Signalų ir grandinių paruoštukė dokumentas
5 (100%) 1 vote

Signalų ir grandinių paruoštukė dokumentas

3v. Impulsinėmis ir pereinamosiomis charakteristikos

Grandines priimta apibūdinti impulsine ir pereinamąja charakteristikomis. Impulsine vadinama, grandinės reakcija į δ(t) f-ją. Tarkim nagrinėjam tiesinę grandinę, tai impulsinė charakteristika yra tiesinė operacija, atlikta su δ(t) f-ja: g(t)=D[δ(t)]. Pereinamąja vadinama grandinės reakcija į vienetinį šuolį: h(t)=D[ε(t)]. Išsiveskime ryšį tarp impulsinės ir pereinamosios charakteristikos. Tuo tikslu apsiskaičiuokime grandinės reakciją į vienetinio ploto stačiakampį impulsą. Žinant grandinės pereinamąją charakteristiką, reakciją apskaičiuojama gana paprastai. Tą procesą grafiškai matome pav. Šiuos veiksmus S2(t) užrašykime matematiškai: S2(t)=A[h(t+(τo/2))-h(t-(τo/2))]. Šis signalas S2(t), taps impulsine ch-ka g(t), jei mes jame priimsime sąlygą: A=1/τo. Impulso plotas lygus 1 ir parametrai priklauso nuo trukmės τo→0: g(t)=τo→0lim S2(t)A=1/τ. Gauname: g(t)= τo→0lim(1/τo)[ h(t+(τo/2))-h(t-(τo/2))]=dh(t)/dt. Vadinasi g(t)= dh(t)/dt. Galime padaryti ir atvirkštinę išvadą: h(t)=∫g(t)dt. Dvi šios išraiškos yra laikinių charakteristikų tarpusavio ryšio išraiškos. Impulsinė ch-ka yra = pereinamamosios ch-kos išvestinė.

Su Furjė eilutėmis..? kaip apibūdinamas spektras Furjė eilutėmis?

ST(t)=ao/2+ n=1Σ+∞(ancos(nΩt)+bnsin(nΩt)). Tai yra Furje eilutė. ao/2 – nuolatinė dedamoji, an, bn n-tosios virpesio dedamosios. Galime perrašyti taip: ST(t)=ao/2+ n=1Σ+∞Cncos(nΩt-φn). Cncos(nΩt-φn) – virpesio S(t) harmoninė dedamoji, arba harmonika. Amplitudžių ir fazių spektrus priimta atvaizduoti grafikais. Virpesių amplitudžių ir fazių spektrai, jei juose n→∞, pilnai apibūdina virpesį. Taigi virpesį galime pateikti jo kitimo dėsniu per periodą S(t) arba jo spektru. Pirmuoju atveju virpesys pateiktas laiko ašyje, antruoju – dažnių. Abu pateikimai – lygiaverčiai. Norint palyginti kelis virpesius, patogesnis yra antrasis būdas. Procesas kurio metu apskaičiuojamas spektras, vadinamas transformacija iš laiko į dažnių ašį. Kai žinant spektrą, apskaičiuojama virpesio forma, vad transformacija iš dažnių į laiko ašį. Vykdoma Furjė eilute ST(t)= ao/2+n=1Σ+∞Cncos(nΩt-φn). Dar virpesio perkėlimas iš laiko į dažnių ašį vadinamas analize, o f-lės vad. analizės formulėmis. Perkėlimas iš dažnių į laiko ašį, vad. sinteze. Viskas ką nagrinėjome, tinka periodiniams virpesiams. Periodinių virpesių spektro ribotumas – spektro diskretiškumas.

Kompleksinės Furjė eilutės forma. ST(t)=ao/2+ n=1Σ+∞Cncos(nΩt-φn). Furjė eilutė leidžia išskaidyti bet kokį periodinį virpesį S(t) į harmonikas. Šioje eilutėje kiekviena harmonika yra tam tikro dažnio harmoninis virpesys. Grandinių teorijoje harmoninius virpesius priimta keisti kompleksiniais harmoniniais virpesiais. Toks pakeitimas leidžia supaprastinti uždavinio sprendimą. nes nereikia diferencijuoti ir integruoti. Taip pat spręsdami uždavinį, iš karto apskaičiuojame virpesio amplitudę ir fazę. Toks metodas vadinamas simboliniu arba kompleksinės amplitudės metodu. Išvestoji Furje eilutė negali būti panaudoja šiame metode, ją galime panaudoti tik tada, jei harmonikas pakeisime kompleksinėmis harmonikomis. ST(t)=(ao/2)+ n=1Σ+∞Cncos(nΩt-φn)= (ao/2)+ n=1Σ+∞(Cnej(nΩt-φn)+Cne-j(nΩt-φn))(1/2). Įvedame kompleksinės amplitudės sąvoką: (ao/2)+(1/2)n=1Σ+∞(▲CnejnΩt)+ (1/2)n=1Σ+∞(▲Cne-jnΩt) → (1/2)(ao+ n=1Σ+∞(▲CnejnΩt)+n=1Σ+∞(▲Cne-jnΩt). Pasiaiškinsime ao=Co: ▲Co=Coe-jφo; Co=√(ao2+bo2)=ao; φo=atan(bo/ao)=0. Gauname ▲Co=aoej0=ao. Kadangi ▲Co=ao, tai galime užrašyti ST(t)=(1/2)( n=1Σ+∞(▲CnejnΩt)+n=-1Σ-∞(▲C-nejnΩt)). Išsiaiškinsime, kam lygi ▲Cn=C-nejφ: Cn=√( an2+bn2); φ-n=atan(b-n/a-n). a-n=(2/T)T∫ST(t)cos(-nΩt)dt; b-n=(2/T)T∫ST(t)sin(-nΩt)dt → C-n=Cn ir φ-n=φn. Vadinasi ▲Cn=▲C-n. Rašome galutinę išraišką: ST(t)=(1/2)-∞Σ+∞(▲CnejnΩt). Tai kompleksinė Furjė eilutės forma. Norėdami išskleisti kompleksine eilute S(t), reikia apskaičiuoti kompleksinės amplitudės ▲Cn. Skaičiuojame taip: ▲Cn=an-jbn=(2/T)T∫ST(t)cos(nΩt)dt-j(2/T)T∫ST(t)sin(nΩt)dt= (2/T)T∫ST(t)(cos(nΩt)-jsin(nΩt))dt. ▲Cn=(2/T)T∫ST(t)e-jnΩtdt. Ši formulė leidžia apskaičiuoti visas virpesio Furjė eilutės kompleksines amplitudes. Pagal ją galime apskaičiuoti ir amplitudės, ir fazės spektrą. Reikėtų atkreipti dėmesį į kompleksinės Furjė eilutės sandara. Joje kairiojoje pusėje – realioji laiko f-ja, o dešinioji – kompleksinių laiko f-jų suma. Kadangi eilutėje stovi lygybė, tai sumuojant kompl. laiko f-jas, kompleksiniai dydžiai turi pasinaikinti. Tam imame dvi vienodas kompleksines f-jas, kurios skiriasi tik eilės numerio ženklu: (1/2)▲CnejnΩt+(1/2)▲C-ne-jnΩt= (1/2)Cn(ej(nΩt-φn)+e-j(nΩt-φn))=Cncos(nΩt-φn). Taigi taip sumuodami, gauname realią laiko f-ją – virpesio n-tąją harmoniką. Taigi visada norint teisingai komponuoti kompl. dydžius dešinėje lygybės pusėje, reikia viską daryti simetriškuose rėžiuose. Visuomet sumuojant reikalingas dedamąsias su neigiamus eilės numerius turinčiomis. Tai reiškia, kad tos dedamosios turi neigiamą dažnį. Dirbant su kompleksiniais dydžiais teks naudoti neigiamas dažnio dedamąsias, nors tokių realiai nėra.

4v. Išvesti kompleksinę Furjė iš

Į

Įrodyti kad
žinant grandinės pereinamąją charakteristiką galima gauti išėjimo virpesį.

Imame signalą. Reakciją į kiekvieną šuoliuką bus lygi pereinamajai charakteristikai padaugintai iš šuoliuko amplitudės. Tai reikia apsiskaičiuoti šuoliuko (An), bet kurioje signalo vietoje: An/Δt=tanα →tanα~S1|(t=nΔt) →An~ S1|(nΔt)xΔt. Tuomet reakcija į šuoliuką: S2(nΔt)=h(t)∙S1|(nΔt)xΔt. Išėjimo signalas bus suma reakcijų į kiekvieną įėjimo signalo šuoliuką: S2(t)=n=1Σ∞ S1|(nΔt)xΔt∙h(t-nΔt). Norint išėjime gauti tikslesnį signalą reikia Δt→0 (dτ). Tada sumą tenka keisti integralu: S2(t)=0∫tS1|(τ)∙h(t-τ)dτ. Šioje išraiškoje praleista reakcija į pirmąjį šuoliuką, prapuola konstanta. Atstačius išraiškoje šią konstantą, gauname: S2(t)=S1(0)∙h(t)+0∫tS1|(τ)∙h(t-τ)dτ. Tai taip pat kompozicijos integralas. Sukeisti vietomis ch-ka čia nėra prasmės, nes sukeitus būtų gauta jau anksčiau išvesta f-lė: S2(t)=0∫τS1(t-τ)∙g(τ)dτ.

Šiuo metu Jūs matote 53% šio straipsnio.
Matomi 1026 žodžiai iš 1951 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.