Skaičiai ir jų mokslas
5 (100%) 1 vote

Skaičiai ir jų mokslas

ĮVADAS

Natūrinio skaičiaus sąvoka, prireikus skaičiuo¬ti, atsirado ankstyviausiose žmonių visuome¬nės vystymosi pakopose, daug pirmiau, negu trupmeninių ir neigiamų skaičių sąvokos. Na¬tūriniais vadinami skaičiai: vienas, du, trys, keturi, penki, šeši ir t. t. Šiuolaikinis žmogus susipažįsta su jais, dar būdamas ikimokyklinio amžiaus. Ir vis tiktai, nežiūrint savo įprastumo ir kasdieniškumo, natūriniai skaičiai pasižymi daugeliu savybių, toli gražu ne visiems žinomų. Yra ištisas mokslas — skaičių teori¬ja,— kuris tiria juos. Sis mokslas turi įdomią ypatybę: jo uždaviniai atrodo paprasti ir suprantami; apie jo rezultatus galima papasakoti kiekvienam pakankamai raštingam žmogui. Bet uždavinių sprendimas, rezul¬tatų gavimo būdai dažnai labai sunkūs ir kartais ne¬įkandami net geriausiems matematikams. Ne veltui žymiausias vokiečių matematikas Gausas (1777—1855) pasakė, kad aritmetika — matematikos valdovė. Ži¬noma, jis turėjo galvoje ne elementariąją aritmetiką, o būtent skaičių teoriją, kitaip vadinamą aukštąja arit¬metika, kurios tolimesniam vystymuisi didelės įtakos turėjo paties Gauso darbai.

Natūrinių skaičių be galo daug: jų tarpe nėra didžiau¬siojo. Mums tai atrodo aiškiu dalyku. Iš tikrųjų kokį didelį bepaimtume skaičių, pridėję prie jo vienetą, mes gausime dar didesnį skaičių. Tai, jog skaičių seka yra begalinė, sudaro nemaža sunkumų, logiškai pagrin¬džiant aritmetiką.

Šioje knygelėje aritmetikos pagrindai (aksiomos ir paprasčiausios taisyklės) nenagrinėjami. Natūrinių skaičių — skaičių, kurie naudojami daiktų skaičiavimui,— seka prasideda nuo vieneto, o ne nuo nulio. Nulis įvedamas kartu su neigiamaisiais skai¬čiais tam, kad būtų galima atimti ir tais atvejais, ka¬da atėminys lygus turiniui arba didesnis už jį. Teigia¬mieji sveikieji, neigiamieji sveikieji skaičiai ir nulis sudaro sistemą sveikųjų skaičių, kurių veiksmų pa¬grindinės taisyklės nagrinėjamos mokyklinio algebros kurso pradžioje. Čia daugiausia kalbėsime apie natū¬rinių skaičių savybes. Bet ten, kur tai gali palengvinti aiškinimą, naudosime ir neigiamuosius skaičius bei

nulį.

Kurias gi natūrinių skaičių savybes nagrinėsime? Vi¬sų pirma — įvairius jų užrašymo ir žymėjimo būdus, tų būdų vystymąsi ir tarpusavio ryšius. Toliau — klau¬simus, kurie iškyla, dalijant sveikuosius skaičius vie¬ną iš kito (dalumą, bendrąjį didžiausią daliklį, skai¬dymą pirminiais dauginamaisiais ir 1.1.). Baigiamuo¬siuose skyriuose mes nušviesime kai kurias pirminių skaičių savybes.

Pirminiais skaičiais domėjosi geriausieji rusų mate¬matikai: Čebyšovas, Zolotariovas ir kiti. Dvidešimta¬jame amžiuje.visų didžiausių, visų puikiausių rezul¬tatų šioje srityje pasiekė tarybiniai matematikai L. Snirelmanas ir ypač akademikas I. Vinogradovas. Apie juos papasakosime paskutiniame šios knygelės skyriuje.

MOŠŲ SKAIČIAVIMO SISTEMA

Pirmykščiam žmogui skaičiuoti beveik netekdavo. Bet mes — šiuolaikiniai žmonės — skaičiais naudo¬jamės beveik kiekviename žingsnyje. Mes turime mokėti teisingai pasakyti ir užrašyti bet kurį skai¬čių, koks didelis jis bebūtu. Jeigu kiekvienas skaičius turėtų savo atskirą vardą ir būtų raštu žymimas atskiru ženklu, tai įsiminti visų šių žodžių ir ženklų niekas nesugebėtų. Kaipgi mes susidorojame su šiuo uždaviniu? Mus gelbsti gera žymėjimo sistema. Pavadinimų ir ženklų visuma, pa¬dedanti užrašyti bet kurį skaičių ir pavadinti jį, vadinama skaičiavimo sistema, numeracija arba skai¬čiuote.

Skaičių užrašymui naudojame dešimt skirtingų ženklų. Devyni iš jų žymi pirmuosius devynis natūrinius skaičius (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), dešimtasis nežymi jokio skaičiaus: jis yra tiesiog skirtis skaičių žymėjime. Sis ženklas vadi¬namas nuliu ir žymimas 0.

Taigi turime devynis ženklelius pirmiesiems devyniems skaičiams žymėti ir dešimtąjį ženklelį — nulį — „pozici¬nę skirtį“*. Šie ženkleliai vadinami skaitmenimis.

Kaipgi, naudojant tik dešimt skaitmenų, galima užra¬šyti sveikąjį skaičių? Pagalvokime iš pradžių, kaip skai¬čiuotume didelį vienodų daiktų, sakysime, degtukų, kiekį. Iš pradžių sudėliotume daiktus į krūveles po dešimt. Gautu¬me tam tikrą dešimčių skaičių (ir, gal būt, liktų keletas daiktų, nepatekusių į pilnąsias dešimtis). Toliau tektų su¬skaičiuoti krūveles (dešimtis). Jeigu krūvelių (dešimčių) būtų labai daug, jas sugrupuotume irgi dešimtimis ir 1.1. Tokiu būdu mums pavyksta atskleisti pagrindinę mūsų skaičiavimo sistemos idėją — mintį apie skirtingų skyrių vienetus. Dešimt vienetų sudaro dešimtį: kitaip tariant, dešimt pirmojo skyriaus vienetų sudaro vieną antrojo sky¬riaus vienetą. Dešimt antrojo skyriaus vienetų sudaro vie¬ną trečiojo skyriaus vienetą. Ir aplamai, dešimt bet kurio skyriaus vienetų sudaro sekančiojo skyriaus vienetą.

Nors iš pažiūros ir labai paprasta, ši sistema nuėjo labai ilgą istorinio vystymosi kelią. Ją kuriant, dalyvavo daug tautų.

Visiškai pagrįstai kyla klausimas: kodėl daiktus pradėjo grupuoti dešimtimis, o ne penketais ar tuzinais? Kodėl kiekvieno skyriaus vienetai dešimt, o ne aštuonis ir ne tris kartus mažesni už sekančiojo skyriaus vienetus?

Skaičiavimas
dešimtimis labai paplito todėl, kad žmonės turi natūralią „skaičiavimo mašiną“, susijusią su skaičiu¬mi dešimt: būtent — dešimtį rankų pirštų.

Užrašyti kokį nors skaičių, pavyzdžiui, „penkiasdešimt septynis“, naudojantis dešimtimi pagrindinių ženklelių ir tam tikrais jungiamaisiais žodžiais, galima, sakysime, taip: „5 antrojo skyriaus vienetai ir 7 paprastieji vienetai“. Bet toks rašymo būdas gremėzdiškas. Patogiau ir trumpiau bū¬tų užrašinėti skaičius, nenaudojant žodžių, vienais ženklais (skaitmenimis). Ir iš tikrųjų rašome skaičių „penkiasde¬šimt septyni“ taip: 57. Sie du skaitmenys, parašyti greta, reiškia dviejų skaičių sumą: dešinysis skaičius (mūsų pa¬vyzdyje 7) rodo paprastųjų vienetų skaičių, o kairysis (5) — antrojo skyriaus vienetų (dešimčių) skaičių. Jeigu parašyti iš eilės trys skaitmenys, tai dešinysis reiškia paprastuo¬sius vienetus, sekantis (vidurinysis) — antrojo skyriaus vienetus (dešimtis), o kairysis — trečiojo skyriaus vienetus (šimtus), vadinasi, 238 žymi dviejų šimtų, trijų dešimčių ir aštuonių vienetų sumą. Aplamai, iš dviejų greta parašytų skaitmenų kairysis žymi vienetus, dešimt kartų didesnius už vienetus, žymimus dešiniojo skaitmens. Svarbu ne tik pats skaitmuo, bet ir jo vieta, jo p o z i c i j a*. Todėl mūsų numeracija vadinama pozicine.

Parašysime mūsų numeracija skaičių „šimtas du“. Cia yra vienas trečiojo skyriaus vienetas (šimtas) ir du papras¬tieji vienetai. Užrašyti jį šitaip: „12″ — negalima: juk taip rašomas skaičius „dvylika“. Rašyti „12″, paliekant vietos trūkstamam skyriui, nepatogu; galima pagalvoti, kad čia plačiai parašytas skaičius „dvylika“ ar tiesiog du skaičiai: „vienas“ ir „du“. Be to, kaip atskirti užrašytus skaičius „dvylika“ ir „šimtas dvidešimt“; kur šiuo atveju palikti tuš¬čią vietą? Šiems nepatogumams pašalinti ir įvesta „pozicin skirtis“ — skaitmuo nulis. Jis rašomas trūkstamojo skyriaus vietoje. Nulis padeda skaičius „dvylika“, „šimtas du“ ir „šimtas dvidešimt“ užrašyti skirtingai (12; 102; 120). Pozicinė dešimtainė numeracija buvo žinoma indams jau prieš pusantro tūkstančio metų (gal būt, ir anksčiau); į Europą ją atnešė arabai, įsibrovę j Ispaniją VIII mūsų eros amžiuje. Arabiškoji numeracija paplito visoje Europoje, ir, būdama paprastesnė ir patogesnė nei kitos skaičiavimo siste¬mos, apie kurias bus kalbama sekančiame skyriuje, greitai jas išstūmė. Iki šių laikų mūsų skaitmenis priimta vadinti arabiškaisiais. Be kita ko, per 100 metų visi skaitmenys, iš¬skyrus vienetą ir devynis, smarkiai pasikeitė.

Tarsime keletą žodžių apie mūsuose priimtus skaičių pa¬vadinimus. Pirmųjų šešių skyrių pavadinimai (vienetai, dešimtys, šimtai, tūkstančiai, dešimtys tūkstančių, šimtai tūkstančių) labai seni ir įvairiomis kalbomis skamba skir¬tingai. Galvoti apie šių pavadinimų kilmę — filologų, o ne matematikų reikalas. Žodis „milijonas“ palyginti nesenas. Itališkai millione yra didybinis daiktavardis, padarytas iš daiktavardžio mille, kuris reiškia „tūkstantį“. Lietuviškai jį galima būtų versti „geras tūkstantis“ ar „tūkstančių tūks¬tantis“. Žodį „milijonas“ sugalvojo žinomas XIII a. keliau¬tojas venecijietis Markas Polas, kuriam neužteko įprasti¬nių skaičių papasakoti apie nepaprastą „Dangiškosios im¬perijos“* žmonių ir turtų gausybę. Dabar milijonais, dešimtimis ir šimtais milijonų vadinami septintojo, aštun¬tojo ir devintojo skyrių vienetai. Tūkstantis milijonų vadi¬nama bilijonu arba milijardu, o toliau, sudarant vieningus visam pasauliui skaičių pavadinimus, vartojami lotyniški skaitvardžiai. Norėdami geriau suprasti šių milžiniškų skai¬čių pavadinimus, prisiminsime, kad kiekvieni trys skyriai sudaro klasę: paprastieji vienetai, dešimtys ir šimtai sudaro pirmąją klasę; tūkstančiai, jų dešimtys ir šimtai — antrąją klasę, milijonai — trečiąją klasę, bilijonai — ketvir¬tąją ir t. t.

Šiuo metu Jūs matote 31% šio straipsnio.
Matomi 1485 žodžiai iš 4744 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.