7. Kvantinės statistikos ir kietojo kūno fizikose elementai
Kvantinės statistikos samprata. Pagal klasikinę statistinę fiziką, bet
kokią materialiąją dalelę, pavyzdžiui elektroną, galima atskirti (
atpažinti ) nuo visų kitų tokių pačių dalelių. Kvantinė statistika
remiasi tapačių dalelių neatskiriamumo principu. Jį reikėtų suprasti
taip: jeigu kvantinė sistema, pavyzdžiui, sudaryta iš daugybės elektronų,
kurių masės, krūviai, sukiniai, kvantiniai skaičiai vienodi, jokiais
eksperimentais jų negalima atskirti vieno nuo kito. Klasikinė statistinė
fizika teigia, kad juos galima atskirti pagal jų padėtį erdvėje ir
impulsus. Ši statistika, dar vadinama Maksvelio ir Bolcmano statistika,
taikoma vadinamosioms neišsigimusioms dujoms. Kvantinėje mechanikoje
mikrodalelės trajektorija iš viso neturi prasmės ( tai išplaukia iš
Heizenbergo nelygybės ), jos būsena aprašoma bangine funkcija, iš kurios
galima apskaičiuoti tik tikimybę dalelę surasti vieno ar kito erdvės
taško aplinkoje. Kvantinė statistika taikoma išsigimusioms
kvantmechaninių dalelių dujoms. Dėl tokių dalelių prigimties skirtingumo
taikomos dvi kvantinės statistikos: fermionams – Fermio ir Dirako,
bozonams – Bozės ir Einšteino.
7.1. Neišsigimusios ir išsigimusios dujos
Kai nagrinėjama vienarūšių ( tapatingųjų ) mikrodalelių, kurių skaičius N
>> 1, sistema, tokia sistema dažnai vadinama dujomis ( elektroninėmis,
neutroninėmis ir pan. ). Pagal savo elgseną “kolektyve” visos
mikrodalelės skirstomos į dvi grupes. Dalelėms, kurių sukinio kvantinis
skaičius s yra pusinis, ( s =1/2; 3/2…), galioja Paulio draudimo
principas – vienoje kvantinėje būsenoje negali būti dviejų ir daugiau
dalelių, turinčių visus tuos pačius kvantinius skaičius. Taigi, šios
dalelės – elektronai, protonai, neutronai ir kt. – yra “individualistės”.
Joms galioja kvantinė Fermio ir Dirako statistika, todėl jos dar
vadinamos fermionais.
Dalelės, kurių sukinio kvantinis skaičius s =0;1;2…), elgiasi kitaip
nei fermionai: kiekvienoje kvantinėje būsenoje šių dalelių gali būti bet
kiek. Taigi, jos yra “kolektyviškos”,joms galioja Bozės ir Einšteino
statistika, o pačios vadinamos bozonais. Tai fotonai, fononai, mezonai ir
kt.
Mikrodalelių fermioniškumas ar bozoniškumas išryškėja tada, kai dalelės
pretenduoja į tą pačią būseną. Sakykime, tapatingųjų dalelių skaičius N,
o joms skirta G skirtingų būsenų. Dalelių susitikimo vienoje būsenoje
tikimybę apibūdina santykis N/G. Jei G>>N, tuomet N/G<<1 ( * ), ir
susitikimo vienoje būsenoje tikimybė nykstamai maža. Tokios dujos,
kurioms galioja minėta nelygybė, vadinamos neišsigimusiomis, o pati
nelygybė – neišsigimimo sąlyga. Klasikinių dalelių energijos yra
nekvantuotos, todėl jų galimų būsenų G( ( . Tokių dalelių dujoms visada
tenkinama minėtoji nelygybė, jos visada neišsigimusios.
Mikrodalelių parametrai gali kisti diskretiškai, todėl jų būsenų
skaičius gali būti baigtinis, o santykis N/G ( 1. Tokiu atveju
tapatingųjų dalelių susitikimo vienoje būsenoje tikimybė didelė, tokios
dalelių sistemos vadinamos išsigimusiomis.
7.2. Pasiskirstymo funkcija
Pasiskirstymo funkcija išreiškia dalelių pasiskirstymą pagal būsenas,
pavyzdžiui, energijas W. Pasiskirstymo funkcija f(W) parodo vidutinį
dalelių skaičių būsenoje W. Fermionams ji dar parodo būsenos užpildymo
tikimybę ir tenkina nelygybę 0( f(W) (1. Pavyzdžiui, f(W) =1/2 reiškia ,
kad pusę laiko ši būsena yra užimta fermiono, o kitą pusę – ne. Labai
mažame energijų intervale W – W+dW galimų būsenų skaičius dG(W)(dW. Įrašę
nuo W priklausantį proporcingumo koeficientą g(W), gauname:
[pic],arba [pic].
Dydį g(W) vadiname būsenų tankiu. Jis lygus būsenų skaičiui,
tenkančiam vienetiniam energijų intervalui. Sistemos dalelių skaičius dN,
turintis energijas intervale W –W+dW,apskaičiuojamas taip:
[pic]
Dydis dN dar vadinamas pilnąja statistinio pasiskirstymo funkcija. Taigi,
norint rasti dN, būtina žinoti būsenų tankį ir pasiskirstymo funkciją.
7.3. Fazinė erdvė
Fizikinių objektų visuma vadinama fizikine makroskopine sistema.
Sakysime, ją sudaro N dalelių. Sistemos būsenai aprašyti mikroskopiniais
parametrais reikės 6 N kintamųjų, kadangi kiekvienos dalelės būsena
nusakoma trimis erdvinėmis koordinatėmis x, y, z ir trimis judesio kiekio
projekcijomis px, py, pz. Visų dalelių koordinatės ir judesio kiekiai
sudarys 6 N-matę fazinę erdvę. Šios erdvės koordinačių ašių skaičius būtų
lygus 6 N. Kiekvienos dalelės mikrobūseną atitiks taškas x, y, z, px, py,
pz – fazinis taškas. Taigi, N nesąveikaujančių tapatingųjų dalelių būsena
nusakoma N fazinių taškų rinkiniu. Padalinkime fazinę erdvę į mažus 6N-
mačius elementus, kurių kiekvieno tūris [pic]
[pic], ( a )
čia[pic] – realios erdvės tūrio elementas, [pic] – impulsų erdvės