2l( mi R/i+ ( mi R/2i Visu kuna
sudaranciu materialiuju tasku suma ( mi=m yra kuno mase. Geometrine suma (
mi R/I lygi nuliui nes asis O/z/ eina per centra. Dydis ( mi R/2i yra kuno
inercijos momentas asies O/z/ atzvilgiu; ji pazymekime Ic taigi: Iz= Ic+ml2
.Si formule tai Heigenso ir Steinerio teoremos matematine israiska.
Sukamojo judejimo dinamikos pagrindinis desnis
Judesio kiekio momentas nejudancio tasko atzvilgiu.
Mases mi marerialiojo tasko judancio greiciu vi spinduli vektoriu bet kokio
nejudancio tasko O atzvilgiu pazymekime ri.Materialiojo tasko spindulio
vektoriaus ri ir judesio kiekio Ki = mi * vi vektorine sandauga Li=ri*mivi
vainame materialiojo tasko judesio kiekio momentu tasko O atzvilgiu. Sis
apibrezimas tinka tik nerealitivistiniam, tiek ir releatyvistiniam judesio
kiekiui. Vektorius Li yra statmenas plokstumai nubreztai per vektorius ri
ir Ki . Vektoriai ri ir Ki ir Li orientuoti taip kaip desineje
koordinaciu sistemoje oreintuotos asiu Ox Oy ir Oz teigiamos kryptys.
Judesio kiekio momentas nejudancios asies atzvilgiu. Mases mi materialiojo
tasko judesio kiekio momento Li tasko O atzvilgiu projekcija Lzi bet
kokioje per ji ienancioje asyje Oz vadinama sio tasko judesio kiekio
momento asies atzvilgiu: Lzi = (ri*mivi)z .Sudeje algebriskai visu kietojo
kuno materialiuju tasku judesio kiekio momentus Lzi asies Oz atzvilgiu
gauname kuno judesio kiekio momenta tos pacios asies atzvilgiu:Lz = (Lzi
jeigu asis Oz yra kietojo kuno sukimosi asis tai kievieno materialiojo
tasko greicio vi kryptis sutampa su jo judejimo trajektorijos liestines
kryptimi; taigi vektorius vi statmenas vektoriui ri. Is vektoprines
sandaugos apibrezimo isplaukia kad vektoriaus Li modulis lygus
uzbruksnioto staciakampio plotui300.Projekcijos Lzi skaitine verte lygi sio staciakampio projekcijos asiai Oz
statmenoje plokstumoje plotui. Kaip matyti paveiskle, Lzi = Rimivi = Izi(.
Taigi kietojo kuno judesio keikio momenta pastovios sukimosi asies
atzvilgiu galime isreiksti sitaip: Lz = ((Izi=(Iz. Iz=(Izi yra kuno
inercijos momentas asies Oz atzvilgiu. Judesio kiekio momentas kitaip
kinetinis momentas yra svarbus materialiojo tasko arba ju sistemos judejimo
dinamine charakteristika , naudojama nagrinejant ne tik makroskopiniu
objektu sukamaji judejima.
Sukamojo judejimo dinamikos pagrindinis desnis.pasinaudosami sandaugos
diferencijavimo taisykle materialiojo tasko judesio kiekio momentui
uzrasyta Li=ri*mivi lygybe diferancijuojame laiko atzvilgiu
dLi/dt=d(ri*mivi )/dt=(dri/dt)*mivi+ri*(d(mivi)/dt).
Rementis antruoju Niutono desniu materialiojo tasko judesio kiekio
isvestine laiko atzvilgiu lygi ji veikianciu jegu atstojamajai Fi .
Atsiszvelge I visa tai formule perrasome sitaip: dLi/dt=ri*Fi=Mi cia Mi yra
materialuju taska veikianciu jegu tastojamosios momentas tasko O atzvilgiu.
Mi cia butu i-aji materialuji taska veikianciu vidiniu ir isoriniu jegu
atstojamasis momentas sukimosi tasko atzvilgiu. Susumave viesiems taskams
parasytas lygtis gauname: dL/dt=M cia L= (Li yra kuno judesio kiekio
momentas sukimosi tasko O atzvilgiu. Dydis M = (Mi
Savojoje atskaitos sistemoje dalelė nejuda (v=0) ir jos reliatyvistinė masė
[pic]. Pastarąjį dydį vadiname rimties mase. Naudojantis reliatyvistine
judesio kiekio išraiška, reliatyvistinės dinamikos pagrindinis dėsnis
užrašomas lygiai taip pat kaip ir Niutono dėsnis:
[pic]
Kai dalelę vienu metu veikia keletas jėgų, dydis F yra visų jėgų
atstojamoji.
MASĖS IR ENERGIJOS SĄRYŠIS
Specialioji reliatyvumo teorija įrodė universalųjį laisvosios dalelės
reliatyvistinės masės ir pilnutinės energijos W sąryšio dėsnį:
[pic]
Ši lygtis energiją W susieja su reliatyvistine mase mr arba atvikščiai.
Taigi masė ir energija viena be kitos neegzistuja ir visada proporcingos
viena kitai. Iš šio masės ir energijos sąryšio išplaukia, jog, kintant
vienam šių dydžių, proporcingai kinta ir antrasis. Jų pokyčius sieja
lygybė:
[pic]
Ši formulė išreiškia dalelės ar kūno reliatyvistinės masės ir pilnutinės
energijos vienalaikių pokyčių sąryšį. Kūno pilnutinę energiją sudaro jo
vidinė ir reliatyvistinė energijos kartu. Į kūno pilnutinę ir rimties
energiją neįeina jo potencinė energija, gaunama dėl išorinių jėgų laukų
poveikio.RELIATYVISTINĖ KINETINĖ ENERGIJA
Atėmę iš kūno pilnutinės energijos rimties energiją , gauname
reliatyvistinę kinetinę energiją:
[pic]
Kai kūno judėjimo greitis v < c, tuomet
[pic]
Panaikinę iš judesio kiekio skaliarinės išraiškos ir pilnutinės energijos
formulės greitį v kūno pilnutinę energiją išreiškiame jo judesio kiekiu:
[pic]
RYŠIO ENERGIJA
Ryšio energija lygi darbui A, kurį reikia atlikti, kai norima suskaidyti
sąveikaujančių dalelių sistemą nesuteikianti joms kinetinės energijos.
Dalelių sistemos potencinė energija padidėja tiek, kiek atlikta darbo.
Vadinasi, priešingai reliatyvistinei mase rimties masė nėra esminė kūno
charakteristika, nes sąveikaujančių dalelių sistemos rimties masė yra
mažesnė už ją sudarančių dalelių, esančių laisvoje būsenoje, rimties masių
sumą. Šį masių skirumą vadinsime masės defektu. Kuo jis didesnis, tuo
didesnė dalelių sistemos ryšio energija.
TVERMĖS DĖSNIAI RELIATYVISTINĖJE FIZIKOJE
Potencialinių jėgų veikiama dalelė turi potencinę energiją Wp. Remiantis
reliatyvistinės dinamikos pagrindiniu dėsniu, galima įrodyti, kad šios
dalelės pilnutinės ir potencinės energijų suma yra pastovi t.y.:
[pic]
Laisvai dalelei (Wp=0) šis dėsnis užrašomas šitaip:
[pic]
KLASIKINĖS MECHANIKOS TAIKYMO RIBOS
Mechanika kuriai tinka specialiosios reliatyvumo teorijos postulatai ir iš
Lorenco transformacijų išplaukiančios išvados, vadinama reliatyvistine
mechanika.
Mikrodalelių judėjimo dėsnius ir tų dalelių bei jų sistemų kai kurias
vidines savybes tiria kvantinė mechanika.
Todėl klasikinė mechanika yra reliatyvistinės mechanikos atvejis, visiškai
tinkantis praktiniams poreikiams, kai tenka nagrinėti makroskopinių kūnų,
judančių mažais greičiais (lyginant su šviesos greičiu vakuume), judėjimą.
NEINERCINĖS ATSKAITOS SISTEMOS
Atskaitos sistemos, judančios su pagreičiu inercinių atskaitos sistemų
atžvilgiu, vadinamos neinercinėmis. Tokiose atskaitos sistemos pirmasis
Niutono dėsnis negalioja. Paprasčiausios neinercinės atskaitos sistemos yra
tokios, kurios žvaigždžių atžvilgiu juda su pagreičiu arba tik sukasi.Laikas ir ervė neinercinėse atskaitos sistemose
Laikas ir ervė vienas su kitu susiję ir priklauso nuo judančios materijos,
todėl tikėtina, kad galima ir tokia atskaitos sistema, kurios |Tolygiai