(1) PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS .
Lygtis, į kurią įeina nepriklausomas kintamas, f-ja ir tos f-jos išvestinės vad. diferencialine lygtimi. F(x,y,y’,…,y’n)=0 (n-tos eilės dif.lygtis). Dif. lygties eilę nusako aukščiausios išvestinės eilė. Būna neišreikštiniam pavidale: F(x,y,y’,…,y’n)=0 ir išreikštiniam pavidale: yn=f(x,y,y’,y’’,…,y(n-1)).
Jei dif. lygtyje yra vienas nepriklausomasis kintamas x, lygtis vad. paprasta dif. lygtis.
Jei dif. lygtyje yra keli nepriklaus. kintamieji ir dalinės išvestinės, tų kintamųjų atžvilgiu, tada dif. lygtis vad. difer. lygtimi su dalinėmis išvestinėmis.
Išnagrinėsim pirmos eilės paprastas dif. lygtis: F(x,y,y’)=0 arba y_=f(x,y) x,y є D: a≤x≤b c≤y≤d f(x,y)—tolydi, apibrėžta, difer. srityje D.
F-ja, kuri tenkina duotą dif. lygtį, vad. tos lygties sprendiniu (srityje D). y=φ(x) y’*f(x,φ(x)).
(2) PIRMOS EILĖS DIF. LYGTIES SPRENDIMAS IZOKLINŲ METODU
Duota: y’=f(x,y), f(x,y)—tol. apib. srityje D a≤x≤b c≤y≤d x,y є D
Krypčių lauku vad. visos kryptys, kuriuose tg α=f(x,y). α—kampas tarp liestinės kreivei nagr. taške ir teig. Ox ašies krypties. Izoflinomis vad. aibę taškų, kuriuose krypčių lankas yra vienodas. F(x,y)=k k—const.
(3) Difer. lygtys atskiriamais kintamaisiais
Jos būna dviejų rūšių:
1. Dif. lygtis atskirtais kintamaisiais (tokia lygtis, kai prie dx yra tik f-ja nuo x, o prie dy f-ja nuo y): p(x)dx=q(y)dy; p(x), q(y)—tolydi, dif. srityje D a≤x≤b c≤y≤d ∫p(x)dx=∫q(y)dy y’q(y)=p(x) dy/dx (q(y))=p(x) => ∫dy q(y)=∫p(x)dx.
2. Dif. lygtis su atskiriamais kintamais: p1(x)q1(y)dx+p2(x)q2(y)dy=0 / *1/q1(y)p2(x)
∫p1(x)dx/p2(x)+∫q2(y)dy/q1(y)=0
(1+x)ydx=(y+1)xdy / 1/y*x
∫(1+x2)dx/x=∫(y+1)dy/y
∫dx/x+∫xdx=∫dy+dy/y
ln|x|+x2/2=y+ln|y|+c
(4) PIRMOS EILĖS HOMOGENINĖS DIF. LYGTYS
F-ja F(x,y) vad “k”- eilės homogen. f- ja jeigu F(tx, ty) = tk F(x,y).
x,y – x3 –nehomogen.
tx ty – t3x3 = t2(xy – tx3)
P(x,y) dx + Q(x,y) dy = 0
P(x,y); Q(x,y) – tolydžios x є(a,b); y є(c,d)
P(x,y) ir Q(x,y) yra to paties laips. hom. f-jos
P(x,y) + Q(x,y) y’=0
y=f(x,y); f(tx; ty)=f(x,y)
Jei t=1/x; f(1;y/x)=y’;
y/x=u;
y=ux;
y=u’x+u
u=u(x) dif. xє(a,b)
y’=ey/x+y/x
(5) Pirmos eilės dif., lygtys, kurių formulė: y’=f((a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2))
Yra du būdai:
1. a1 b1
a2 b2 ≠0
Įvedam pažymėjimą: x=x1+m
y=y1+m m,n є R
dx=dx
dy=dy
y’=dy/dx => y’1=dy1/dx1
y’1=f((a1(x1+n)+b1(y1+n)+c1)/a2(x1+n)+b2(y1+n)c2)
m,n—parenkam
a1m+b1n+c1=0
a2m+b2n+c2=0
Rasim m, n
y’1=f((a1x1+b1y1)/a2x1+b2y1)
y1/x1=u y1=ux1 y’1=u’x1+u išsprendę įstatom reikšmes:
x1=x-m y1=y-n u=y1/x1
2.)
a1 b1 =0
a2 b2
Kintamieji atsiskiria iš karto.
(6) PIRMOS EILĖS DIF.LYGTYS .
Apibrezimas:Dif lygtis, I kuria ieina y’+p(x)Y=q(x)…(1) – tiesine dif lygtis. p(x),q(x) – tolydzios x(a,b); a1(x)y’+b1(x)y=c1(x)…(2); a1(x)0/(1/a1(x)); y’+y b1(x)/a1(x)=c1(x)/a1(x)
b1(x)/a1(x)=p(x); c1(x)/Q1(x)=q(x), gauname y’+p(x)y=q(x). Jei q(x)=0, tai y’+p(x)y=0…(3)- tiesine homogenine
Metodai:
1)Bernulio: Turime y’+p(x)y=q(x)..(4), y=uv; Cia u=u(x) ir v=v(x) – tai x(a,b); y’=u’v+v’u…(5)
(4) ir (5) i (1) u’v+v’u+p(x)uv=q(x);
u(v’+p(x)v)=q(x)-u’v; v’+p(x)v=0..(6)
q(x)=u’v ….(7)
Is(6): dv/dx=-p(x)v
dv/v=-p(x)dx, v=e-p(x)dx+c , kai c=0…(8)
(8) i (7) q(x)=u’e-p(x)dx , u= ep(x)dxq(x)dx+c;
y=uv=( ep(x)dxq(x)dx+c) e-p(x)dx
2)Lagranzo(konstantu variavimo): Turime tiesine nehom dif lygti y’+p(x)y=q(x)..(1); y’+p(x)y=0..(2);
dy/dx=-p(x)y; y= e-p(x)dx+c(x); y’= e-p(x)dx+c(x), c=c(x)
randame y’; y ir x’ i (1) Atsiskirs kintamieji ir gausime y=(x;c)
(7) BERNULIO DIF. LYGTYS .
y’+p(x)y=q(x)yn ..(1), p(x),q(x)-tolydzios x(a,b); a(x)y’+p(x)y=d(x)yn/(1/a(x); y’+yb(x)/a(x) =d(x) yn /a(x); b(x)/a(x)=p(x); d(x)/a(x)=q(x). Bernulio dif lygti galime spresti kaip tiesine lygti Brenulio metodu. Gaunasi sudetingas reiskinysm, paprasciau spresti pries tai lygti padalijant is y-n;
y’+yp(x)=q(x) yn / y-n ;yn y-n+ y1-np(x)=q(x). Pazymim: y1-n =z…(3) Diferencijuojame:
(1-n) y-n y’=z…(4); y-ny’=z’/1-n…(5)
(5) ir (3) i (2); z’/1-n+zp(x)=q(x)
(8)PIRMOS EILĖS DIF. LYGTYS PILNAIS DIFERENCIALAIS.
Apibrezimas : Diferencialine lygtis : P(x;y)dx + Q(x,y)dy = 0 ;…(1) yra vadinama I eiles diferencialine lygtimi pilnais diferencialais , jeigu jos kairioji puse yra tam tikros funkcijos U=u(x;y) pilnas diferencialas ; t.y. du (x;y)=P(x;y)dx + Q(x;y)dy.. (2);
P,Q ir u yra diferencijuojamos funkcijos srityje D ;
A<= x<=b ; c<=y<=d ;