Skaičiavimo sistemos
5 (100%) 1 vote

Skaičiavimo sistemos

TURINYS

ĮVADAS 3

1. DEŠIMTAINĖS SKAIČIAVIMO SISTEMOS ATSIRADIMAS 5

2. KITOS SKAIČIAVIMO SISTEMOS IR JŲ ATSIRADIMAS 5

2.1. DVYLIKTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 5

2.2. ŠEŠIASDEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 6

2.3. PENKETAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 6

2.4. DVIDEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 6

2.5. DVEJETAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA 7

3. POZICINĖS IR NEPOZICINĖS SISTEMOS 7

4. ARITMETINIAI VEIKSMAI ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSE 9

5. PERĖJIMAS IŠ VIENOS SKAIČIAVIMO SISTEMOS Į KITĄ 10

6. APIE DALUMO POŽYMIUS ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSE 12

7. DVEJETAINĖ SISTEMA ¾ PASLAPČIŲ SAUGOTOJA 13

8. SKAIČIAVIMO SISTEMŲ EKONOMIŠKUMAS 14

9. APIE BEGALINES TRUPMENAS ĮVAIRIOSE SKAIČIAVIMO SISTEMOSE 15

LITERATŪRA 18

ĮVADAS

Skaičių kalba, kaip ir kiekviena kalba, turi savo abėcėlę. Tos skaičių kalbos, kuria dabar ,,kalba” beveik visas pasaulis, abėcėlė – dešimt skaitmenų, nuo 0 iki 9. Ši kalba vadinama dešimtaine skaičiavimo sistema. Tačiau ne visais laikais ir ne visur žmonės vartojo dešimtainę skaičiavimo sistemą. Matematiniu požiūriu ji nėra pranašesnė už kitas skaičiavimo sistemas, ir jos paplitimą lėmė ne bendri matematiniai dėsniai, o visai kitokios priežastys.

Kai apytiksliai vertiname kokį nors dydį – žmogaus amžių, atstumą ir pan., visada vartojame ,,apvalius” skaičius ir paprastai sakome: „Iš namo išėjo maždaug 50 metų žmogus; paėjėjęs gatve apie 200 metrus, jis įėjo parduotuvę, nusipirko dvi dešimtis kiaušinių ir nuėjo toliau……”. Operuoti apvaliais skaičiais žymiai paprasčiau: lengviau juos įsiminti, patogiau atlikti veiksmus. Pavyzdžiui, visai nesunku mintinai padauginti 100 iš 200, o du „neapvalius” triženklius skaičius, tarkim, 147 ir 242, toli gražu ne kiekvienas sudaugins be pieštuko ir popieriaus

Kalbėdami apie apvalius skaičius, net nepalgalvojame, kad skaičių skirstymas į apvalius ir neapvalius iš esmės yra sąlyginis. Vienas ir tas pats skaičius gali būti apvalus arba neapvalus, žiūrint kokioje skaičiavimo sistemoje jis užrašytas. Nagrinėkime įprastą dešimtainę skaičiavimo sistemą. Šioje sistemoje kiekvienas teigiamas sveikasis skaičius yra vienetų, dešimčių, šimtų ir t. t. suma, t. y. suma skaičiaus 10 įvairių laipsnių su koficientais, įgyjančias svekąsiasreikšmes nuo 0 iki 9 imtinai. Pavyzdžiui skaičius 2548 yra 8 vienetų, 4 dešimčių, 5 šimtų ir 2 tūkstančių suma, t. y.

2548 = 2·103+5·102+4·101+8·100.

Taigi 2548 – sutrumpintas šios išraiškos užrašas. Taip pat sėkmingai bet kurį skaičių galima užrašyti ne 10, o kokio nors kito sveikojo skaičiaus (išskyrus 1) laipsnių kombinacija, pavyzdžiui, skaičiaus 7. Šioje sistemoje, vadinamoje „septynetaine skaičiavimo sistema” arba ,,skaičiavimo sistema pagrindu 7”, įprastu būdu skaičiuotume nuo 0 iki 6, o skaičius 7 būtu aukštesniojo skyriaus vienetas. Skaičių 7 naujoje sistemoje žymėtume simboliu 10 (antrojo skyriaus vienetas). Kad nepainiotume šio simbolio su dešimtainiu skaičiumi 10, prirašysime indeksą 7, t. y. Vietoj skaičiaus 7 rašytume (10)7. Kitų skyrių vienetai turėtų būti skaičiai 7², 7³ ir t.t.

Bet kurį skaičių galima sudaryti iš skaičiaus 7 laipsnių, t. y.išreikšti šitaip:

ak·7k+ak-1·7k-1+…..+a1·7+a0;

čia kiekvienas koeficientas a0, a1, ……, ak gali būti bet kuris sveikas skai2ius nuo 0 iki 6. Kaip ir dešimtainėje sistemoje pagrindo laipsniu galima praleisti ir skaičių užrašyti šitaip:

(akak-1…..a1a0)7

Indeksas 7 rodo, kad vartojamos sistemos pagrindas – skaičius 7.

Išnagrinėkime pavyzdį. Dešimtainį skaičių 2548 galima užrašyti šitaip:

1·74+0·73+3·72+0·7+0,

arba, kaip susitarėme,(103000)7.Taigi (2548)10 =(10300)7.

Atkreipkite dėmesį į tai, kad septynetainėje sistemoje apvalūs bus tie ne tie skaičiai kaip dešimtainėje sistemoje. Pavyzdžiui, (147)10 = (300)7, (343)10 = (1000)7 (nes 147=3·72 ir343=73);tuo tarpu (100)10 = (202)7, (500)10 = (1313)7.

Todėl septynetainėje sistemoje mintinai padauginti (147)10 ir (343)10 žymiai lengviau negu (100)10 ir (200)10. Jeigu naudotume septynetain3 sistem1, tai, 49 metų (o ne 50) amžių suvoktume kaip ,,apvalią datą” ir švestume jubiliejų. Nustatydami atstum1 i6 akies, sakytume ,,apie 98 metrus” arba ,,maždaug 196 metrai” (nes (98)10 =(200)7 ir (196)10 = (400)7 – apvalūs skaičiai septynetainėje sistemoje), daiktus skaičiuotume septynetais, o ne dešimtimis. Tačiau septynetainė sistema menkai vartojama; ji negali konkuruoti su visur paplitusia dešimtaine sistema.

Šiandien rimtomis dešimtainės sistemos konkurentėmis tampa dvejetainė, aštuntainė ir šešioliktainė sistemos, nes joms pirmenybę teikia šiuolaikinės skaičiavimo mašinos.

Šiame referate pasakojama apie įvairių sistemų atsiradimo istoriją, jų ypatybes ir vartojimą.1. DEŠIMTAINĖS SKAIČIAVIMO SISTEMOS ATSIRADIMAS

Kodėl būtent skaičiui 10 teko toks svarbus vaidmuo? Žmogus menkai tesidomintistais dalykais, tikriausia atsakytų taip: 10 – apvalus skaičius, iš jo lengva dauginti bet kurį skaičių, patogu skaičiuoti dešimtimis, šimtais ir t. t.

Tačiau jau išsiaiškinome, kad skaičius 10 todėl ir apvalus, kad jis yra skaičiavimo sistemos pagrindas.Užrašius jį bet kurioje skiačiavimo sistemoje, tarkim, septynetainėje (kur 10 užrašomas (137) , jo
,,apvalumas” išnyksta.

Dešimtainė skaičiavimo sistema paplito visai ne dėl matematinio pobūdžio priežasčių. Dešimt rankos pirštų štai kur pirmoji skaičiavimo priemonė, kurią žmogus vartojo dar priešistoriniais laikais. Pirštais buvo patogu skaičiuoti nuo vieno iki dešimt. Suskaičiavus iki dešimties, t. y. išnaudojus visas šio skaičiavimo aparato galimybes, natūralu skaičių 10 laikyti nauju, žymiai didesniu vienetu (antrojo skyriaus). Dešimt dešimčių sudaro trečio skyriaus vienetą ir t. t. Būtent skaičiavimas pirštais ir buvo pradžia tos sistemos, kuri dabar mums adrodo savaime suprantama.

2. KITOS SKAIČIAVIMO SISTEMOS IR JŲ ATSIRADIMAS

2.1. DVYLIKTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA

Dešimtainė skaičiavimo sistema įsigalėjo toli gražu ne iš karto. Daugelis tautų įvairias istorijos periodais vartojo kitokias skaičiavimo sistemas.

Gana paplitusi buvo, pavyzdžiui, dvyliktainė sistema. Jos atsiradimas tai pat siejamas su skaičiavimu pirštais (žr. 1 pav.)

1 pav. Dvyliktainė skaičiavimo sistema

Keturi rankos pirštai (išskyrus nykštį) turi 12 pirštikaulių .Liečiant kiekvieną pirštikaulį paeiliui, suskaičiuojama nuo 1 iki12. Po to 12 tampa aukštesniojo skyriaus vienetu ir t. t. Šnekamojoje kalboje dar ir dabar populiairi dvyliktainė sistema: vietoj dvylikos dažnai sakomas tuzinas. Dauguma daiktų (peiliai, šakutės, lėkštės, nosinės, ir kt. ) skaičiuojama tuzinais, o ne dešimtimis. (Prisiminkime, pavyzdžiui, kad servizas paprastai būna 12 arba 6 asmenims ir retai 10 arba 5 ). Dabar labai retas žodis grosas reiškia tuziną tuzinų. Prieš keletą dešimčių jis buvo paplitęs, ypač prekyboje. Dvyliktainės skaičiavimo liekanų yra anglų matų (1 pėda =12 colių) ir pinigų (1 šilingas 12 pensų) sistemose.

Atkreipkite dėmėsį į tai, kad dvyliktainė sistema matematiniu požiūriu šiek tiek pranašesnė už dešimtainę, nes skaičius dvylika dalijasi iš 2, 3, 4 ir 6, skaičius dešimt tik iš 2 ir 5. Sistema, kurios pagrindas turi daugiau daliklių, žymiai patogesnė.

2.2. ŠEŠIASDEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA

Senovės Bbabilonijoje, kur klestėjo kultūra ir mokslas, vartojo gana sudėtingą šešiasdešimtainę skaičiavimo sistemą. Kaipgi atsirado ši sistema? Istorikų nuomonės skiriasi. Viena iš hipotezių, nelabai tikėtina, tokia. Susiliejo dvi grntys. Viena jų vartojo šešetainę skaičiavimo sistemą, kita dešimtainę. Kaip savotiškas kompromisas tarp jų atsirado šešiasdešimtainė skaičiavimo sistema. Kita hipotezė aiškina:babiloniečių metų trukmė 360 parų, ir tai siejasi su skaičiumi 60. Tačiau ir ši prielaida nėra pagrįsta:senovės babiloniečiai pakankamai gerai išmanė astronomiją, todėl paklaida, padaryta skaičiuojant metų trukmę, turėjo būti žymiai mažesnė nei 5 paros. Nors ir menkos mūsų žinios apie šešeiasdešimtainę sistemos kilmę, aišku viena: tokia skaičiavimo sistema tikrai buvo paplitusi senovės Babilonijoje. Ir dabar ši sistema dar laiką bei kampus matuojant minutėmis ir sekundėmis (pavyzdžiui valanda dalijama į 60 minučių, minutė į 60 sekundžių; laipsnis lygus 60 minučių, 1 minutė – 60 sekundžių). Šešiasdešimtainė sistema gremėzdiška ir ne tokia patogi kaip dešimtainė jau vien todėl, kad skaičiams rašyti reikia šešiasdešimties skirtingų skaitmenų.

2.3. PENKETAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA

Kaip tvirtina Afrikos tyrinėtojas H. Stenlis, kai kuriose Afrikos gentyse buvo paplitusi penketainė skaičiavimo sistema. Tos sistemos ryšys su žmogaus plaštaka ¾ pirmine skaičiavimo mašina ¾ pakankamai ryškus.

2.4. DVIDEŠIMTAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA

Daugelį šimtmečių Amerikos žemyne klestėjusios actekų ir majų tautos (jų kultūrą sunaikino 16 ¾ 17 a. ispanų užkariautojai) vartojo dvidešimtainę skaičiavimo sistemą. Dvidešimtaine sistema naudojosi ir keltai, gyvenę Vakarų Europoje 1 tukstantmetyje p. m. e. Kai kurie keltų dvidešimtainės sistemos išlikę prancūzų kalboje (pavyzddžiui, aštounesdešimt prancūziškai quatre – vingts, t. y. pažodžiui keturiskart dvidešimt ) ir pinigų sistemoje (pagrindinis piniginis vienetas ¾ frankas lygus 20 su)

Minėtos skaičiavimo sistemos (dvyliktainė, penketainė, šešiasdešimtainė ir dvidešimtainė ) kartu su dešimtaine turėjo didelę įtaka žmonijos kultūros raidai. Visos jos, išskyrus šešiasdešimtainę, yra anatominės kilmės, t. y. vienokiu ar kitokiu susijusios su skaičiavimu rankų pirštais ( arba rankų ir kojų ).

Kaip matyti iš pateiktų pavyųzdžių, daugelio tautų kalboje, pinigų ir matų sistemose dar iki šiol ryškus minėtų skaičiavimų sistemų pėdsakai. Tačiau skaičiams užrašyti ir vienokiems ar kitokiems skaičiavimas atlikti vartojama dešimtainė sistema.

2.5. DVEJETAINĖ SKAIČIAVIMO SISTEMA

Mažiausias iš skaičių kuris gali būti skaičiavimo sistemos pagrindu, yra skaičius 2. Sistema tuo pagrindu vadinama dvejetaine ¾ tai viena seniausių sistemų. Dvejetainę sistemą, tiesa, ne visai tobulos formos, vartojo kai kurios Australijos ir Polinezijos gentys. Ji buvo patogi, nes paprasta. Vatojami tik du skaitmenys: 0 ir 1, o skaičius 2 yra jau kito skyriaus vienetas. Gana paprasti ir veiksmai su skaičiai, užrašytais dvejetainėje sistemoje.

Dvejetainės sistemos trūkumas tas, kad net mažam skaičiui toje sistemoje užrašyti reikia gana daug ženklų.
Pavyzdžiui, skaičiaus 1000 dvejetainė išraiška yra 1111101000. Net dešimt skaitmenų! Tačiau šis trūkumas kompensuojamas daugeliu pranašumų, dėl kurių ši sistema taikoma įvairiose technikos srityse, yapč šiuolaikinėse skaičiavimo mašinose.

Telegrafo kodas ¾ vienas iš seniausių dvejetainės sistemos techninio taikymo būdų. Įrašykime lietuvių abėcėlės raides (tik vietoj Ą rašykime ¾ , t. y. tarpą tarp žodžių) ir jas sunumeruokime:

¾ A B C Č D E Ę Ė F G H I Į Y J K L M N O P R S Š T U Ų Ū V Z Ž

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

Raidžių numerius užrašykime dvejetainėje sistemoje. Kadangi 25 =32, tai kiekvienas numeris bus sudarytas ne daugiau kaip iš penkių ženklų. Užrašykime kiekvieną numerį penkiais ženklais, prirašydami trūkstamus ženklus ¾ nulius prieš pirmą reikšminį skaitmenį: ¾ _ 00000; A _00001; B _ 00010; ……. Ž _ 11111;

Tarkime, kad turime penkis laidus, jungiančius kokius nors du punktus. Kiekvieną penkiaženklį skaičių, reiškiantĮ abėcėlės raidę, galima perduoti tokia linija tam tikromis elektrinių impulsų kombinacijomis. Sakykime, nulis reikš, kad nėra impulso, o vienetas impulsą. Priėmimo vietoje šių impulsų kombinacijų veikiamas telegrafo aparato spausdinimo įrenginys juostelėje atspausdins raides, atitinkančias tas kombinacijas, t. y.dvejetainius skaičius.Telegrafo aparatas sudarytas iš dviejų įrenginių: perdavimo įrenginio, pervedančio raides į atitinkamą liniją siunčiamų impulsų sistemą, ir priėmimo įrenginio spausdinančio juostelėje (arba blanke) raides, atitinkančias iš anksto parinktą impulsų kombinacija. Dvejetainė sistemos taikymą telegrafijoje, nulėmė tai, kad dvejetainį skaičių patogu perduoti elektriniais impulsais.

Šiuo metu Jūs matote 31% šio straipsnio.
Matomi 1855 žodžiai iš 6040 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.