Analizės egzas 3 sesija matematikams
5 (100%) 1 vote

Analizės egzas 3 sesija matematikams

c13, Pirmojo tipo kreivinio integralo apskaiciavimas ir savybes

Sakykime, glodziosios kreives L lygtis plokstumoje xOy yra y=y(x), .x [a;b] ,f(x, y) – tolydi tos kreives taskuose funkcija. Tos funkcijos israiska kreives L taskuose bus f(x, y(x)). Apskaiciuodami kreives lanko ilgi , suzinojome, kad stygos, jungiancios du kreives,dalijimo taskus, ilgis lygus . Si dydi galime laikyti apytiksle kreives lanko dalies ∆st reiksme, taigi (noredami islaikyti sio skyriaus zymenis, tarpini taska ci pazymejome xi). Tuomet (2) suma , turedami galvoje, kad yi = y(xi), uzrasysime taip:

Gautoji suma yra tarn tikros vieno kintamojo funkcijos integraline suma. Todel, apskaiciave riiba kai 0, (tuomet ir max ∆x i— >0), pirmojo tipo kreivini integrala isreiskiame apibreztiniu integralu (4)Taigi is esmes ds yra apibreztas kreives lanko ilgio diferencialas: Kai glodi plokscioji kreive L apibrezta parametrinemis lygtimis x = x (t), y = y (t), t [t0;T], tai , todėl . (5)Kai parametrinemis lygtimis x = x(f),y=y(t),z = z(t), t [t0; T] apibrezta erdvine kreive L, Kai glodi plokscioji kreive L poliniu koordinaciu sistemoje apibrezta lygtimi , tai ir .Įsitikinome, jog pirmojo tipo kreivinis integralas isreiskiamas apibreztiniu integralu. Zinome, kad apibreztinis integralas egzistuoja, kai pointegraline funkcija yra tolydi. Kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija,tai ir irgi yra tolydi funkcija, nes del kreives L glodumo tolydzios yra funkcijos y(x) ir y'(x). Vadinasi, egzistuojant integralui , kartu egzistuoja ir integralas . Is ciaisplaukia, kad pirmojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai f(x, y) – tolydi glodziosios kreives L taskuose funkcija.

14.Ap.Jeigu egzistuoja baigtine (0) sumos riba, kai ->0, nepriklausanti nuo orientuotos kreives L suskaidymo i dalis ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama antrojo tipo kreiviniu integralu kreive(arba keliu)L.Zymima taip: (1) Vadinasi .Kai Q (x, y) = 0,is kreivinio integralo (1)bendrosios israiskos gauname kreivini integrala o kai P (x, y) = 0,-integra . Kadangi integralai ir , paimti skyrium, irgi turi

prasme, tai is antrojo tipo kreivinio integralo apibrezimo isplaukia, kad Kai kreive L uzdara, (1)integrala zymime taip: .Palyginsime pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu apibrezimus, kartu isryskindami viena. esmini ju skirtumu Sudarydami (2)suma funkcijos reiksme tarpiniame taske dauginome is kreives lanko ilgio ∆si , o sudarydami (0) suma ,- is to lanko (kartu ir vektoriaus ∆s i) projekcijos asyje Ox (arba asyje Oy),bet ne is lanko ilgio ∆si.Kadangi lanko ∆s, ilgis nepriklauso nuo integravimo krypties, tai tos krypties pakeitimas neturi jtakos pirmojo tipo kreiviniam integralui. To negalima pasakyti apie antrojo tipo kreivini integrala nes lanko ∆si projekcijos zenklas priklauso nuo to lanko krypties. Pakeite integravimo lanku AB krypti, kartu pakeiciame ir lanko ∆si- projekciju ∆xi ir ∆yi zenklus.Taigi Dar paminesime, kad tokiu pat budu kaip (1) integrala galima apibrezti antrojo tipo kreivini integrala erdvine kreive L: .Irodysime, kad antrojo tipo kreivinis integralas apskaiciuojamas pakeiciant ji apibreztiniu integralu. Nagrinekime integrala: . (3)Tarkime, kad kreives L lanko AB parametrines lygtys yra x = x(t), y = y(t),lanko pradzios taska_ A atitinka parametro t reiksme t0, o lanko galo taska B -reiksme T.Dar sakykime, kad x (t), y (t) ir ju isvestines x'(t), y'(t) yra tolydzios atkarpoje [ t0; T] funkcijos, P (x,y) – irgi tolydi kreives L taskuose funkcija. Įrodysime, kad Vadinasi, norint apskaiciuoti (3)integrala reikia kintamuosius x ir y pakeisti ju israiskomis x (t) iry (t), o vietoj dx jrasyti israiska. dx = x'(t) dt, kuri gaunama is sajygos x = x (t). Apibreztinio integralo reziai – parametro t reiksmes, paimtos taip, kad atitiktu pasirinkta integravimo krypti. Sudarykime integraline suma: ir tarkime, kad taska. Xi atitinka parametro reiksme ti, o taska xi-1 reiksme ti-1 . Vadinasi, xi =x(ti), xi-1= x(ti-1). Pritaike Lagranzo formule turime: Cia yra tarp ti-1 ir ti. Tarpini taska. ( ) parinkime taip, kad jis atitiktu parametro , reiksme, butent: Tuomet: Kadangi desiniojoje sios lygybes puseje yra vieno kintamojo funkcijos P(x(t),y(t)) x'(t) integraline suma, tai, pereje prie ribos, kai =max ∆si0 tuomet kartu ir max ∆xi ->0),gauname apibreztini integrala Taigi galutinai Kalbedami apie bendrosios israiskos antrojo tipo kreivini integrala ,reikalausime, kad x(t), y(t) ir ju isvestines x'(t),y'(i) butu tolydzios atkarpoje [t0;T] funkcijos, o P(x,y), Q(x, y)- tolydzios kreives L taskuose funkcijos. Tuomet teisinga tokia lygybe: (4)Kadangi del minetu funkciju tolydumo desiniojoje (4) lygybes puseje esantis apibreztinis integralas egzistuoja, tai kartu egzistuoja ir kreivinis integralas . Taigi galutinai isitikiname,kad antrojo tipo kreivinis integralas egzistuoja, kai kreive L yra glodzioji arba dalimis gloti, o funkcijos P(x,y) ir Q(x,y) – tolydzios kreives L taskuos

11. Trilypis integralas cilindrineje koordinaciu sistemoje

Cilindrines koordinates gaunamos, prie poliniu koordinaciu p ir  prijungus paprastq. Dekarto aplikate z. Taigi tasko M padetis cilindriniu koordinaciii sistemoje nusakoma trimis dydziais: p,  ir z (60 pav.); cia p > 0,

0 <  < 2n (arba- < < ),- < z < + .Su staciakampemis Dekarto koordinatemis cilindrines koordi¬nates sieja

formulas:xcos,ysin,zz.

Randame jakobijana:

Pritaike , formule gauname tokia trilypio integralo apskaiciavimo cilindrinių koordinaciu sistemoje formule: .

Reiskinys  d d dz turi paprasta geometrine prasme. Panasiai kaip reiskinys dx dy dz, jis isreiskia elementarios dalies turi. Ta dalis gaunama dalijant sriti V koordinatiniais pavirsiais  = const (cilindru, kurio sudaromosios lygiagrecios asiai Oz), = const (pusplokstume, einancia per asi Oz), z = const (plokstuma, lygiagrecia plokgtumai xOy)

Kai elementas ABCDABCD laikomasstaciakampiu gretasieniu, tai jo turis isreiskiamas matmenu d, d ir dz sandauga, taigi jo turis lygus dydziui

dd dz.

Kadangi kuno turis V = dx dy dz , tai cilindriniu koordinaciu sistemoje jis isreiskiamas formule: .

12 Trilypis integralas sferinieje koordinaciu sistemoje

Tasko M (x; y, z) padetis sferiniu koordinaciu sistemoje nusakoma trimis dydziais: r,  ir  ( pav.); cia r – spindulio vektoriaus OM , jungiancio su duotuoju tasku M, ilgis, 0 r < +; - asies Oz ir spindulio vektoriaus

OM sudaromas kampas, atskaitomas nuo asies Oz, 0 ;  – asies Ox ir spindulio vektoriaus OM’ sudaromas kampas, atskaitomas nuo asies Ox, 0 

Is paveikslo nesunku gauti tasko M Dekarto koordinaciu x, y,z ir sferininiu koordinaciu r, ,  sarysio formulas:xrsincos,yrsinsin,zrcos)Be to, x2 +y2 +z2 = r2 .Koordinatiniai sferiniu

koordinaciu pavirsiai yra tokie:sferos r =const, pusplokstume= const, kugiai  = const.Raskime jakobiana: .

Pritaike, formule, gauname trilypio integralo israiska. Sferiniu koordinaciu sistemoje:

Kuno turis V = dx dy dz isreiskiamas formule:

Dydis r sin  dr d d taip pat yra elementariosios dalies turis, apskaiciuotas sferiniu koordinaciu sistemoje.



15. Pirmojo ir antrojo tipo kreiviniu integralu sarysis

Isvesime formule siejancia, abieju tipu kreivinius integralus. Sakykime, L glodzioji orientuota kreive. Kampus, kuriuos liestine i einanti per taska sudaro su koordinaciu, asiu, teigiamomis kryptimis, pazymekime  ir . Tuomet liestines i. ortas bus

i° = (cos; cos).

Is brezinio matyti, kad dydzius ∆xi- ir ∆yi- su lanko ilgiu ∆si sieja apytiksles formulas:∆xicos∆si,∆ycos∆si

Taigi formule galime uzrasyti:

Prieje prie ribos, kai  = max ∆si0 gauname abieju tipu kreiviniu integralu sarysio formule .

Kai L – glodzioji erdvine kreive, kurios liestines  bet kuriame jos taske M (x; y; z) krypties kosinusai lygus cos, cos cos, tai .

16.Gryno formule

Tarkime, kad sritis D, apribota uzdara kreive L, tenkina salyga jog bet kuri lygiagreti koordinaciu asims tiese kreive L kerta ne daugiau kaip dviejuose taskuose.Isvesime labai svarbia formule, kuri dvilypi integrala srityje D sieja su kreiviniu integralu kreive L, ribojancia sriti D.T. Jei funkcijos P (x, y) ir Q (x, y)bei ju daline sisvestines yra tolydzios srityje D, apribotoje uzdaru konturu L,tai kai konturas L apeinamas teigiamaja kryptimi.Įr Tarkime, kad sritis D yra tokia, kokia pavaizduota 77 paveiksle. Jos kontura L sudaro dvi kreives: lankas ACB, kurio lygtis y = y1 (x) , ir lankas AEB, kurio lygtis y = y2(x),axb.Apskaiciuokime dvilypi integrala pakeisdami ji kartotiniu ,kadangi .pirmasis integfralas yra apibreztinis jis gaunamas is kreivinio integralo .kai integruojama kreive l,kurios lygtis yy2(x)yra lanko AEB lygtis,tai analogiskai ir gauname,kad bet todel lankai AEB ir BCA sudaro kreive L, todel kreiviniii integrala siais lankais suma lygi integralui visa uzdara kreive L. Si karta kreive L pradedame judeti is tasko A ir vel griztame i taska A lankais AEB ir BCA, taigi einame kryptimi pansia su laikrodzio rodykles judejimo kryptimi, t. y.neigiamaja kreives L apejimo kryptimi..Integravimo krypti pakeite teigiamaja konturo L apejimo kryptimi, turetume (13)Jeigu kurio nors lanko dalis butu atkarpa, lygiagreti asiai Oy, tai tos atkarpos taskuose butu dx=0 ir =0.Taigi(13)formule butu teisinga ir tuo atveju.Analogiskai irodytume, kad (14)Is(14)lygybes ateme(13)lygybe, gauname vadinamaja Gryno formulę :

22. Antrojo tipo pavirsiniai integralai

Sakykime, kad S – dvipusis glodusis pavirsius, o R(x,y,z) ~ lolydzioji to pavirsiaus taskuose funkcija. Padalykime pavirsiu S glodziomis kreivemis i dalis ∆I (i1,n) ir kiekvienoje ju pasirinkime po taska Mi (xi .yi , zi ) Apskaiciuokime funkcijos R(x, y , z) reiksme taske M i : R(Mi ) = R(xi , yi , zi) . Simboliu ∆Si pazymekime pavirsiaus dalies ∆i- projekcijos plokstumoje xOy plota su priskirtu jam pliuso zenklu, kai parinkta virsutine pavirsiaus puse (kampas tarp Oz asies ir pavirsiaus normales yra smailusis), ir su minuso zenklu, kai pasirinkta apatine pavirsiaus puse. Sudarykime integraline suma .(1) ir pazymekime  = max diam∆i .

Ap. Jei egzistuoja baigtine (1) sumos riba, kai 0 , nepriklausanti nuo pavirsiaus padalijimo I dalis∆i- ir tasku Mi parinkimo, tai si riba vadinama funkcijos R(x,y,z) antrojo tipo pavirsiniu integralu pasirinktaja pavirsiaus S puse. Taigi = .

Kai P(x,y,z) ir Q(x,y,z] – tolydziosios pavirsiaus S taskuose funkcijos, tai, projektuodami pavirsiaus dalis∆i. ( koordinaciu plokstumas yOz ir xOz , galime analogiskai apibrezti dar du
antrojo tipo pavirsinius integralus:

P(x,y,z)dydz ir Q(x,y,z)dzdx.Sudejus visus tris antrojo tipo pavirsinius integralus, sudaromas bcndrasis antrojo tipo pavirsinis integralas . Is apibrezimo matyti, kad antrojo tipo pavirsinis integralas priklauso nuo pasirinktos pavirsiaus puses; be to, pakeitus pavirsiaus S puse, integralas keicia zenkla.

Antrojo tipo pavirsiniai integralai apskaiciuojami taip. Jei glodusis pavirsius S, kurio projekcija plokstumoje xOy yra sritisD1 nusakomas isreikstine lygtimi z(x, y) ((x,y) € Dl), tai

R(x,y,z)dxdy=± R(x,y,z(x,y))dxdy, (3)

cia pries dvilypi integrala parasyti zenklai priklauso nuo pasirinktos pavirsiaus puses.

Kai pavirsius S nusakomas lygtimis x = x(y,z) arba y = y(x,z) ir

projektuojamas I plokstumas yOz arba xOz sritimis D2 arba D3,tai

P(x,y,z)dydz = ± P(x(y,z)y,z)dydz, (4)

Q(x,y,z)dzdx = ± Q(x,y(x,z],z)dzdx. (5)

Bendrasis antrojo tipo pavirsinis integralas skaiciuojamas pagal (3) – (5) formules, jei pavirsius vienareiksmiskai projektuojamas ( visas 3 koordinaciu plokstumas.

Abiej u tipu pavirsiniai integralai siejami lygybe: .

cia cos, cos, cos – normales krypties kosinusai, atitinkantys pasirinktajq. pavirsiaus S puse.

Kartais (6) rysio formule naudojama antrojo tipo pavirsiniams integralams apskaiciuoti

21Pirmojo tipo pavirsiniai integralai

Tarkime, kad S – glodusis pavirsius erdveje R3. Jo taskuose apibrezta tolydzioji funkcija f(x,y,z). Pavirsiu, S glodziu kreiviu tinklu padalykime i dalis ∆i(simboliu∆i, zymesime ir jos plota.,(i1,n)ir kiekvienoje ju bet kur parinkime po taska_ Mi.(xiyi,z,,)(99 pav.). Apskaiciuokime funkcijosreiksme tame taske

f{Mi)=f(xi,yi,zi) ir sudarykime integraline suma (1). Pazymekime diam∆i,

cia diam∆i laikome didziausia atstuma tarp dalies ∆I sienos tasku,. Apibrezimas. Jei egzistuoja (1) integralines sumos baigtine riba, kai 0, nepriklausanti nuo pavirsiaus padaljimo ( dalisi- ir tastu Mi parinkimo, tai si riba vadinama pirmojo tipo pavirsiniu integralu ir zymima: . (2)

Pirmojo tipo pavirsinis integralas apskaiciuojamas pakeiciant ji dvilypiu integralu.

Jei glodusis pavirsius S nusakytas isreikstine lygtimi z = z(x, y), cia (x,y) D – pavirsiaus Sprojekcija plokstumoje xOy (99 pav.), tai pirmojo tipo pavirsinis integralas apskaiciuojamas pagal formule

. (3)

Pirmojo tipo pavirsinio integralo savybes analogiskos pirmojo tipo kreivinio integralo savybems. Jei glodusis pavirsius nusakytas parametrinemis lygtimis x = x(u,v), y = y(u,v), z = z(u,v), (u,v) D1, tai pirmojo tipo pavirsinis integralas

,

cia .

17. Sajyga, kad kreivinio integralo reiksme nepriklausytq nuo integravimo kelio

Zinome,kad integralu reiksme gali priklausyti arba nepriklausyti nuo integravimo kelio.Dabar paaiskinsiu kokiomis sajygomis kreivinio integralo reiksme nepriklauso nuo integravimo kelio.Nagrinesiu vienajunge sriti, kuria paprasta apibudinti,kai ji yra baigtine.Sritis bus vienajunge, kai ja ribos viena glodzioji arba dalimis glodi uzdara kreive.Sakykime, vienajungeje srityje D apibreztos dvi tolydzios funkcijos P(x,y) irQ(x,y), turincios tolydzias dalines isvestines Nagrinekime kreivini integrala ir tarkime,kad jis priklauso nuo lanko pradzios ir pabaigos tasku M ir N bet nepriklauso nuo pasirinkto integravimo kelio.Taigi tarkime,kad Iš čia

Antrajame integrate pakeite integravimo krypti, turime: Kadangi lankai MAN ir NBM sudaro uzdaraji kontura L, apeinama ta pacia kryptimi, tai formule galima parasyti taip: Taigi is salygos ,,integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, jungiancio taskus M ir N“ isplaukia sajyga ,,integralas bet kuriuo uzdaruoju konturu, kuriam priklauso taskai M ir N, yra lygus nuliui“.teisingas ir atvirkscias teiginys, butent is salygos isplaukia salyga: Todel teiginiai,,Integralas nepriklauso nuo integravimo kelio“ ir,,Integra¬las uzdaruoju konturu lygus nuliui“, yra ekvivalentus.Toliau suformuosime sajyga kuriai esant integralas nepriklauso nuo integravimo kelio.

T.Tarkime, kad funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju dalines isvestines , yra tolydzios vienajungeje srityje E. Integralas Bet kuriuo uzdaruoju konturu L, esanciu srityje E, lygus 0 tada ir tik tada, kai visuose srities E taskuose teisinga lygybe , taigi .Įr. Pakankamumas. Duota . Turime irodyti,kad .Tai tiesiogiai isplaukia is Gryno formules, kuria taikome bet kokiam uzdarajam konturui L, ribojanclam sritiDE: Kadangi tai dvilypis integralas, o kartu kreivinis integralas lygus nuliui. Pakankamumas irodytas.Butinumas. Tarkime, kad integralas bet kuriuo uzdaruoju konturu L lygus nuliui. Tuomet, pagal Gryno formule, (1)Turime irodyti,kad .Tarkime priesingai, kad si lygybe negalioja, t.y. bent viename srities E taske M. Apibreztumo delei tarkime, kad siame taske > 0. Kadangi dalines isvestines yra tolydzios, tai si nelygybe teisinga ir pakankamai mazoje srityje , kuriai priklauso taskas M. Tuomet, remdamiesi dvilypiu_ integralu savybemis, galime teigti, kad is salygos >0 Si nelygybe priestarauja (1) sajygai. Vadinasi, prielaida, kad bent viename srities E taske, yra neteisinga. Todel visuose srities E taskuose . .Butinumas irodytas.

18. Salyga, kuriai esant reiskinys Pdx + Qdy yra pilnasis diferencialas

Reiskinys P (x, y) dx + Q (x, y) yra savo forma panasus i funkcijos u pilnaji Differenciala du = . Taciau savaime aisku, kad ne kiekvienas toks reiskinys yra
tikros funkcijos u pilnasis diferencialas du. Isnagrinesime salygas, kuriomis reiskinys P (x, y)dx + Q (x, y) dy vis delto yra kokios nors funkcijos u pilnasis diferencialas. Pasirodo, vel susiduriame su salyga .Teorema. Tarkime, kad funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E. Reiskinys P (x, y) dx + Q (x,y) dy yra tam tikros funkcijos u pilnasis diferencialas tada ir tik tada, kai . irodymas. Butinumas. Kai P (x, y)dx+ Q(x, y)dy yra tam tikros limkcijos u pilnasis diferencialas, tai .Kandame: ir .Kadangi dalines isvestines yra tolydzios srityje E, tai toje srityje tolydzios ir misriosios isvestines ir . Tuomet misriosios isvestines, kaip zinome, yra lygios, todel ir

Butinumas irodytas

Pakankamumas. Tarkime, kad teorema, galime sakyti, kad kreivinis integralas

Kokia nors kreive nuo srities E tasko A(x0,yo) iki tos patcios srities tasko B{x1,y2) nepriklauso nuo pasirinkto integravimo kelio.

Taska A fiksuokime, o taska pakeiskime bet kokiu srities E tasku M(x;y)tuomet integralas Priklausys nuo tasko M (x; y) padeties, todel jis bus tarn tikra to tasko koordinaciu funkcija u (x, y): Toliau irodysime, kad kalbame butent apie sios funkcijos u (x, y) pilnaji diferencila todel ieskosime daliniu isvestiniu .Raskime . Tam tikslui pirmiausia sudarykime reiskini ,paskui apskaiciuokime jo riba kai ∆x 0, Argumentui x suteikime toki pokyti kad taskas Mi(x + ∆x; y) irgi priklausytu. sriciai E Kadangi tai .Kadangi integralas nepriklauso nuo integravimo kelio, tai tuo keliu = čia y- fiksuotas dydis. Vadinasi, ir .Apibreztiniam integralui taikome vidurines reiksmes teorema: = Cia x yra tarp x ir x + x. Tuomet ir kadangi P(x,y)- tolydi funkcija, o tai

Vadinasi, analogiškai įrodysime kad Sios isestines tolydzios, todel funkcija u turi pilnaji differenciala pati funkcija u(x,y)= vadinama pointegralinio reiškinioP(x,y)dx + Q(x,y)dy pirmykste funkcija. Kai funkcijos P (x, y) ir Q (x, y) bei ju dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E, tai, reziumuodami , galime sakyti, kad teiginiai yra ekvivalentus.

1. Kreivinis integralas Pdx+Qdy nepriklauso nuo integravimo kelioL srityje E.

2. Kreivinis integralas Pdx+Qdy bet kuriuo uzdaruoju konturu,L esanciu srityje E, yra. lygus nuliui.

3. Reiskinys P dx+Q dy yra tarn tikros funkcijos pilnasis diferencialas.

4. Visuose srities E“ taskuose teisinga lygybe

19, Pilnųjų diferencialų integravimas

Sakykime, funkcijos P (x, y), Q (x, y) ir ju_ dalines isvestines yra tolydzios vienajungeje srityje E, be to, . Tuomet reiskinys P(x,y)dx + Q(x,y)dy yra tarn tikros funkcijos u (x, y) pilnasis diferencialas du ir to reiskinio pirmykste funkcija u (x, y) isreiskiama formule u(x,y)= Tarkime, kad funkcija v(x,y) irgi yra reiskinio P(x,y)dx + Q(x,y)dy pirmykSte funkcija, tuomet tos funkcijos skiriasi konstanta: u (x, y)= v (x, y)+C.Kadangi tai, irase į (17) salyga x=x0, y = y0, gauname: 0 = v(x0,y0) + C; is cia C = -v(x0,y0).Taigi u(x,y) = v(x,y)-v(x0,y0),

Šiuo metu Jūs matote 30% šio straipsnio.
Matomi 2794 žodžiai iš 9240 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.