TIESINIO OPTIMIZACIJOS UŽDAVINIO SPRENDIMAS
1 Tiesinis optimizavimo uždavinys ir jo bendrasis matematinis modelis.
Inžineriniai uždaviniai konstrukcijų projektavime dažnai yra susiję su
jų elementų skerspjūvių parinkimu ir gali turėti daug sprendinių. Kaip yra
žinoma konstrukcijai parinkti skerspjūviai turi tenkinti tam tikras
sąlygas. Jos gali būti stipruminės, standumo, stabilumo, pusiausvyros ir
kt. Šios visos sąlygos yra aprašomos matematinėmis lygtimis arba
nelygybėmis, bendru atveju: [pic] [pic]
[pic] [pic].
Skaičių [pic] rinkinys tenkinantis šią sąlygų sistemą yra vadinamas
leistinuoju sprendiniu: [pic].
Konstrukcijų skaičiavimo uždavinyje apribojimų išreikštų lygybėmis
skaičius dažniausiai yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, todėl leistinų
sprendinių yra labai daug. Pasirinkus tam tikrą funkciją [pic] išreikštą
per šiuos kintamuosius, galima leistinuosius sprendinius palyginti šios
funkcijos atžvilgiu ir priklausomai nuo to koks ekstremumas keliamas
funkcijai [pic] galima gauti geriausią sprendinį šios funkcijos atžvilgiu,
todėl mūsų uždavinyje ši funkcija bus vadinama uždavinio optimalumo
kriterijumi. Todėl leistinasis taškas x, kuriam esant optimalumo kriterijus
[pic] įgyja ekstreminę reikšmę (max arba min) priklausomai nuo keliamo
tikslo, optimalus taškas bus laikomas optimaliu sprendiniu. Toks uždavinys,
kuriame tarp daugybės sprendinių reikia rasti geriausią ir vadinamas
optimizavimo uždaviniu.
Tiesiniame optimizacijos uždavinyje visos funkcijos anksčiau aptartos
[pic] ir [pic] yra tiesinės. Todėl toks optimizacijos uždavinys ir
vadinamas tiesiniu optimizaciniu uždaviniu. Norint nustatyti optimalų
sprendinį taikant matematinio programavimo metodus reikia tiesinį
optimizavimo uždavinį aprašyti matematinėmis išraiškomis – matematiniu
modeliu. Matematinis modelis – tai sistema matematinių priklausomybių
aprašančių pagrindines modeliuojamo objekto savybes, rodiklius ir ryšius
tarp jų. Į optimizacijos uždavinio matematinį modelį turi įeiti tiesinė
funkcija, išreiškianti tiesinį optimalumo sąlygos, apribojimai, kuriuos
turi tenkinti nagrinėjamo uždavinio sprendinys. Visa tai apibendrinant
tiesinio optimizacijos uždavinio matematinį modelį galima pateikti taip:
[pic]; (1)
Čia [pic] – uždavinio nežinomųjų vektorius.
[pic]- tikslo funkcijos koeficientų esančių prie nežinomųjų x
komponentai.
[pic] – tiesinio uždavinio apribojimų sąlygų, (lygybių ir
nelygybių) koeficientų esančių prie nežinomųjų matrica. Šioje matricoje
stulpelių skaičius n, o eilučių skaičius lygus visų apribojimų skaičiui.
[pic] – apribojimų sąlygų (lygybių ir nelygybių) laisvųjų narių
vektorius.
2 Konstrukcijos minimalaus tūrio optimizacijos matematinis modelis.
Yra duota lenkiama konstrukcija – rėmas. Yra žinoma veikianti išorinė
apkrova ir žinomi skerspjūvių atlaikomųjų lenkimo momentų- ribinių lenkimo
momentų pasiskirstymo dėsnis (bet ne dydžiai).
Reikia rasti tokius ribinių momentų dydžius ir konstrukcijos elementų
įrąžas, kad būtų atlaikyta išorinė apkrova ir nepažeistos konstrukcijos
stiprumo sąlygos jos suirimo metu (plastiškos deformacijos galimos).
Ribiniai momentai turi tenkinti iš anksto užduotą jų optimalumo
kriterijų, kuris šiuo atveju yra tapatingas konstrukcijos energijos
disipacijos (energijos išsklaidymo) minimumui.
Tokio tipo uždavinių matematiniai modeliai sudaromi panaudojant
ekstreminį energinį principą apie energijos disipacijos minimumą, kuris
pateiktas knygoje ([1]).
Šis principas formuluojamas taip: iš visų statiškai leistinų lenkimo
momentų vektorių tikrasis yra tas, prie kurio energijos disipacijos greitis
yra minimalus.
Iš deformuojamo kūno mechanikos žinoma, kad energijos disipacijos
minimumas yra ekvivalentiškas konstrukcijos minimalaus tūrio reikalavimui
([1]). Ši energija lenkiamam rėmui yra išreiškiama taip:
[pic]; (2)
Čia [pic] – rėmo optimizuojamų parametrų vektorius turintis
komponentus [pic].
[pic]
1pav. Konstrukcinė schema (n0=3)
Čia [pic] – optimizuojamų parametrų skaičius. Šiame uždavinyje
optimizuojamais parametrais pasirenkame rėmo strypų atlaikomus momentus.
[pic] -strypų turinčių tą patį ribinį momentą, suminių ilgių
vektorius.
[pic].
Šiame nagrinėjamame uždavinyje:
[pic];
Statiškai leistinas momentų vektorius, kaip mes žinome iš konstrukcijų
projektavimo turi tenkinti pusiausvyros sąlygas ir stiprumo sąlygos, kurios
skaičiuojant konstrukcijas įvertinant plastiškumo deformacijos yra
vadinamos takumo sąlygomis.
Pusiausvyros sąlygos yra užrašomos matricine išraiška:
[pic] (3)
[pic] (4)
Čia [pic] – pusiausvyros lygčių koeficientų prie nežinomųjų matrica.
m – pasirinkto konstrukcijos diskrecinio modelio
laisvumo
laipsnis.
[pic] – duotas išorinių jėgų vektorius.
[pic] – stiprumo sąlygų koeficientų matrica.
t – bendras stiprumo sąlygų skaičius.
[pic] – konfigūracijos matrica.
[pic] – nežinomų lenkimo momentų vektorius. [pic].
Tokiu būdu konstrukcijos minimalaus tūrio matematinis modelis
panaudojant aprašytą energijos principą bus:
[pic] (5)
Palyginus (1) su (5) matome, kad jos yra ekvivalentiškos. Tuo atveju:
[pic]Turėsime 19 nežinomųjų x. Bendras nežinomųjų skaičius [pic].
[pic]
Dalis kintamųjų netinka [pic].
Šiuo atveju:
[pic],
arba [pic]. Taigi [pic].
Įvertinus konstrukcinius apribojimus galutinai uždavinys turės 19
nežinomųjų ir 45 apribojimus.
1 Konstrukcijos diskretinis modelis.
[pic]
2pav. Konstrukcijos diskretinis modelis ir galimi mazgų poslinkiai
2 Optimizacijos uždavinio tikslo funkcija.
Pagal sudaryta matematinį modelį šio nagrinėjamo tiesinio optimizacijos
uždavinio tikslo funkcija bus:
[pic]
Tikslo funkciją sudaro:
[pic];
[pic].
3 Optimizacijos uždavinio apribojimų sąlygos.
Sudarydami apribojimų sąlygas naudosime mazgų išpjovimo metodą.
Išpjautam mazgui surašę statikos pusiausvyros lygtis gausime apribojimų
sąlygas. Apribojimų numeris nurodomas skliaustuose.
|Išpjaunu mazgą 2-3-4: |Išpjaunu mazgą 5-6: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|Išpjaunu mazgą 7-8: |Išpjaunu mazgą 9-10: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|Išpjaunu mazgą 11-12-13: |Išpjaunu mazgą 15-16: |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
Išpjaunu mazgus 2-3, 12-13:
[pic]
[pic]
Išpjaunu mazgus 5,10:
[pic][pic]
Išpjaunu mazgą 7-8:
[pic]
[pic]
Išpjaunu mazgą 7-8:
[pic]
[pic]Apribojimų sąlygose lygybėse esančių nežinomųjų koeficientai surašomi į
apribojimų lygybių koeficientų matricą [pic].
[pic] Apribojimų sąlygose lygybėse esantys laisvieji nariai surašomi į
apribojimų lygybių laisvųjų narių vektorių [pic]
[pic].
Nagrinėjamame optimizacijos uždavinyje sekančią grupę apribojimų,
išreikštų nelygybėmis, sąlygas sudarys konstrukcijos stiprumo sąlygos.
Bet kuriame konstrukcijos pjūvyje stiprumo sąlygos:
[pic] ; [pic].
Užrašome stiprumo sąlygas kiekvienam konstrukcijos pjūviui:
M01+M1≥0, (11) M03+M9≥0, (27)
M01-M1≥0, (12) M03-M9≥0, (28)
M01+M2≥0, (13) M01+M10≥0, (29)
M01-M2≥0, (14) M01-M10≥0, (30)
M01+M3≥0, (15) M02+M11≥0, (31)
M01-M3≥0, (16) M02-M11≥0, (32)
M02+M4≥0, (17) M01+M12≥0, (33)
M02-M4≥0, (18) M01-M12≥0, (34)
M01+M5≥0, (19) M01+M13≥0, (35)
M01-M5≥0, (20) M01-M13≥0, (36)
M03+M6≥0, (21) M01+M14≥0, (37)
M03-M6≥0, (22) M01-M14≥0, (38)
M03+M7≥0, (23) M02+M15≥0, (39)
M03-M7≥0, (24) M02-M15≥0, (40)
M03+M8≥0, (25) M02+M16≥0, (41)
M03-M8≥0, (26) M02-M16≥0, (42)
Koeficientus, esančius prie nežinomųjų apribojimuose nelygybėse surašome į
apribojimų nelygybių koeficientų matricas[pic] ir [pic].
Kaip papildomus apribojimus užrašome sąlygas, ieškomi ribiniai momentai