Klaipėdos universitetas
Pedagogikos fakultetas
Neakivaizdinis skyrius
JURINDA LUKOŠIŪTĖ
Vaikystės pedagogikos ir etikos specializacijos studijų programos III
kurso, 3 grupės studentė
PROGRESIJOS
Matematikos kontrolinis darbas
Darbo vadovas
Prof. D. Švitra
Klaipėda.
2004
Kontrolinio darbo planas
Įvadas
1. Skaičių seka
1.1. Sekos apibrėžimas;
1.2. Sekos apibrėžimo būdai;
1.3. Didėjančios ir mažėjančios sekos.
2. Progresijos
2.1 Aritmetinės progresijos apibrėžimas bei savybės;
2.2 Geometrinės progresijos apibrėžimai bei savybės;
2.3. Nykstamoji geometrinė progresija
3. Uždaviniai
3.1 Pastabos apie progresijų uždavinius;
3.2. Šiuolaikiniai progresijų uždaviniai;
3.3 Seniausieji progresijų uždaviniai.
Išvados
Literatūros sąrašas
Įvadas
Progresijos yra algebros kurso dalis, tačiau šiek tiek nutolusi nuo keturių
pagrindinių algebros kurso krypčių: skaičių sistemų, tapačiųjų pertvarkų,
lygčių ir nelygybių, funkcijų. Nagrinėjant progresijas, būtina pirmiausia
išnagrinėti skaičių sekas, kadangi tiek aritmetinė, tiek geometrinė
progresijos visų pirma, yra ne kas kita, o tam tikra seka, kuriai būdingos
tam tikros savybės, kurias aptarsiu tolesnėje šio darbo eigoje.
Knygos „Įdomioji matematika“ septintame skyriuje yra rašoma apie
seniausiąją progresiją. Ten rašoma, kad seniausias progresijos uždavinys,
buvo užrašytas garsiame egiptiškame Rindo papiruse, kuris buvo atrastas
prieš pusę amžiaus, parašytas apie 2000 metų prieš mūsų erą. Taipogi yra
rastas kitas nuorašas, dar senesnio matematinio kūrinio, kuris kilęs, gal
būt, iš trečio tūkstantmečio prieš mūsų erą. Keletas šių senųjų uždavinių
bus nagrinėjama ir šiame darbe.
Darbo tikslas: išanalizuoti progresijų apibrėžimus, pateikti pagrindines jų
formules bei uždavinių pavyzdžius, aiškinančius progresijų savybes.
Darbo uždaviniai:
1) Susipažinti su skaičių sekos apibrėžimu bei jų rūšimis. Jas
aiškinančių pavyzdžių pateikimas;
2) Progresijų bei jų savybių analizė, pateikiant jas aiškinančių
pavyzdžių;
3) Aptarti pagrindines uždavinių apie progresijas kategorijas;
4) Pateikti uždavinių sprendimo pavyzdžių:
a) Senųjų;
b) Šiuolaikinių.
1. Skaičių seka
1.1 Sekos apibrėžimas
Skaičių seka vadinama skaitinė funkcija [pic], apibrėžta natūraliųjų
skaičių aibėje [pic].
Sakykime, kiekvienam natūraliajam skaičiui priskirtas tam tikras realusis
skaičius: skaičių 1 atitinka skaičius [pic], skaičių 2 – skaičius [pic],
skaičių 3 – skaičius [pic],…, skaičių [pic] – skaičius [pic] ir t. t.
Tuomet sakome, kad apibrėžta skaičių seka, ir rašome: [pic], [pic], …,
[pic], …, arba [pic]. Skaičius [pic]-tasis sekos narys.
Pavyzdys. [pic]. Ši seka sudaryta taip: kiekvieną natūralųjį skaičių
atitinka jo kvadratas. Čia [pic]= [pic]
1.2 Sekos apibrėžimo būdai.
Norint išreikšti seką, reikia nurodyti, kaip rasti bet kurį jos narį, kai
žinomas nario numeris. Taigi dabar turime išnagrinėti sekų reiškimo būdus.
Analizinis būdas.
Šiuo būdu seka apibrėžiama jos [pic]tojo nario formule, pagal kurią galima
apskaičiuoti bet kurį sekos narį.
Pavyzdžiui formulė [pic]= [pic] apibrėžia seką [pic]kurios
[pic]=[pic] t. y. seką [pic].
Rekurentinis būdas.
Tai būdas, kai kiekvienas sekos narys, pradedant nuo tam tikro,
išreiškiamas pirmesniaisiais nariais. Apibrėžiant seką šiuo būdu, nurodomas
jos pirmasis narys arba keli jos pirmieji nariai ir formulė, pagal kurią
galima apskaičiuoti kiekvieną sekos narį žinant pirmesnius narius.
Pavyzdys. [pic].
Turime [pic]
Ir taip toliau, gauname seką:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,… .
Kiekvienas jos narys, išskyrus du pirmuosius, lygus dviejų prieš jį
einančių narių sumai.
Žodinis būdas.
Tai būdas, kai seka apibrėžiama žodine taisykle.
Taip, pavyzdžiui, galime sudaryti bet kurios begalinės periodinės trupmenos
dešimtainių artinių su trūkumu seką. Antai trupmenos 0,(2) artinių su
trūkumu seka:
0,2; 0,22; 0,222; 0,2222;… .
1.3 Didėjančios ir mažėjančios sekos.
Seką [pic] kurios kiekvienas narys mažesnis už po jo einantį, t. y. kurios
[pic] su kiekvienu [pic], vadiname didėjančia.
Seką [pic] kurios kiekvienas narys didesnis už po jo einantį, t. y. kurios
[pic] su kiekvienu [pic], vadiname mažėjančia.
Pavyzdžiai:
1) 1, 4, 9, 16, 25, …, [pic], …- didėjanti seka.
2) 2, 5, 8, 11, 14, …, [pic] didėjanti seka.
3) -1, -2, -3, -4, …, -[pic], … – mažėjanti seka.
4) -1, 2, -3, 4, -5, 6, …, [pic]- ši seka nėra nei didėjanti, nei
mažėjanti.
5) 3, 3, 3, 3, …, 3, …- čia
turime pastoviąją, arba stacionarinę
seką.
Skaičių seką, kaip ir skaitinę funkciją, galima pavaizduoti taškais
koordinačių plokštumoje. Kadangi skaičių seka yra funkcija, kurios
apibrėžimo sritis – natūraliųjų skaičių aibė N , tai jos grafikas yra aibė
koordinačių plokštumos taškų, kurios abscisės – natūralieji skaičiai 1, 2,
3, …, n, …, o ordinatės – atitinkami sekos nariai.
2. Progresijos