Optimizacijos teorijos darbas
5 (100%) 1 vote

Optimizacijos teorijos darbas

1121

TIESINIO OPTIMIZACIJOS UŽDAVINIO SPRENDIMAS

1 Tiesinis optimizavimo uždavinys ir jo bendrasis matematinis modelis.

Inžineriniai uždaviniai konstrukcijų projektavime dažnai yra susiję su

jų elementų skerspjūvių parinkimu ir gali turėti daug sprendinių. Kaip yra

žinoma konstrukcijai parinkti skerspjūviai turi tenkinti tam tikras

sąlygas. Jos gali būti stipruminės, standumo, stabilumo, pusiausvyros ir

kt. Šios visos sąlygos yra aprašomos matematinėmis lygtimis arba

nelygybėmis, bendru atveju: [pic] [pic]

[pic] [pic].

Skaičių [pic] rinkinys tenkinantis šią sąlygų sistemą yra vadinamas

leistinuoju sprendiniu: [pic].

Konstrukcijų skaičiavimo uždavinyje apribojimų išreikštų lygybėmis

skaičius dažniausiai yra mažesnis už nežinomųjų skaičių, todėl leistinų

sprendinių yra labai daug. Pasirinkus tam tikrą funkciją [pic] išreikštą

per šiuos kintamuosius, galima leistinuosius sprendinius palyginti šios

funkcijos atžvilgiu ir priklausomai nuo to koks ekstremumas keliamas

funkcijai [pic] galima gauti geriausią sprendinį šios funkcijos atžvilgiu,

todėl mūsų uždavinyje ši funkcija bus vadinama uždavinio optimalumo

kriterijumi. Todėl leistinasis taškas x, kuriam esant optimalumo kriterijus

[pic] įgyja ekstreminę reikšmę (max arba min) priklausomai nuo keliamo

tikslo, optimalus taškas bus laikomas optimaliu sprendiniu. Toks uždavinys,

kuriame tarp daugybės sprendinių reikia rasti geriausią ir vadinamas

optimizavimo uždaviniu.

Tiesiniame optimizacijos uždavinyje visos funkcijos anksčiau aptartos

[pic] ir [pic] yra tiesinės. Todėl toks optimizacijos uždavinys ir

vadinamas tiesiniu optimizaciniu uždaviniu. Norint nustatyti optimalų

sprendinį taikant matematinio programavimo metodus reikia tiesinį

optimizavimo uždavinį aprašyti matematinėmis išraiškomis – matematiniu

modeliu. Matematinis modelis – tai sistema matematinių priklausomybių

aprašančių pagrindines modeliuojamo objekto savybes, rodiklius ir ryšius

tarp jų. Į optimizacijos uždavinio matematinį modelį turi įeiti tiesinė

funkcija, išreiškianti tiesinį optimalumo sąlygos, apribojimai, kuriuos

turi tenkinti nagrinėjamo uždavinio sprendinys. Visa tai apibendrinant

tiesinio optimizacijos uždavinio matematinį modelį galima pateikti taip:

[pic]; (1)

Čia [pic] – uždavinio nežinomųjų vektorius.

[pic]- tikslo funkcijos koeficientų esančių prie nežinomųjų x

komponentai.

[pic] – tiesinio uždavinio apribojimų sąlygų, (lygybių ir

nelygybių) koeficientų esančių prie nežinomųjų matrica. Šioje matricoje

stulpelių skaičius n, o eilučių skaičius lygus visų apribojimų skaičiui.

[pic] – apribojimų sąlygų (lygybių ir nelygybių) laisvųjų narių

vektorius.

2 Konstrukcijos minimalaus tūrio optimizacijos matematinis modelis.

Yra duota lenkiama konstrukcija – rėmas. Yra žinoma veikianti išorinė

apkrova ir žinomi skerspjūvių atlaikomųjų lenkimo momentų- ribinių lenkimo

momentų pasiskirstymo dėsnis (bet ne dydžiai).

Reikia rasti tokius ribinių momentų dydžius ir konstrukcijos elementų

įrąžas, kad būtų atlaikyta išorinė apkrova ir nepažeistos konstrukcijos

stiprumo sąlygos jos suirimo metu (plastiškos deformacijos galimos).

Ribiniai momentai turi tenkinti iš anksto užduotą jų optimalumo

kriterijų, kuris šiuo atveju yra tapatingas konstrukcijos energijos

disipacijos (energijos išsklaidymo) minimumui.

Tokio tipo uždavinių matematiniai modeliai sudaromi panaudojant

ekstreminį energinį principą apie energijos disipacijos minimumą, kuris

pateiktas knygoje ([1]).

Šis principas formuluojamas taip: iš visų statiškai leistinų lenkimo

momentų vektorių tikrasis yra tas, prie kurio energijos disipacijos greitis

yra minimalus.

Iš deformuojamo kūno mechanikos žinoma, kad energijos disipacijos

minimumas yra ekvivalentiškas konstrukcijos minimalaus tūrio reikalavimui

([1]). Ši energija lenkiamam rėmui yra išreiškiama taip:

[pic]; (2)

Čia [pic] – rėmo optimizuojamų parametrų vektorius turintis

komponentus [pic].

[pic]

1pav. Konstrukcinė schema (n0=3)

Čia [pic] – optimizuojamų parametrų skaičius. Šiame uždavinyje

optimizuojamais parametrais pasirenkame rėmo strypų atlaikomus momentus.

[pic] -strypų turinčių tą patį ribinį momentą, suminių ilgių

vektorius.

[pic].

Šiame nagrinėjamame uždavinyje:

[pic];

Statiškai leistinas momentų vektorius, kaip mes žinome iš konstrukcijų

projektavimo turi tenkinti pusiausvyros sąlygas ir stiprumo sąlygos, kurios

skaičiuojant konstrukcijas įvertinant plastiškumo deformacijos yra

vadinamos takumo sąlygomis.

Pusiausvyros sąlygos yra užrašomos matricine išraiška:

[pic] (3)

[pic] (4)

Čia [pic] – pusiausvyros lygčių koeficientų prie nežinomųjų matrica.

m – pasirinkto konstrukcijos diskrecinio modelio

laisvumo

laipsnis.

[pic] – duotas išorinių jėgų vektorius.

[pic] – stiprumo sąlygų koeficientų matrica.

t – bendras stiprumo sąlygų skaičius.

[pic] – konfigūracijos matrica.

[pic] – nežinomų lenkimo momentų vektorius. [pic].

Tokiu būdu konstrukcijos minimalaus tūrio matematinis modelis

panaudojant aprašytą energijos principą bus:

[pic] (5)

Palyginus (1) su (5) matome, kad jos yra ekvivalentiškos. Tuo atveju:

[pic]Turėsime 19 nežinomųjų x. Bendras nežinomųjų skaičius [pic].

[pic]

Dalis kintamųjų netinka [pic].

Šiuo atveju:

[pic],

arba [pic]. Taigi [pic].

Įvertinus konstrukcinius apribojimus galutinai uždavinys turės 19

nežinomųjų ir 45 apribojimus.

1 Konstrukcijos diskretinis modelis.

[pic]

2pav. Konstrukcijos diskretinis modelis ir galimi mazgų poslinkiai

2 Optimizacijos uždavinio tikslo funkcija.

Pagal sudaryta matematinį modelį šio nagrinėjamo tiesinio optimizacijos

uždavinio tikslo funkcija bus:

[pic]

Tikslo funkciją sudaro:

[pic];

[pic].

3 Optimizacijos uždavinio apribojimų sąlygos.

Sudarydami apribojimų sąlygas naudosime mazgų išpjovimo metodą.

Išpjautam mazgui surašę statikos pusiausvyros lygtis gausime apribojimų

sąlygas. Apribojimų numeris nurodomas skliaustuose.

|Išpjaunu mazgą 2-3-4: |Išpjaunu mazgą 5-6: |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|Išpjaunu mazgą 7-8: |Išpjaunu mazgą 9-10: |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

|Išpjaunu mazgą 11-12-13: |Išpjaunu mazgą 15-16: |

|[pic] |[pic] |

|[pic] |[pic] |

Išpjaunu mazgus 2-3, 12-13:

[pic]

[pic]

Išpjaunu mazgus 5,10:

[pic][pic]

Išpjaunu mazgą 7-8:

[pic]

[pic]

Išpjaunu mazgą 7-8:

[pic]

[pic]Apribojimų sąlygose lygybėse esančių nežinomųjų koeficientai surašomi į

apribojimų lygybių koeficientų matricą [pic].

[pic] Apribojimų sąlygose lygybėse esantys laisvieji nariai surašomi į

apribojimų lygybių laisvųjų narių vektorių [pic]

[pic].

Nagrinėjamame optimizacijos uždavinyje sekančią grupę apribojimų,

išreikštų nelygybėmis, sąlygas sudarys konstrukcijos stiprumo sąlygos.

Bet kuriame konstrukcijos pjūvyje stiprumo sąlygos:

[pic] ; [pic].

Užrašome stiprumo sąlygas kiekvienam konstrukcijos pjūviui:

M01+M1≥0, (11) M03+M9≥0, (27)

M01-M1≥0, (12) M03-M9≥0, (28)

M01+M2≥0, (13) M01+M10≥0, (29)

M01-M2≥0, (14) M01-M10≥0, (30)

M01+M3≥0, (15) M02+M11≥0, (31)

M01-M3≥0, (16) M02-M11≥0, (32)

M02+M4≥0, (17) M01+M12≥0, (33)

M02-M4≥0, (18) M01-M12≥0, (34)

M01+M5≥0, (19) M01+M13≥0, (35)

M01-M5≥0, (20) M01-M13≥0, (36)

M03+M6≥0, (21) M01+M14≥0, (37)

M03-M6≥0, (22) M01-M14≥0, (38)

M03+M7≥0, (23) M02+M15≥0, (39)

M03-M7≥0, (24) M02-M15≥0, (40)

M03+M8≥0, (25) M02+M16≥0, (41)

M03-M8≥0, (26) M02-M16≥0, (42)

Koeficientus, esančius prie nežinomųjų apribojimuose nelygybėse surašome į

apribojimų nelygybių koeficientų matricas[pic] ir [pic].

Kaip papildomus apribojimus užrašome sąlygas, ieškomi ribiniai momentai

Šiuo metu Jūs matote 50% šio straipsnio.
Matomi 1071 žodžiai iš 2127 žodžių.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA (kaina 0,87 €) ir įveskite gautą kodą į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.