Amtematikos paruostuke
5 (100%) 1 vote

Amtematikos paruostuke

1. Lagranžo teorema.

Jeigu f – ja y= f(x) yra tolydi intervale [a; b] ir šio intervalo vidiniuose tškuose turi baigtines išvest, tai tame intervale bus bent viena argumento reikšmė x= c, tokia kad f(b)– f(a)= f`(c) (b– a), a< c< b. Įrodymas: (brėž 5) Kreivės y= f(x) taške kurio apsisė x= c, pravestoji liestinė yra KL|| AB. Stygos AB kAB= tg. tg= BD/ AD= (f(b)– f(a))/ (b– a). pagal išvest geometrinę prasmę kKL= f`(c), kadangi KL|| AB tai kKL= kAB, f`(c)= (f(b)– f(a))/ (b–a) iš čia f(b)– f(a)= f`(c) (b– a).

2. Lopitalio taisyklė.

Yra tokių f – jų kurių reikšmės prie tam tikrų argumento reikšmių tiesiogiai neapskaičiuojamos. Pvz. f(x)= (x2+ 2x– 3)/ (x–1), f(1)= |0/0|. Tokiu atveju f – jos reikšmė nustatoma rybiniu būdu. x1 lim f(x)= x1 lim ((x2+ 2x– 3)/ (x– 1))= x1 lim (((x+ 3)(x– 1))/ (x– 1))= 4. Jeigu skaičiuodami f – jos ribą gauname neapibrėžtumus |0/0| arba |/|, tai tokie neapibrėžti reiškiniai apibūdina atitinkamų f – jos kitimų nagrinėjamo taško x= a, ta prasme, kad trupmenos skaitiklis ir vardiklis kai xa arba nykstamai mažėja arba neapibrėžtai didėja, tada tokios f – jos ribai apskaičiuoti galima taikyti Lopitalio taisyklę: jeigu f – jos f(x) ir (x) yra tolydžios taške x= a ir lygios nuliui begalybėj) turi gaigtines išvestines kurios artimoje taško x= a aplinkoje lygios 0 () tai santykio f(x)/ (x) riba kai xa yra lygi santykio f`(x)/ `(x) ribai kai xa tai yra xa lim f(x)/ (x)= xa lim f`(x)/ `(x) – Lopitalio taisyklė. Lopitalio taisyklė neapibrėžtumui

Tarkime turime f-jas f(x) ir g(x), kurios apibrėžtos (a, b). Tarkime g(x) nelygu 0 šiame intervale ir f(x) = g(x) = 0 arba (+ – ∞) tuomet f(x) / g(x) = ( 0/0; ∞/∞ ).

Teorema. Tarkime, kad: 1) funkcijos f(x) ir g(x) yra apibrėžtos intervale (a,b]; 2) lim{x→a}f(x)=0, lim{x→a}g(x)=0; 3) intervale (a, b] egzistuoja baigtinės išvestinės f‘(x) ir g‘(x) ir g‘(x)≠0; 4) egzistuoja riba lim{x→a}f‘(x)/g‘(x)=K tai ir lim{x→a}f(x)/g(x)=K.

Lopitalio taisyklė neapibrėžtumui

Tarkime turime f-jas f(x) ir g(x), kurios apibrėžtos (a, b). Tarkime g(x) nelygu 0 šiame intervale ir f(x) = g(x) = 0 arba (+ – ∞) tuomet f(x) / g(x) = ( 0/0; ∞/∞ ).

Teorema. Tarkime, kad: 1) funkcijos f(x) ir g(x) yra apibrėžtos intervale (a, b]; 2) lim{x→a}f(x)=∞, lim{x→a}g(x)=∞; 3) intervale (a, b] egzistuoja baigtinės išvestinės f‘(x) ir g‘(x), g‘(x)≠0 4) egzistuoja baigtinė riba lim{x→a}f‘(x)/g‘(x)=K tai ir lim{x→a}f(x)/g(x)=K.

3. Teiloro formulė.

P(x)=a0+a1(x-x0)+…+an(x-x0)n, x R (1)

P‘(x)=a1+2a2(x-x0)+3a3(x-x0)2+…,

P‘‘(x)=2.1a2+3.2a3(x-x0)+4.3a4(x-x0)2+…,

P(k)(x)=k!ak+(k+1)k(k-1)…2(x-x0)+(k+2)(k+1)…3(x-x0)2+…

Paėmę paskutinėje lygybėje x=x0, gauname lygybę P(k)(x0)=k! ak, t.y. ak=P(k)(x0)/k! (2)

Įstatę (2) į (1), gauname: P(x)=P(x0)+P‘(x0)/1!(x-x0)+P’’(x0)/2!(x-x0)2+…+p(n)(x0)/n!(x-x0) – Teiloro formulė polinomams.

Teiloro formulė su Lagranšo formos papildomu nariu.Teiloro teorema. Jei funkcija f yra n+1 kartą diferencijuojama kokiame nors intervale (a, b), taškai x0 ir x priklauso šiam intervalui ir x≠x0, tai egzistuoja toks taškas ξ (x0, x) (jei x Teiloro formulė su Koši formos papildomu nariu.

Teiloro formulė su Peano formos papildomu nariu.

4. F-jos pastovumo ir monotoniškumo sąlygos.

Jei diferencijuojamos intervale (a;b) funkcijos išvestinė tapačiai lygi nuliui, tai funkcija f(x) tame intervale yra pastovi.

Jei diferencijuojamos intervale (a;b) funkcijos išvestinė yra teigiama (neigiama), tai funkcija tame intervale monotoniškai didėja (mažėja).

5. F-jos ekstremumo būtinos ir pakankamos sąlygos.

Apibr. Taškas x0 A vadinamas f lokalaus maksimumo tašku, jei yra tokia to taško aplinka V A, kad f(x)≤f(x0) visiems x V; taškas x0 vadinamas funkcijos f lokalaus minimumo tašku, jei yra tokia to taško aplinka V A, kad f(x)≥f(x0) visiems x V. Lokalaus maksimumo ir lokalaus minimumo taškai yra vadinami lokalaus ekstremumo taškais.

Tie taškai, kuriuose funkcijos f išvestinė yra lygi nuliui, yra vadinami stacionariaisiais taškais. Taigi tam, kad diferencijuojamai taške x0 funkcijai tas taškas būtų lokalaus ekstremumo taškas, būtina, kad taškas x0 būtų stacionarus taškas.

Teiginys apie funkcijos ekstremumą pagal ženklą.

Tarkime, kad funkcija f(x) taško aplinkoje , (išskyrus gal būt tašką ) turi baigtinę išvestinę Kai f`(x)>0 intervale ir f`(x)<0 intervale , tai taškas yra funkcijos f(x) maksimumo taškas. Kai f `(x)<0 intervale ir f `(x)>0 intervale , tai taškas yra funkcijos f(x) minimumo taškas.

Kai x einant per tašką , išvestinė pliuso ženklą keičia į minuso ženklą, tai yra maksimumo taškas; kai minusą keičia pliusu, tai yra minimumo taškas.

Įrašę į išvestinę f‘(x) iš pradžių xx0, nustatome išvestinės ženklą taško x0 aplinkoje iš kairės ir iš dešinės nuo jo; jei išvestinė f‘(x) keičia ženklą iš pliuso į minusą, tai čia maksimumas; jei keičia ženklą iš minuso į pliusą, tai mininmumas; o jei ženklo išvis nekeičia, tai ekstremumo visiškai nėra.

Šiuo metu Jūs matote 53% šio straipsnio.
Matomi 946 žodžiai iš 1799 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.