Tikimybių špera

Imties moda

T.y skaitinė charekteristika, kurios pagalba charekterizuojame popul arba imtį. Moda yra toks popul ar imties elementas, kuris dažniausiai pasikartoja, kai žinomas dažnių skirstinys modą rasti paprata:

xi 3 5 6 8 10

mi 1 4 15 7 5

Mo=6, jeigu žinome klasių dažnių skirstinį, tada Mo apskaičiuojame:

ABC-EGB

AB/EB=AC/EG (1)

ABC-AEG

AB/AE= BD/EG(2)

AB*AE/EB*AB=AC*EG/EG*BD

AE/AB-AE=AC/BD

h-intervalo ilgis

AC=D1, BD=D2

AE/h-AE=D1/D2

AE*D2=(h-AE)*D1

AE*D2+AE*D1=hD1

AE=h*D1/D1+D2=D1/D1+D2*h

Mo=L+D1/D1+D2*h

Imties mediana

Me yra toks dydis, kuris variacin3 sek1 padalija į dvi dalis. Jeigu elementų sk n yra nelyginis, t.y n=2k-1 Me yra Me=xk. Jeigu element sk yra lyginis, tada Me=xk+xk+1/2.

Klasių dažnių skirstinio Me.

Me=a(n)-1+n/2-F(M)-1/m(M)

Me yra tarp modos ir vidurkio:

MoMex .

Imties kvartiliai

Trys variacinės sekos elementai, kurie likusią var seką dalija į 4 lygias dalis vad kvartilais.tiksliai surasti kvart galima tik tada, kai n-3/4=k priklaus N iš čia n= 4k+3

tuomet kvart yra Q1=Xk+1, Q2=X2k+2, Q3=X3k+3. Kiek yra elementų nuo1 iki k. yra k elementų.

Nuo k+2 iki 2k+1 yra (2k+1)-(k+2)+1=k.

Nuo 2k+3 iki 3k+2 yra (3k+2)-(2k+3)+1=k

Nuo 3k+4iki n yra (4k+3)-(3k+4)+1=k.

Asimetrijos kooficientas

Klasių dažnių skirst vaizduoja histograma, jos gali būti įv pavidalų, vienos yra simeteiškos, kitos ne. jei jos nesimetriškos reikia mokėti ask tą nesimetriškumą. Karlas Pirsonas pasiūlė, kaip charekterizuoti simetriškumą. Psk skvernas- šlaitas, nuolaidumas. Psk=x-Mo/S. Jeigu histogr y simetri6ka, tai x=Mo=Me, tuomet Psk=0.

Kai Psk 0, tada xMeMo.

Kai Psk 0, tada MoMex.

Aibė

Bet kurių elementų rinkinys vadinamas aibe. Žym bet kuriomis did raidėmis. A sudaryta iš element a,b,c,…,x1,x2… Aibę galima užrašyti įvardinus visus elementus, A={1,2,3,5,8,9}. Arit naudojamas 0, aibių teorijoje nulinė aibė, ji neturi nei vieno elemento, ji žym Ų, {}. Aibes galima vaizduoti grafiškai. <…> Jeigu aibės elementų sk yra baigtinis , tai žym kaip modulis.

Kombinatorinės sudeties ir daugybos taisyklės

Sprendžiant tik teor uždavinius tenka iš aibės elementų sudaryti naujas aibes ir mokėti suskaičiuoti, kirk tokių naujų aibių gali būti. Įvairių uždavinių spredimams naudojamos 2 taisyklės: 1. Sudeties taisyklė. Vieną elementą iš bet kurios nesusikertančiųaibių x1’[x1]=m1, kitos aibės turi x2’[x2]=m2,…,xk, [xk] =mk galima išrinkti m1+m2+…+mk būdais. Vieną elementą iš tų aibių parinkti yra tiek būdų, kiek aibėje yra elementų t.y m1+m2+…+mk būdų. 2. Sandaugos taisyklė. Jeigu elementą x1 galime išreikšti X1’m1 būdais x2 iš aibės X2m2

– – – – – – – – – – – – – – – – – –

xk “——————“ Xkmk būdais, tai sutvarkytą elementų rinkinį (x1,x1,…,xk) galima sudaryti m1,m2,…,mk būdais.

Gretiniai ir Kėliniai

Jeigu naujo saibės sudaromos iš vienos duotosios aibės, jos vadinamos junginiais.

Gretiniai yra tokie junginiai, kurie skiriasi arba elementais, arba jų tvarka. Dar gali gretinys su pasikartojimais ar be jų. Gret su pasikartojimais: sakykime yra aibė x={a,b,c,d} sudaryyti iš tos aibės poras: ab ac ad aa ba bb bc ir t.t. nustatome pagal sandaugos taisyklę, kiek kukių rinkinių galima sudaryti.

X1=X2=…=XK, [X]=m;

(x1, x2,…xk) m*m*…m=mk

k kartų

Ukn=mk

Gret be pasikartojimo:

A={a,b,c,d}abc

ab abd

acb

a ac acd

adb

ad adc

ir t.t.

Gret po vieną elementą.

Gret sk iš n elem po k žym Akn

Teorema: Iš n elemenyų po k galima sudaryti Akn=n(n-1)(n-2)…(n-k+1) gret be posikartojimo.

Gretiniai sudaryti iš visų aibės elementų vadinami kėliniais. Žym Pn =Ann=n(n-1)…3*2*1

Pn=n!

Deriniai

n elem aibės poaibiaiturintys po k elem vadinami deriniais iš n element po k. Deriniuose elem nesikartoja. Žym. Ckn, (nk). Teorema: Ckn=n(n-1)…(n-k+1)/k!

Savybės: 1. Ckn=n!/k!(n-k)! 2. Ckn=Cn-kn

Priešingas ir nesutaikomi įvykiai

Jei įvykis A yra metant kauliuką iškrito lyginis skaičius, tai A(prieš)- nelyginis P(A(preiš))=1-P(A).

Yra tokių įvykių, kurie gali kartu įvykti ir kurie negali. Jie vad sutaikomi arba nesutaikomi. Įvykiai A ir B yra nesutaikomi, jeigu jų sankirta yra tuščia aibė. Nesutaikomų įv formulė:

P(AB)=P(A)+P(B)

Sutaikomi yvikiai, tai tokie, kurių sankirta nelygi nuliui. Jiems galioja formulė: