Teiginių logika
5 (100%) 1 vote

Teiginių logika

Buvo manoma, kad visi ilgiai ir pločiai gali būti bendramačiai.Va.pr.Kr. atrasta, kad kvadrato įstrižainė neturi bendro mato su kraštine. Nebendramačiai dydžiai: apskritimo l ir d, kvadrato ir apskritimo, apie jį apibrėžto, plotai. Krizių pabaiga – 370 m.pr.Kr. Tai siejama su Eudoksu (graikas). Sukurti nauji skaičiai – iracionalūs (proto nesuvokiami). Antroji krizė – matematinės analizės. XVIIa.pab. Niutono ir Leibnico mokiniai mažai rūpinosi analizės pagrindais. Rezultatai rėmėsi neaiškiu be galo mažų dydžių aiškinimu. Krizė kilo dėl šios sąvokos neaiškumo. Be galo mažas dydis buvo prilyginamas 0 ir jis buvo atmetamas. Kitais kartais reikšmė  0. XIXa. Atsisakyta tos teorijos. Koši pakeitė griežta ribų teorija. Antros krizės pabaiga siejama su šia teorija. Xxa. grįžtame prie labai mažų dydžių sąvokos patikslinimo. 1960 m. Robinsonas pasiūlė kaip pagrįsti XVII – XVIIIa. Analizę. Pasiūlyta į be galo mažus dydžius žiūrėti kaip į pastovius. Taip kūrėsi matematinė analizė. Robinsonas įvedė be galo mažų ir didelių skaičių sąvokas. Kuriasi kitokia matematinė analizė – nestandartinė analizė. Trečioji krizė prasidėjo 1897 m., kai pasirodė C. Burali – Forti darbai. Atrasti aibių teorijos prieštaravimai. PVZ.: 1.Tarkim, kad kirpėjas skuta visus, kurie patys nesiskuta. Ar kirpėjas pats skutasi? Tarkim, kad jis nusiskuta. Gaunam prieštaravimą, nes jis yra to kaimo gyventojas. Tarkim, kad jis nesiskuta, bet pagal apibrėžimą jis privalo skustis. 2. Vienas sako: “Viską, ką aš kalbu – melas”. Tai melas ir šis jo posakis. O tai reiškia, kad ne viskas, ką jis pasako yra melas. Bet tai irgi prieštaravimas.

Tiksliosios matematikos paradoksai: tarkim x bet kuri aibė. Tai aibę A apibrėžiame taip: x priklauso A, tada ir tik tada, kai x nepriklauso x. Tuo atveju, kai x sutampa su A gaunam prieštaravimą.

Kadangi aibių teorijoje buvo aptikta paradoksų, tai reiškia yra ne viskas gerai. Ji remiasi į daug mat. šalių. Dėl to susvyravo matematikos pagrindai trečią kartą. Manyta, kad paradokso priežastis slypi logikoje. Įkurta visapusiška logikos pagrindų analizė. Logika nagrinėja žmogaus mąstymo formą. Ji vystėsi kaip f-jos mokslo šaka. Susiformavo IVa.pr.Kr. Ją sukūrė Aristotelis. Logikos mokslas laikui bėgant nesivystė. Tai įrodo graiko genialumą, todėl logika vadinama sustingusiu mokslu. Dėl to į ją žiūrėta skeptiškai. Tik XVIIa. Leibnicas sukūrė logiką – skaičiavimo meną. Joje kiekvienai sąvokai būtų priskirtas simbolis, o samprotavimai įgytų skaičiavimo pavidalą, tačiau tai nebuvo suprasta ir pritarta. Idėja nepaplito ir nesivystė. Tik XIXa. vid. G.Boole įgyvendino Leibnico idėją. Jis sukūrė logikos algebrą, kurioje veikiantys dėsniai yra panašūs į įprastinius algebros dėsnius. Tik čia raidėmis žymimi ne skaičiais, o teiginiai. Bulio algebra – matem. logikos pradininkė. Skirtingai nuo matematinės logikos logika sukurta Aristotelio vad. tradicine formaliąja logika.

Matematinės logikos bruožai: 1) M.L. – logika, taikanti matematinę kalbą ir metodus. 2) M.L. – matematikos mokslo šaka, atsiradusi dėl matematikos poreikių.

XXa. atrastas glaudus M.L. ryšys su kibernetika. Šio ryšio atradimas atvėrė daugybę M.L. taikymų. Ji naudojama medicinoje, lingvistikoje, kompiuterių moksle ir gamyboje. Ji patikslino formaliosios logikos metodus ir išplėtė jos taikymo sritis.

TEIGINIŲ LOGIKA

1.1 TEIGINIAI IR LOGINĖS OPERACIJOS

Teiginys – sakinys, kuris arba teisingas arba klaidingas. Jis yra pirminė teiginių logikos sąvoka. Jei jis atitinka tikrovę, tai jis yra teisingas, jei ne – klaidingas. Visi teiginiai skirstomi į teisingus ir klaidingus. Ne kiekvienas sakinys yra teiginys. Klausiamieji ir šaukiamieji sakiniai – ne teiginiai. Jais negali būti ir sakiniai, kurie neturi vieningos nuomonės. Sakinys a2=4 irgi gali būti teiginiu, jei a turėtų kokią nors reikšmę. Sakinys, turintis nors vieną kintamąjį, įstačius vietoj jų reikšmes, tampantis teiginiu vadinamas teiginio forma. Iš teiginio fomų teiginius gauname ne tik įstatant vietoj kintamojo reikšmes. Galima panaudoti spec. žodžius: kiekvienas, bet kuris, egzistuoja, nors vienas. Sakiniai gali būti elementarūs ir sudėtiniai. Iš elementarių sudaromi sudėtiniai sakiniai vartojant jungtukus ir, o, bet, kad.

Gramatikoje sakiniai – paprasti ir sudëtiniai. Paprastas sakinys gramatinë struktûra gali bûti sudëtinis logikos poþiûriu

PVZ: 2 tiesës lygiagreèios arba kertasi.

Ar sudëtinis sakinys tampa teiginiu, jei já sudarantys sakiniai yra teiginiai?

PVZ: skaièius 2 pirminis arba lyginis. Tai 2 teisingi teiginiai. Taèiau teisingumas nustatomas jungtuko arba reikðmæ iðsiaiðkinus. Jei jis vartojamas alternatyvø iðjungiamàja prasme, tai sakinys klaidingas. Taèiau, jei gali galioti abi alternatyvos, tai sakinys teisingas.

Matematinëje logikoje kad jungtukai turëtø tà paèià prasmæ, reikðmæ apibrëþiama ið anksto ir vienareikðmiðkai. Todël bet koks sakinys, sudarytas ið teiginiø, sujungtø jungtukais, yra taip pat teiginys.

Neigimas 

Já atitinka jungtukà “ne”. Galima vartoti ir posaká “netiesa, kad …”

Sakinys, neturintis formokiø neigimo poþymiø, bet turintys tokià pat prasmæ kaip neigimo sakinys, bus laikomas sakinio neigimu.

Konjunkcija
K

K k K

Sakinys AB teisingas tik tada, kai abu A ir B yra teisingi.

PVZ: rytoj bus ðiltas oras ir nelis lietus. Konjunkcija þymima “ir”, o kartais “o”

Disjungcija 

A B AB

T t T

T k T

K T T

K k K

Jungtuku “arba” nepaskiriama iðjungiamoji alternatyvø prasmë

PVZ: skaièius 2 pirminis arba lyginis (teisingas)

Implikacija 

A B AB

T t T

T k K

K T T

K k K

PVZ: jei n/4 be liekanos, tai ir n/2 be liekanos.

Teisingais reikia laikyti tokius teiginius:

Jei 16/4 be liekanos, tai irgi dalinasi 16/2 be liekanos. Tai I lentelës eilutë, jei 18/4 be liekanos, tai be liekanos 18/2 (III eilutë),

Jei 17 (IV eilutë).

Implikacija A vadiname antecedentu, o B – konsekventu.

Ið apibrëþimo seka:

1. implikacija su neklaidingu A yra visada teisinga

2. implikacija su teisingu B teisinga

3. implikacija klaidinga tada ir tik tada, kai jos A teisingas, o B klaidingas

Tai jungtuko “jei … tai”atitikimas

PVZ: 2*2=4, tai Vilnius – sostinë; jei 2*2=5, tai egzistuoja

raganos

loginiø operacijø apibrëþime sakiniø prasmë nevertinama, todël sakiniai teisingi teiginiai.

Ekvivalencija 

Tai loginë operacija, atitinkanti jungtukà “tada ir tik tada“.

A B AB

T t T

T k K

K T T

K k K

Kai sakome A tada ir tik tada kai B, galvojame, kad abu teiginiai vienu metu yra arba teisingi arba klaidingi.

PVZ: Að vaþiuosiu á Talinà tada ir tik tada, kai tu vaþiuosi á Rygà. Tvirtinu, kad ávyks tas ir kitas arba neávyks nieko.

Teiginiø logikos abëcëlë ir formulës

Teiginiø logikoje teiginiai vadinami atomais. Juos þymësime didþiosiomis raidëmis, pradedant P, Q, R ir t.t. Jei reikës naudosime indeksus P1, P2 … Laikysime, kad skirtingo turinio raidës reðkia skirtingus atomus.

Sudëtiniai teiginiai – molekulës, ir þymimi A, B, C … Molekulës sudaromos ið atomø, sujungtø loginëmis operacijomis. Atomø þymëjimas, loginiø operacijø simboliai ir apvalûs skliaustai sudaro teiginiø logikos abëcëlæ.

Teiginiø logikos abëcëlë vadinama aibë, kuri þymima ATL={P,Q,R,..Z, P1, P2, …,,,,,,(,)}

Abëcëlës elementai vadinami raidëmis. ATL baigtinës raidþiø sekos – þodþiai. Kai kurie þodþiai yra teiginiø logikos formulës.

a) P,Q,R,..Z, P1, P2 – formulës

b) Jeigu A yra formulë, tai (A) irgi formulë

c) Jeigu A ir B yra formulës, tai (AB) taip pat formulës

d) Kitø formuliø, iðskyrimus, iðvardintas a punkte ir sudarytas pagal b ir c punktus nëra.

A punkto formulës – elementarios arba atomai, o formulës gautos pagal b ir c – sudëtinës arba molekulës. Naudojant kintamuosius ir loginiø operacijø þenklus, teiginius galima formalizuoti, t.y. reikia atlikti formuliø iðreiðkianèià jo loginæ struktûrà.

Formalizavimo procedûra:

1. jei teiginys elementarusis, jam atitinka elementari formulë

2. jei sudëtinis, tai reikia:

a) iðsiaiðkinti visus elementarius teiginius ir jungtukus

b) pakeisti juos atitinkamais simboliais

c) sudëti skliaustus atitinkamai pagal teiginiø prasmæ

1,2 apibrëþimai vadinami efektyviu, jei já naudojant baigtiná þingsniø skaièiø galima nustatyti, kur þodis – formulë, o kur ne.

Skliaustų rašymo taisyklės.

1)Nerašysime išorinių skliaustų

2)Nerašysim visų skliaustų jei log. Operacijos atliekama tokia tvarka:,,,,.

Kalba ir metakalba Sakinių formų formalizavimą galima nagrinėti kaip vertimą iš natūralios į spec. dirbtinę log. kalbą.

Verčiant iš vienos natūraliosios kalbos į kitą laikomasi sakinių prasmės. Struktūra gali keistis.

Verčint į log. kalbą sakinių prasmė prarandama, bet struktūra išlaikoma.

Yra daug dirbtinių kalbų. Dirbtinė kalba reikalinga tuomet kai daugiareikšmiškumas būdingas natūralioms kalboms yra nepriimtinas.

Tiap atsitinka bendraujant su kompiuteriu, kuris negali išrinkti iš keleto reiškinių tinkamą,remiantis sveiku protu.Žodžių ir išraiškų daugiareikšmiškumas yra nesuderinamas su loginės kalbos tikslumu.

Dirbtinės kalbos sukurtos loginiams poreikiams vad. formalizuotomis. Ji sudaroma taip: pirmiausia sudaroma abėcėlė, po to nusakomi indeksai. Tai taisyklių rinkinys išskiriantis iš visų formų k. žodžių žodžius vad. formulėmis.

Tokia formalizuota kalba yra teiginių logikos kalba. Ji turi apibrėžimą, kuris nusako, kokios simbolių sekos yra formulės.

Formulės apibrėžime naudojami lietuviški žodžiai ir simboliai. Kurie neįeina į teiginių logikos abėcėlę. Formalizuota kalba apibrėžta per neformalizuotą kalbą.

Kai kalbame apie kalbą e1 kalboje e2 tai e2 e1 kalbos atžvilgiu vad. metakalba. O e1 – e2 atžvilgiu – kalba – objektu.

Teiginių logikos atveju simboliai A,B ir lietuvių kalba yra metakalba log. kalbos atžvilgiu.

Kartais kalbos objekto ir metakalbos žodžiai naudojami iš to pačio šaltinio.

Formulių teisingumo lentelių sudarymas Sakysim, kad formulė A susideda iš P1…Pn atomų. Kadangi kiekvienas atomas gali įgyti 1 iš 2 galimų reikšmių (t ar k), tai n atomų rinkinys gali įgyti 2n reikšmių.

Ap.1.3 Teiginių logikos formulės A interpretacija vad. bet kokį į formulę A įeinančių atomų teis. reikšmių rinkinį.

Formulė pati įgyja vieną iš dviejų teisingų reikšmių (t ar k), kuri gaunama atlikus visas log. operacijas, nurodytas formulėje.Tarkim reikia apskaičiuoti formulės teisingumo reikšmę.(PQR)SQ
(P,Q,R,S) = (t,t,k,t). Galima apiforminti taip, kad pradinės sąlygos būtų rašomos žemiau atitinkamų atomų, o operacijos rezultatas – žemiau operacijos ženklo.(PQR)SQ

t t k t t

k t t

k

t

Karatais reikia rasti visų galimų form. Interpretacijų teisingumo reikšmes.

1.4Ap.Lentelė, kurioje parašytos visos galimos formulės interpretacijos ir šias interpretacijas atitinkančių formulių reikšmės, vad. formulių teisingumo lentele.

Bet kuri formulė apibūdinama teisingumo lentele. Ji gali atitikti ir ne vieną formulę.

Formulių ekvivalentiškumas 1.5Ap. Formulės A(P1…..Pn) ir B(P1….Pn) vad. ekvivalenčiomis, jei įgija vienodas reikšmes, esant bet kokioms kintamųjų P1…Pn reikšmėms. Žymima: 

Akivaizdu jog ekvivalenčios formulės turi vienodas teisingumo lenteles ir atvirkščiai. Ekvivalenčių formulių savybės: a) bet kuriai formulei A tenkinama sąlyga AA;

b) bet kurioms formulėms A ir B, jeigu AB, tai BA;

c) bet kurioms formulėms A,B,C, jei AB, BC, tai AC.

Apibendrinimas atvejui, kai į formules įeina ne tik vienodi loginiai kintamieji.

1.6Ap Formulės A(P1,…,Pn, Q1,…,Qs) ir B(P1,…,Pn,R1,…,Rt) vad. ekvivalentiškomis, jei esant bet kurioms loginėms kintamųjų (P1,…,Pn,Q1,…,Qs, R1,…,Rt) reikšmėms A ir B įgija vienodas reikšmes.

Šiuo metu Jūs matote 30% šio straipsnio.
Matomi 1924 žodžiai iš 6389 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.