Tikimybių teorija
5 (100%) 1 vote

Tikimybių teorija

TURINYS

ĮVADAS 2

REIKALAVIMAI MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINUI 3

1. Pradinės tikimybių teorijos sąvokos 4

2. Klasikinis įvykio tikimybės apibrėžimas 7

3. Priešingo įvykio tikimybė 10

4. Nesutaikomų įvykių sumos tikimybė 11

5. Nepriklausomų įvykių sandaugos tikimybė 12

6. Sutaikomų įvykių sumos tikimybė 13

7. Imtis. Imties skaitinės charakteristikos 14

8. Imties vidurkis, dispersija ir vidutinis kvadratinis nuokrypis 19

9. Įvairūs uždaviniai 21

10. Įvairūs statistikos uždaviniai 23

11. Savarankiški ir kontroliniai darbai 24

LITERATŪRA 29

PRIEDAI 30

ĮVADAS

Tikimybių teorijos ir statistikos pradmenys dėstomi bendrojo lavinimo mokyklose. Iš šios temos įvairūs uždaviniai sprendžiami ir per matematikos egzaminą.

Ši mokomoji medžiaga skiriama tiek mokytojui, tiek mokiniui. Joje apibūdinamos pagrindinės tikimybių teorijos ir statistikos sąvokos, pateikiami uždaviniai ir jų sprendimai, pateikiama uždavinių savarankiškam sprendimui. Mokiniai savo žinias ir gebėjimus gali pasitikrinti spręsdami savarankiškus ir kontrolinius darbus.

Pirmajame skyrelyje „Pradinės tikimybių teorijos sąvokos“ nagrinėjami įvairių įvykių apibrėžimai ir jų pavyzdžiai, pateikiami įvairūs uždaviniai apibrėžtiems (būtiniems, negalimiems, atsitiktiniams, nesutaikomiems ir elementariesiems) įvykiams atskirti.

Antrajame skyrelyje „Klasikinis įvykių tikimybės apibrėžimas“ pateikiamas įvykio tikimybės apibrėžimas, sprendžiami uždavinių pavyzdžiai ir pateikiama savarankiškam darbui skirti uždaviniai su jų atsakymais.

Trečiajame skyrelyje apibrėžiama priešingo įvykio tikimybė, pateikiami išspręstų uždavinių pavyzdžiai ir užduotys savarankiškam sprendimui.

Ketvirtajame skyrelyje supažindinama su imtimi ir jos skaitinėmis charakteristikomis. Pagal pateiktą pavyzdį parengta praktinė užduotis, kurios atlikimui numatomas informacinių technologijų panaudojimas braižant įvairias diagramas.

Penktajame skyrelyje pateikiama trumpa teorinė medžiaga, uždavinių sprendimas ir keletas užduočių savarankiškam darbui.

Paskutiniame skyrelyje pateikti savarankiškų ir kontrolinių darbų užduotys. Pateiktos diagramos pateiktos šiuolaikiška forma, naudojant daugiau grafinių priemonių, iliustracijų.

Metodinės priemone gale pateikiamas literatūros sąrašas ir mokinių atliktų užduočių pavyzdžiai.

Paruošta medžiaga, kaip pagalbos mokiniui priemonė, padės mokiniui, praleidusiam pamokas, savarankiškai išmokti tikimybių teorijos ir statistikos pamokas.

SRITIS IR TEMA MOKYKLINIO EGZAMINO REIKALAVIMAI VALSTYBINIO EGZAMINO REIKALAVIMAI

TIKIMYBĖS

Įėėž Atpažinti, kada galima taikyti klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą. Mokėti klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą ir gebėti paaiškinti, kada jis taikomas..

Apskaičiuoti paprastų įvykių tikimybes naudojantis klasikiniu įvykių tikimybės apibrėžimu.

Apskaičiuoti įvykio priešingo įvykio tikimybę. Taikyti klasikinį įvykio tikimybės apibrėžimą uždaviniams spręsti.

Apibrėžti ir mokėti paaiškinti bei pritaikyti įvykiui priešingą įvykį, įvykių sąjungą, sankirtą, įvykių nesutaikomumą.

Nepriklausomi įvykiai Žinoti dviejų įvykių nepriklausomumo apibrėžimą ir atpažinti nepriklausomus įvykius.

Apskaičiuoti dviejų nepriklausomų įvykių sankirtos tikimybę. Dviejų atsitiktinių įvykių nepriklausomumo sąvoką taikyti uždaviniams spręsti.

Atsitiktiniai dydžiai ir jų skirstiniai Rasti (apskaičiuoti ir užrašyti lentele) nesudėtingų atsitiktinių dydžių skirstinius remiantis klasikiniu įvykio tikimybės apibrėžimu ir įvykių nepriklausomumu.

Apskaičiuoti atsitiktinio dydžio ( galinčio įgyti tik keletą skirtingų reikšmių) matematinę viltį, dispersiją bei vidutinį kvadratinį nuokrypį, medianą, kai duotas jo skirstinys.

Taikyti matematinę viltį ir dispersiją uždaviniams spręsti.

STATISTIKA

Imtis, imties vaizdavimas Paprasčiausiais atvejais sutvarkyti duomenis ir nubraižyti imties dažnių arba santykinių dažnių diagramą. Sutvarkyti duomenis suskirstant imtį į intervalus ir nubraižyti dažnių arba santykinių dažnių diagramą.

Imties skaitinės charakteristikos Apskaičiuoti imties vidurkį.

Palyginti imtis remiantis vidurkiais. Apskaičiuoti imties vidurkį, dispersiją, modą, medianą, kvartilius.

Apskaičiuoti sugrupuotų duomenų vidurkį ir dispersiją.

Taikyti imties skaitines charakteristikas paprastiems uždaviniams spręsti.

1. PRADINĖS TIKIMYBIŲ TEORIJOS SĄVOKOS

Teorinė dalis

1. Įvykis. Tikimybių teorijoje įvykiais vadinami bandymo arba stebėjimo rezultatai.

1 Pavyzdys. Perkamas loterijos bilietas – bandymas.

Laimės jis ar ne – galimi jo įvykiai.

2 Pavyzdys. Vieną kartą šauta į taikinį – bandymas. Kliudys ar ne to šūvio kulka taikinį – galimi jo įvykiai.

2. Būtinasis įvykis. Įvykis, kuris, atlikus bandymą, visada įvyksta, vadinamas būtinuoju įvykiu.

Pavyzdžiui, jei įvyko dviejų futbolo komandų susitikimas, tai įvykis, kad jis baigsis laimėjimu, pralaimėjimu, lygiosiomis, yra būtinas įvykis.

3. Negalimas įvykis. Jei atlikus bandymą, įvykis niekada negali įvykti, tai jis vadinamas negalimuoju įvykiu.

Pavyzdžiui, metus vieną kartą monetą,
įvykis – iškrito herbas ir skaičius yra negalimas įvykis.

4. Atsitiktinis įvykis. Atsitiktiniu įvykiu vadiname kiekvieną įvykį, kuris, atliekant bandymą gali įvykti, bet gali ir neįvykti.

Pavyzdžiui, žaidžiama šachmatų partija – bandymas. Tai, kad ji laimima, yra atsitiktinis įvykis, nes galimi pralaimėjimas, lygiosios.

Atsitiktiniai įvykiai žymimi raidėmis A, B, C,…

5. Nesutaikomi įvykiai. Du įvykiai vadinami nesutaikomais jeigu jie nagrinėjamame bandyme negali įvykti vienu metu.

Pavyzdžiui, metant lošimo kauliukus, įvykiai A- atsivertė 4 akutės ir B- atsivertė pirminis akučių skaičius yra nesutaikomi įvykiai.

6. Elementarusis įvykis. Jei nekreipiame dėmesio į bandymo rezultatų konkretų turinį, o domimės, pasirodė ar nepasirodė vienas ar kitas rezultatas, tai gauname elementariojo įvykio sąvoką.

Tarkime, kad mus domina įvykis A – atsivertė pirminis akučių skaičius. Šis įvykis įvyks, jei įvyks bent vienas iš šių keturių įvykių:

E1 – „atsivertė viena akutė“

E2 –„atsivertė dvi akutės“

E3- „ atsivertė trys akutės“

E4- „atsivertė penkios akutės“

Įvykiai E1, E2, E3, E4 yra nesutaikomi t.y. negali įvykti kartu. Tie įvykiai neskaidomi į „smulkesnius“ įvykius ir vadinami elementariaisiais įvykiais.

Uždaviniai

Kiek elementariųjų įvykių turi šie atsitiktiniai įvykiai:

A – „atsitiktinai traukiamas kauliukas iš pilno domino žaidimo“;

B – „atsitiktinai parašytų dviejų vienaženklių natūraliųjų skaičių suma lygi 10“;

C – „iškritusių lošimo kauliuko akučių skaičius yra nelyginis“;

D – „atsitiktinai ištrauktas kauliukas iš pilno domino žaidimo yra „dublis“.

Kurie įvykiai yra būtinieji:

A – „šaunant tris kartus, pataikyta du kartus“;

B – „metus 2 kauliukus, iškrito ne daugiau kaip 12 akučių“;

C – „traukinys iš Kauno kasdien vėluoja“;

D – „triženklis skaičius ne didesnis už 1000“;

E – „iš skaitmenų 1,2,3 sudarytas skaičius mažesnis už 400“;

F – „ atsitiktinai pasirinktas dviženklis skaičius dalijasi iš 3“;

Nustatykite, kurie iš įvykių yra būtini, kurie negalimi, kurie atsitiktiniai eksperimentuose.

1. Atsitiktinai parenkamas triženklis skaič2. ius:

A – skaičius didesnis už 10100;

B – skaičius mažesnis už 11000;

C – skaičius dalus iš 50;

D – skaičius mažesnis už 371.

3. Metami du lošimo kauliukai:

A – iškrito mažiau kaip 8 taškai;

B – iškritusių taškų skaičius dalus iš 5;

C – iškrito daugiau kaip 13 taškų;

D – iškrito teigiamas taškų skaičius.

4. Trys medžiotojai šauna į zuikį:

A- pataikė bent vienas;

B- nei vienas nepataikė;

C- zuikis nušautas;

D- zuikis pabėgo.

Nurodykite atsitiktinius, būtinuosius ir negalimuosius įvykius:

E- skaičF- iaus ir jo skaitmenų sumos skirtumas dalijasi iš 9;

G- Vilniaus „Žalgirio“ futbolininkai laimėjo Europos taurę;

H- iš dėžės, kurioje yra 5 rutuliukai, paimti 6 rutuliai;

I- skaičJ- ius sudarytas iš skaitmenų 1,2,3 dalijasi iš 5;

K- moksleivis per matematikos egzaminą gavo 6 balus;

L- skaičM- ius 147 dalijasi iš 3;

N- skaičO- ius 25 mažesnis už 30;

P- metus tris kauliukus iškrito 17 akių;

2. KLASIKINIS ĮVYKIO TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS

Teorinė dalis

Jeigu atliekame bandymą, kurio rezultatai yra vienodai galimi, tai įvykio A tikimybė apskaičiuojama pagal formulę:

P(A) = ; P(A) – įvykio tikimybė; n- visų elementariųjų įvykių skaičius;

m- skaičius, vienodai galimų įvykių, palankių įvykiui A.

be to, 0 0

Būtino įvykio tikimybė P(A) =1, negalimo P(A) = 0.

Pavyzdžiai

Dėžėje yra 8 rutuliai: 2 balti ir 6 mėlyni. Iš dėžės ištraukiamas vienas rutulys. kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys baltas?

Sprendimas

Įvykis A – ištrauktas baltas rutulys. Visų elementariųjų įvykių skaičius n= 8, nes tiek turim rutulių.

Palankių įvykių yra 2, nes dėžėje yra 2 balti rutuliai, todėl m = 2. Įvykio A tikimybė, kad bus ištrauktas baltas rutulys, P(A) = Ats. P(A) =

Atskirose kortelėse surašyti skaičiai nuo 1 iki 15. Kortelės sudėtos į dėžę. Kokia tikimybė, kad bus ištrauktas pirminis skaičius?

Sprendimas

Įvykis A – ištrauktas pirminis skaičius. Visų įvykių yra 15, tai n = 15. Palankių yra: 2,3,5,7,11,13, tai m = 6. P(A) = Ats. P(A) =

Uždaviniai:

Metama moneta. Kokia tikimybė, kad atsivers herbas?

Metame lošimo kauliuką. Kokia tikimybė, kad iškris trys akutės? Daugiau kaip trys akutės? Mažiau kaip trys akutės?

Tvenkinyje veisiasi 200 žuvyčių. Tinklu sugaunama 40 žuvyčių, jos pažymimos ir paleidžiamos atgal. Vėliau atsitiktinai (iš šio tvenkinio) pagaunama žuvytė. Kokia tikimybė, kad ji bus pažymėta? Ats. P(A) =0,2.

Dėžėje yra 10 rutulių: 4 balti ir 6 juodi. Iš dėžės ištraukiamas vienas rutulys. Kokia tikimybė, kad ištrauktas rutulys yra juodas? Baltas?

Krepšyje yra 12 kaladėlių: 8 baltos ir 4 raudonos. Iš krepšio ištraukiama viena kaladėlė. Kokia tikimybė, kad ištraukta kaladėlė yra: baltos; raudonos spalvos?

Auksė turi 15 balionų: 6 raudonos spalvos, 4 žalios, o likę yra mėlynos spalvos. Iš Auksės paimamas vienas balionas. Kokia tikimybė, kad paimtas balionas bus: raudonos; žalios; mėlynos spalvos?

Urnoje

juodi ir 13 rudų rutulių. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai imdami ištrauksime: juodą rutulį; rudą rutulį?

Klasėje yra 30 mokinių, iš jų 12 berniukų. Kokia tikimybė, kad atsitiktinai parinktas mokinys bus: berniukas; mergaitė?

Ant šešių vienodų kortelių parašytos po vieną raidės A, K, L, S, T, E. Kortelės užverstos ir sumaišytos. Kokia tikimybė, kad surikiavę jas iš kairės į dešinę, gausime žodį „KELTAS“?

Metamos 3 monetos: 1 cento, 2 centų, 5 centų. Raskite tikimybes įvykių:

Šiuo metu Jūs matote 30% šio straipsnio.
Matomi 1541 žodžiai iš 5082 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.