TIKIMYBIŲ TEORIJOS PAGRINDINĖS SĄVOKOS
Daug kartų atliekant tą patį eksperimentą arba ilgau stebint tą
patį reiškinį, išryškėja tam tikri dėsningumai. Masinių atsitiktinių
reiškinių stabilumas ir yra tikimybių teorijos objektas.
Taigi tikimybių teorija yra atsitiktinių reiškinių (įvykių,
procesų, dydžių) matematinių modelių sudarymo ir analizės teorija.
Tikimybių teorija kaip mokslas susiformavo tik 17 amžiuje. Lietuvoje jau 18
amžiuje Vilniaus universitete buvo dėstoma tikimybių teorija.
Mokslinio tyrimo pagrindu tikimybių teorijoje yra bandymas ir
stebėjimas.
Apibrėšime pagrindines tikimybių teorijos sąvokas.Apibrėžimas.Bandymu(eksperimentu) vadinamas tam tikrų
sąlygų komplekso realizavimas. Kiekvienas
bandymo rezultatas vadinamas įvykiu.
Pvz. Metam monetą – bandymas; atvirto herbas – įvykis.
Vieni įvykiai tam tikromis sąlygomis būtinai įvyksta, o kiti gali
įvykti, bet gali ir neįvykti.Apibrėžimas. Atsitiktiniu įvykiu vad. įvykis, kuris bandymo
metu gali įvykti arba neivykti.
Atsitiktinius įvykius žym. A1, A2,…, B1, B2, B3,…. arba A,B,C, ,…
Apibrėžimas. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, būtinai įvyksta ,
vadinamas būtinu įvykiu.Apibrėžimas. Įvykis, kuris , atlikus bandymą, negali įvyksti ,
vadinamas negalimu įvykiu. Žymimas Ų
ELEMENTARIŲJŲ ĮVYKIŲ ERDVĖ
Apibrėžimas. Atsitiktiniai įvykiai, kurių vienas, atliekant
bandymą, tikrai įvyksta ir turi tik vieną baigtį,
vadinami elementarias įvykiais.Tokių įvykių
aibė vadinama elementariųjų įvykių erdve.Vadinasi elementariųjų įvykių erdvę sudaro visi galimi bandymo
rezultatai, kurie gali įvykti tik atskirai (o ne kartu su kitais) ir kurių
negalima smulkinti.Elementariųjų įvykių erdvę žymime raide Ω, o elementariuosius
įvykius žymime ωi (kartais kitomis raidėmis),
čia ωi∈Ω.
Pavyzdžiai:
1. Metama moneta.
Elementariųjų įvykių erdvė Ω={H,S}, čia elementarūs
įvykiai : H – atvirto herbas, S – atvirto skaičius.2.Tiriamas radijo lempos ilgaamžiškumas. Lempos veikimo
trukmės elementariųjų įvykių erdvė [pic].3. Metamas lošimo kauliukas. Elementariųjų įvykių erdvė
Ω={ ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 }, čia ωi – elementarus įvykis,
reiškiantis, kad iškrito i akučių, kai [pic].Galime nagrinėti ir kitokius šio bandymo rezultatus, pvz.:
A – iškrito nelyginis akučių skaičius, B – iškritusių akučių skaičius
nemažesnis už 5, C – iškrito daugiau kaip 3 akutės ir t. t.Įvykiai A, B, C yra sudėtiniai. Jie sudaryti iš elementarių įvykių.
Turėsim A={ω1, ω3, ω5}, B={ ω5, ω6}, C={ω4, ω5, ω6}.
VEIKSMAI SU ĮVYKIAIS
Vykstant bandymui, vieni įvykiai gali įvykti, kiti gali ir
neįvykti.
Atsitiktiniu įvykiu A vadiname bet kurį elementariųjų įvykių
erdvės poaibį t.y. A⊂ Ω.
Tuščią šios erdvės poaibį vadiname negalimuoju įvykiu.Įvykį, atitinkantį visą elementariųjų įvykių aibę,vadiname
būtinuoju įvykiu.Pvz. Metamas lošimo kauliukas. . Elementariųjų įvykių erdvė
Ω={ ω1,ω2,ω3,ω4,ω5,ω6 }, čia ωi – elementarus įvykis,
reiškiantis, kad iškrito i akučių, kai [pic].
Užrašysime kaletą atsitiktinių įvykių:A1 – atvirto lyginis skaičius akučių – { ω2, ω4, ω 6}.
A2 – atvirto ne daugiau kaip 3 akutės – { ω 1, ω 2, ω 3}.
A3 – atvirtusių akučių skaičius dalijasi iš septynių – ∅.
A4 – atvirto sveikas akučių skaičius – Ω.Kadangi atsitiktiniai įvykiai yra aibės, tai įvykių veiksmai
sutampa su aibių veiksmais. Įvykių sąryšį ir jų veiksmus geometriškai
vaizduosime vadinamosiomis Veno diagramomis.1. Įvykis A yra įvykio B dalis arba atskiras
atvejis, ei kiekvienas elementarusis įvykis,
priklausantis A, priklauso ir B. Žymima A⊂B.
Pvz. Metant lošimo kauliuką, įvykis A – iškrito
3 akys;B – iškrito mažiau nei 5 akys.
Čia A⊂ B.
2. Du įvykius vadiname lygiais, jei juos sudarančios
elementariųjų įvykių aibės yra lygios. Žym. A=B.Pvz. Metant monetą, įvykis A – atvirto herbas;
B – neatvirto skaičius. Čia A=B.
3.Dviejų įvykių A ir B sankirta (sandauga)
vadinam
įvykį, sudarytą iš visų elementariųjų
įvykių,priklau –
sančių abiem įvykiams A ir B. Žym. A∩B
arba AB.Pvz. Metamas lošimo kauliukas. Įvykis A – iškrito
lyginis akių skaičius; B – iškrito nedaugiau kaip 3
akys. Čia A∩B –
iškrito 2 akys.
4.Dviejų įvykių Air B sąjunga (suma) vadiname įvykį
sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių
bent vienam iš įvykių A ir B. Žym. A[pic]B arba A+B.Gali būti ir didesnis įvykių skaičius. Tai jų suma
reikštų – bent vieną iš tų įvykių.Pvz. Du kartus metamas lošimo kauliukas. Įvykis A –
iškrito 2 ir 3 akys; B – iškrito 1 ir 4 akys.
Tada A[pic]B – iškrito nedaugiau kaip 4 akys.5.Įvykius A ir B vad.nesutaikomais, jei jų sankirta yra
negalimas įvykis,t.y.jie negali įvykti kartu, A∩B=∅.
Priešingu atveju jie vadinami sutaikomais.Pvz. Metama moneta. Įvykis A – atvirto herbas;
B – atvirto skaičius. Čia A∩B=∅.6. Įvykiai A1, A2,…, An sudaro pilnąją įvykių grupę,
jei jie kas du nesutaikomi ir jų sąjunga yra būtinas
įvykis, t.y. [pic] ir Ai Aj =∅ visiems i≠j.Pvz. Du žaidėjai žaidžia šachmatais. Pažymime įvykius:
A1 -laimi pirmas; A2 – laimi antras; A3 – lygiosios.
Čia įvykiai A1, A2, A3 sudaro pilnąją įvykių grupę.
7. Dviejų įvykių A ir B skirtumu vadiname įvykį,
sudarytą iš visų elementariųjų įvykių, priklausančių
A , bet nepriklausančių B. Žym. AB arba A-B.Pvz. Metamas lošimo kauliukas. Įvykis A – iškrito ne
daugiau kaip 3 akutės; B -iškrito lyginis akučių
skaičius. Tada A B – iškrito 1 arba 3 akutės.
8. Įvykis, kuris įvyksta, kai įvykis A neįvyksta, vad.
priešingu įvykiui A ir žymimas [pic].
Vadinasi A+[pic]= Ω ir A[pic]=∅.Pvz. Įvykis A – paimtas kokybiškas gaminys;
[pic]- paimtas nekokybiškas gaminys.
Veiksmų su įvykiais savybės :
a) papildymo dėsniai: A+[pic]= Ω;
A[pic]= ∅;
b) komutatyvumo (perstatymo) dėsniai: A+B= B+A;
AB= BA ;
c) asociatyvumo (jungimo) dėsniai:
(A+B)+ C = (A+C)+ B =(C+B)+ A;
(AB)C =(AC)B =(CB)A;
d) distributyvumo (skirstymo) dėsniai:
A(B+C) = AB+AC;
STATISTINĖS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS
Fiksuojame sąlygų kompleksą ir kartojame tą patį bandymą n kartų,
registruodami kiekvieną kartą, ar įvykis A įvyko, ar neįvyko.
Tarkime, kad įvykis A įvyko n(A) kartų. Skaičius n(A) vadinamas įvykio A
dažniu šiuose n bandymuose.
Aišku, kad atlikus kitą n analogiškų bandymų seriją įvykio A dažnis gali
būti kitas t.y. dažnis n(A) savo esme yra atsitiktinis.
Tačiau konkrečioje bandymų serijoje n(A) yra konkretus skaičius.
Įvykio A pasirodymų skaičiaus n(A) bei bandymų skaičiaus n santykį
vadinsime įvykio pasirodymo santykiniu (arba statistiniu) dažniu. Jį
žymėsime Wn(A).
Taigi Wn(A)=[pic]
Santykinis dažnis taip pat atsitiktinis, tačiau konkrečiai n bandymų
serijai yra konkretus skaičius.
Pakartokime k kartų seriją, sudarytą iš n bandymų, kurių metu stebime
įvykį A. Gauname tokius santykinius įvykio A dažnius:
W1(A)= [pic], W2(A)= [pic], … , Wk(A)= [pic].
Masinių atsitiktinių įvykių santykiniams dažniams būdinga stabilumo
savybė.
Vadinasi, W1(A)=W2(A)=…= Wk(A), jei eksperimentų skaičius n
pakankamai didelis.
Taigi įvykio A santykiniai dažniai telkiasi apie tam tikrą
intervalo [0, 1] skaičių. Tas skaičius vadinamas įvykio A tikimybe ir
žymimas P(A) arba P, arba p.Apibrėžimas. Įvykio A tikimybe vadiname skaičių , apie kurį
telkiasi (grupuojasi) įvykio A santykiniai
dažniai,didinant bandymų skaičių.Tai statistinis tikimybės apibrėžimas. Jis tikimybę įvertina
empiriniu, t.y. eksperimentiniu, būdu. Praktikoje tikimybės apytiksle
reikšme, kai bandymų skaičius didelis, imamas santykinis dažnis Wn(A) ,
t.y. P(A) ≈ Wn(A).
Tikimybių teorijos vystymosi eigoje yra atlikta daug bandymų, norint
pagrįsti statistinį tikimybės apibrėžimą.
Vienas iš klasikinių tokio bandymo pavyzdžių – Biufono ir Pirsono
atliktas bandymas, kai buvo mėtoma simetriška moneta ir skaičiuojama, kiek
kartų iškrito herbas (įvykis H).
Rezultatai tokie: n n(H) Wn(H)
4040 2048 0,5069
12000 6019 0,5019
24000 12012
0,5005
Kadangi Wn(H) grupuojasi apie skaičių 0,5, tai P(H) = 0,5.
Statistinės tikimybės sąvoka turi tą pranašumą, kad ji remiasi
eksperimentu. Tašiau didelis trūkumas tas, kad kiekvieno įvykio tikimybei
apskaičiuoti reikia atlikti daug bandymų vienodomis sąlygomis, o tai susiję
su tam tikrais sunkumais ir materialiniais nuostoliais. Be to neaišku, kiek
bandymų reikia atlikti,
galėtume pasitikėti gautomis išvadomis.
KLASIKINIS TIKIMYBĖS APIBRĖŽIMAS
Tikimybės apibrėžimas, nesusijęs su bandymais, remiasi vienodai
galimų įvykių sąvoka.Apibrėžimas.Tos pačios erdvės elementarieji įvykiai, kurių nė
vienas bandymo metu neturi daugiau galimybių
įvykti negu kiti tos erdvės elementarieji įvykiai,
vadinami vienodai galimais.Nagrinėkime baigtinę vienodai galimų elementariųjų įvykių
erdvę sudarytą iš n elementariųjų įvykių t.y. Ω ={ω i, i=[pic]} .Tada kiekvieno atskirojo elementariojo įvykio ωi tikimybė yra
P(ω i )= [pic] , i=[pic].
Tarkime, kad įvykis A⊂ Ω ir sudarytas iš m elementariųjų įvykių t.y.
A={ω i, i=[pic]}.
Santykį [pic] laikysime įvykio A tikimybe.Apibrėžimas.Įvykio A tikimybe vadin. elementariųjų įvykių,
sudarančių įvykį A, skaičiaus santykis su elemen –
tariųjų įvykių skaičiumi erdvėje Ω , t.y. [pic].
T.y.klasikinis tikimybės apibrėžimas.
Klasikiniame apibrėžime visi elementarieji įvykiai ωi, i=[pic]
vadinami visais galimais atvejais, o tie įvykiai ωi, i=[pic] kurie sudaro
įvykį A, vadinami palankiais įvykiui A atvejais. Taigi
[pic].
Pvz. Iš dėžės, kurioje yra 7 standartinės ir 3 nestandartinės detalės,
atsitiktinai išimama viena detalė. Apskaičiuokite tikimybę, jog bus paimta
nestandartinė detalė.
A -įvykis, kad paimta nestandartinė detalė.