Tikimybių teorijos pagrindinės sąvokos
5 (100%) 1 vote

Tikimybių teorijos pagrindinės sąvokos

TIKIMYBIŲ TEORIJOS PAGRINDINĖS SĄVOKOS

Daug kartų atliekant tą patį eksperimentą arba ilgau stebint tą

patį reiškinį, išryškėja tam tikri dėsningumai. Masinių atsitiktinių

reiškinių stabilumas ir yra tikimybių teorijos objektas.

Taigi tikimybių teorija yra atsitiktinių reiškinių (įvykių,

procesų, dydžių) matematinių modelių sudarymo ir analizės teorija.

Tikimybių teorija kaip mokslas susiformavo tik 17 amžiuje. Lietuvoje jau 18

amžiuje Vilniaus universitete buvo dėstoma tikimybių teorija.

Mokslinio tyrimo pagrindu tikimybių teorijoje yra bandymas ir

stebėjimas.

Apibrėšime pagrindines tikimybių teorijos sąvokas.Apibrėžimas.Bandymu(eksperimentu) vadinamas tam tikrų

sąlygų komplekso realizavimas. Kiekvienas

bandymo rezultatas vadinamas įvykiu.

Pvz. Metam monetą – bandymas; atvirto herbas – įvykis.

Vieni įvykiai tam tikromis sąlygomis būtinai įvyksta, o kiti gali

įvykti, bet gali ir neįvykti.Apibrėžimas. Atsitiktiniu įvykiu vad. įvykis, kuris bandymo

metu gali įvykti arba neivykti.

Atsitiktinius įvykius žym. A1, A2,…, B1, B2, B3,…. arba A,B,C, ,…

Apibrėžimas. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, būtinai įvyksta ,

vadinamas būtinu įvykiu.Apibrėžimas. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, negali įvyksti ,

vadinamas negalimu įvykiu. Žymimas Ų

ELEMENTARIŲJŲ ĮVYKIŲ ERDVĖ

Apibrėžimas. Atsitiktiniai įvykiai, kurių vienas, atliekant

bandymą, tikrai įvyksta ir turi tik vieną baigtį,

vadinami elementarias įvykiais.Tokių įvykių

aibė vadinama elementariųjų įvykių erdve.Vadinasi elementariųjų įvykių erdvę sudaro visi galimi bandymo

rezultatai, kurie gali įvykti tik atskirai (o ne kartu su kitais) ir kurių

negalima smulkinti.Elementariųjų įvykių erdvę žymime raide Ω, o elementariuosius

įvykius žymime ωi (kartais kitomis raidėmis),

čia ωi∈Ω.

Pavyzdžiai:

1. Metama moneta.

Elementariųjų įvykių erdvė Ω={H,S}, čia elementarūs

įvykiai : H – atvirto herbas, S – atvirto skaičius.2.Tiriamas radijo lempos ilgaamžiškumas. Lempos veikimo

trukmės elementariųjų įvykių erdvė [pic].3. Metamas lošimo kauliukas. Elementariųjų įvykių erdvė

Ω={ ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 }, čia ωi – elementarus įvykis,

reiškiantis, kad iškrito i akučių, kai [pic].Galime nagrinėti ir kitokius šio bandymo rezultatus, pvz.:

A – iškrito nelyginis akučių skaičius, B – iškritusių akučių skaičius

nemažesnis už 5, C – iškrito daugiau kaip 3 akutės ir t. t.Įvykiai A, B, C yra sudėtiniai. Jie sudaryti iš elementarių įvykių.

Turėsim A={ω1, ω3, ω5}, B={ ω5, ω6}, C={ω4, ω5, ω6}.

VEIKSMAI SU ĮVYKIAIS

Vykstant bandymui, vieni įvykiai gali įvykti, kiti gali ir

neįvykti.

Atsitiktiniu įvykiu A vadiname bet kurį elementariųjų įvykių

erdvės poaibį t.y. A⊂ Ω.

Tuščią šios erdvės poaibį vadiname negalimuoju įvykiu.Įvykį, atitinkantį visą elementariųjų įvykių aibę,vadiname

būtinuoju įvykiu.Pvz. Metamas lošimo kauliukas. . Elementariųjų įvykių erdvė

Ω={ ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 }, čia ωi – elementarus įvykis,

reiškiantis, kad iškrito i akučių, kai [pic].

Užrašysime kaletą atsitiktinių įvykių:A1 – atvirto lyginis skaičius akučių – { ω2, ω4, ω 6}.

A2 – atvirto ne daugiau kaip 3 akutės – { ω 1, ω 2, ω 3}.

A3 – atvirtusių akučių skaičius dalijasi iš septynių – ∅.

A4 – atvirto sveikas akučių skaičius – Ω.Kadangi atsitiktiniai įvykiai yra aibės, tai įvykių veiksmai

sutampa su aibių veiksmais. Įvykių sąryšį ir jų veiksmus geometriškai

vaizduosime vadinamosiomis Veno diagramomis.1. Įvykis A yra įvykio B dalis arba atskiras

atvejis, ei kiekvienas elementarusis įvykis,

priklausantis A, priklauso ir B. Žymima A⊂B.

Pvz. Metant lošimo kauliuką, įvykis A – iškrito

3 akys;B – iškrito mažiau nei 5 akys.

Čia A⊂ B.

2. Du įvykius vadiname lygiais, jei juos sudarančios

elementariųjų įvykių aibės yra lygios. Žym. A=B.Pvz. Metant monetą, įvykis A – atvirto herbas;

B – neatvirto skaičius. Čia A=B.

3.Dviejų įvykių A ir B sankirta (sandauga)

vadinam

įvykį, sudarytą iš visų elementariųjų

įvykių,priklau –

sančių abiem įvykiams A ir B. Žym. A∩B

arba AB.Pvz. Metamas lošimo kauliukas. Įvykis A – iškrito

lyginis akių skaičius; B – iškrito nedaugiau kaip 3

akys. Čia A∩B –
iškrito 2 akys.

4.Dviejų įvykių Air B sąjunga (suma) vadiname įvykį

sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių

bent vienam iš įvykių A ir B. Žym. A[pic]B arba A+B.Gali būti ir didesnis įvykių skaičius. Tai jų suma

reikštų – bent vieną iš tų įvykių.Pvz. Du kartus metamas lošimo kauliukas. Įvykis A –

iškrito 2 ir 3 akys; B – iškrito 1 ir 4 akys.

Tada A[pic]B – iškrito nedaugiau kaip 4 akys.5.Įvykius A ir B vad.nesutaikomais, jei jų sankirta yra

negalimas įvykis,t.y.jie negali įvykti kartu, A∩B=∅.

Priešingu atveju jie vadinami sutaikomais.Pvz. Metama moneta. Įvykis A – atvirto herbas;

B – atvirto skaičius. Čia A∩B=∅.6. Įvykiai A1, A2,…, An sudaro pilnąją įvykių grupę,

jei jie kas du nesutaikomi ir jų sąjunga yra būtinas

įvykis, t.y. [pic] ir Ai Aj =∅ visiems i≠j.Pvz. Du žaidėjai žaidžia šachmatais. Pažymime įvykius:

A1 -laimi pirmas; A2 – laimi antras; A3 – lygiosios.

Čia įvykiai A1, A2, A3 sudaro pilnąją įvykių grupę.

7. Dviejų įvykių A ir B skirtumu vadiname įvykį,

sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių

A , bet nepriklausančių B. Žym. AB arba A-B.Pvz. Metamas lošimo kauliukas. Įvykis A – iškrito ne

daugiau kaip 3 akutės; B -iškrito lyginis akučių

skaičius. Tada A B – iškrito 1 arba 3 akutės.

8. Įvykis, kuris įvyksta, kai įvykis A neįvyksta, vad.

priešingu įvykiui A ir žymimas [pic].

Vadinasi A+[pic]= Ω ir A[pic]=∅.Pvz. Įvykis A – paimtas kokybiškas gaminys;

[pic]- paimtas nekokybiškas gaminys.

Veiksmų su įvykiais savybės :

a) papildymo dėsniai: A+[pic]= Ω;

A[pic]= ∅;

b) komutatyvumo (perstatymo) dėsniai: A+B= B+A;

AB= BA ;

c) asociatyvumo (jungimo) dėsniai:

(A+B)+ C = (A+C)+ B =(C+B)+ A;

(AB)C =(AC)B =(CB)A;

d) distributyvumo (skirstymo) dėsniai:

A(B+C) = AB+AC;

STATISTINĖS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS

Fiksuojame sąlygų kompleksą ir kartojame tą patį bandymą n kartų,

registruodami kiekvieną kartą, ar įvykis A įvyko, ar neįvyko.

Tarkime, kad įvykis A įvyko n(A) kartų. Skaičius n(A) vadinamas įvykio A

dažniu šiuose n bandymuose.

Aišku, kad atlikus kitą n analogiškų bandymų seriją įvykio A dažnis gali

būti kitas t.y. dažnis n(A) savo esme yra atsitiktinis.

Tačiau konkrečioje bandymų serijoje n(A) yra konkretus skaičius.

Įvykio A pasirodymų skaičiaus n(A) bei bandymų skaičiaus n santykį

vadinsime įvykio pasirodymo santykiniu (arba statistiniu) dažniu. Jį

žymėsime Wn(A).

Taigi Wn(A)=[pic]

Santykinis dažnis taip pat atsitiktinis, tačiau konkrečiai n bandymų

serijai yra konkretus skaičius.

Pakartokime k kartų seriją, sudarytą iš n bandymų, kurių metu stebime

įvykį A. Gauname tokius santykinius įvykio A dažnius:

W1(A)= [pic], W2(A)= [pic], … , Wk(A)= [pic].

Masinių atsitiktinių įvykių santykiniams dažniams būdinga stabilumo

savybė.

Vadinasi, W1(A)=W2(A)=…= Wk(A), jei eksperimentų skaičius n

pakankamai didelis.

Taigi įvykio A santykiniai dažniai telkiasi apie tam tikrą

intervalo [0, 1] skaičių. Tas skaičius vadinamas įvykio A tikimybe ir

žymimas P(A) arba P, arba p.Apibrėžimas. Įvykio A tikimybe vadiname skaičių , apie kurį

telkiasi (grupuojasi) įvykio A santykiniai

dažniai,didinant bandymų skaičių.Tai statistinis tikimybės apibrėžimas. Jis tikimybę įvertina

empiriniu, t.y. eksperimentiniu, būdu. Praktikoje tikimybės apytiksle

reikšme, kai bandymų skaičius didelis, imamas santykinis dažnis Wn(A) ,

t.y. P(A) ≈ Wn(A).

Tikimybių teorijos vystymosi eigoje yra atlikta daug bandymų, norint

pagrįsti statistinį tikimybės apibrėžimą.

Vienas iš klasikinių tokio bandymo pavyzdžių – Biufono ir Pirsono

atliktas bandymas, kai buvo mėtoma simetriška moneta ir skaičiuojama, kiek

kartų iškrito herbas (įvykis H).

Rezultatai tokie: n n(H) Wn(H)

4040 2048 0,5069

12000 6019 0,5019

24000 12012

0,5005

Kadangi Wn(H) grupuojasi apie skaičių 0,5, tai P(H) = 0,5.

Statistinės tikimybės sąvoka turi tą pranašumą, kad ji remiasi

eksperimentu. Tašiau didelis trūkumas tas, kad kiekvieno įvykio tikimybei

apskaičiuoti reikia atlikti daug bandymų vienodomis sąlygomis, o tai susiję

su tam tikrais sunkumais ir materialiniais nuostoliais. Be to neaišku, kiek

bandymų reikia atlikti,
galėtume pasitikėti gautomis išvadomis.

KLASIKINIS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS

Tikimybės apibrėžimas, nesusijęs su bandymais, remiasi vienodai

galimų įvykių sąvoka.Apibrėžimas.Tos pačios erdvės elementarieji įvykiai, kurių nė

vienas bandymo metu neturi daugiau galimybių

įvykti negu kiti tos erdvės elementarieji įvykiai,

vadinami vienodai galimais.Nagrinėkime baigtinę vienodai galimų elementariųjų įvykių

erdvę sudarytą iš n elementariųjų įvykių t.y. Ω ={ω i, i=[pic]} .Tada kiekvieno atskirojo elementariojo įvykio ωi tikimybė yra

P(ω i )= [pic] , i=[pic].

Tarkime, kad įvykis A⊂ Ω ir sudarytas iš m elementariųjų įvykių t.y.

A={ω i, i=[pic]}.

Santykį [pic] laikysime įvykio A tikimybe.Apibrėžimas.Įvykio A tikimybe vadin. elementariųjų įvykių,

sudarančių įvykį A, skaičiaus santykis su elemen –

tariųjų įvykių skaičiumi erdvėje Ω , t.y. [pic].

T.y.klasikinis tikimybės apibrėžimas.

Klasikiniame apibrėžime visi elementarieji įvykiai ωi, i=[pic]

vadinami visais galimais atvejais, o tie įvykiai ωi, i=[pic] kurie sudaro

įvykį A, vadinami palankiais įvykiui A atvejais. Taigi

[pic].

Pvz. Iš dėžės, kurioje yra 7 standartinės ir 3 nestandartinės detalės,

atsitiktinai išimama viena detalė. Apskaičiuokite tikimybę, jog bus paimta

nestandartinė detalė.

A -įvykis, kad paimta nestandartinė detalė.

Šiuo metu Jūs matote 30% šio straipsnio.
Matomi 1542 žodžiai iš 5123 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.