TURINYS
FORMULĖS 3
Trigonometrija funkcijos ir lygtys 6
Trigonometrinių reiškinių pertvarkymai. 19
Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas 20
Rodiklinių lygčių sprendimas 24
Rodiklinių nelygybių sprendimas 28
Logaritminės lygtys 30
Logaritminių nelygybių sprendimas 40
Laipsnio sąvokos apibendrinimas 44
Kontrolinis darbas „Rodiklinės ir logaritminės lygtys bei nelygybės“ 49
FORMULĖS
Trikampis. S= sinC = ;
a2 = b2 +c2 – 2bc cosA, ,
čia a, b, c – trikampio kraštinės, A, B, C – prieš jas esantys kampai, p – pusperimetris, r ir R – įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų spinduliai, S – trikampio plotas,
Skritulio išpjova. S = , l = , čia – centrinio kampo didumas laipsniais, S – išpjovos plotas, l – išpjovos lanko ilgis, R – apskritimo spindulys.
Ritinys. V = Spag H = R2H,
Sšon = 2RH (šoninis paviršius)
Spag = R2, d2 = H2 +(2R)2 (d – ašinio pjūvio įstižainė),
C = 2R (C – apskritimo ilgis),
Spav = Sšon + 2Spag = 2RH + 2R2 = 2R (H + R).
Kūgis. Nupjautinis kūgis. Spag = R2,
Saš. pjūv = R H, l2 = R2 + H2,
Sšon = Rl,
Spav = Sšon + Spag = Rl + R2 = R (l + R),
V = ;
čia R ir r – kūgio pagrindų spinduliai, Sšon – šoninio paviršiaus plotas, V – tūris,
H – aukštinė, l – sudaromoji.
Nupjautinės piramidės tūris. V = ;
čia S1 S2 – pagrindų plotai, H – aukštinė.
Piramidė. V = SH; čia S – pagrindo plotas, H – piramidės aukštinė.
Taisyklingoji piramidė. r – įbrėžto apskritmo spindulys, R – apibrėžto apskritimo spindulys,
S3 = 3 , S6 = 2 , Sšon = ,
ha – apotema, ha – šoninės sienos aukštinė
Spav = Sšon + 2Spag, V = .
Taisyklingoji prizmė. Spag = , S6 = , r3 = ,
R3 = , r6 = , R6 = a (r – įbrėžto apskritmo spindulys, R – apibrėžto apskritimo spindulys)
Sšon = Ppag H = 3a H (Ppag – pagrindo perimetras),
Spav = Sšon + 2Spag ,
V = Spag H
Rutulys. Spav = 4 , čia Spav – rutulio paviršiaus plotas,V – tūris,
R – spindulys.
Rutulio nuopjovos tūris. V = ;
čia R – spindulys, H – nuopjovos aukštinė.
Kubas. Spag = a2, dk = a (dk – kubo įstrižainė),
Sšon = 4a2, ds = a (ds – šoninės sienos įstrižainė),
Spav = 6a2,
S = ,
V = a3.
Stačiakampis gretasienis. Spag = ab, d2 = a2 + b2 + H2 (d – stačiakampio gretasienio įstižainė, H – aukštinė),
Sšon = Ppag H = 2(a + b) H (Ppag – pagrindo perimetras),
Spav = Sšon + 2Spag = 2 (ab + aH + bH),
V = Spag H = ab H.
Vektorių skaliarinė sandauga. ; čia – kampas tarp vektorių ir .
Trigonometrinės funkcijos.
1+tg2 =
sinx = a, x = (-1)k arcsine + k, k Z, -1 ;
cosx = a, x = -1 ;
tgx = a, x = arctga + k, k Z.
2cos2 = 1 + cos2, sin ( , cos( .
sin , cos + cos = 2cos ,
cos – cos = -2sin .
Logaritmo pagrindo keitimo formulė. logab =
XI klasė
Trigonometrija funkcijos ir lygtys
Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos:
arcsinx = y, , kur siny = x
arccosx = y, , kur cosy = x
arctgx = y, , kur tgy = x
arcctg = y, , kur ctg = x.
Trigonometrinių lygčių sprendimas
sinx = a,
x = (-1)narcsina+n, n = 0,
sinx = -a,
x = (-1)narcsina+n, n = 0,
sinx = 0,
x = n, n = 0,
sinx = 1,
x = , n = 0,
sinx = -1,
x = – , n = 0,
cosx = a,
x = , n = 0,
cosx = -a,
x = , n = 0,
cosx = 0
x = , n = 0,
cosx = 1,
x = 2n, n = 0,
cosx = -1,
x = + 2n, n = 0,
tgx = a,
x = arctg + n, n = 0,
tgx = 0,
x = n, n = 0,
tgx = 1,
x = – , n = 0,
tgx = -1,
x = – , n = 0,
ctgx = a,
x = arcctga + n, n = 0,
ctgx = 0,
x = – , n = 0,
ctgx = 1,
x = x = – , n = 0,
Neigiamo argumento atvirkštinės trigonometrinės funkcijos
arcsin(-x) = -arcsinx
arccos(-x) = – arccosx
arctg(-x) = -arctgx
arcctgx(-x) = – arctgx
Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas
1. Apskaičiuokite
a) arcsin ,
nes arcsin , arctg ir arccos .
b) arcsin , nes arcsin ,
arccos .
c) tg , nes arctg1 = .
2. a) sinx = – .
x =
x =
Ats.:
b) cosx = – .
x =
Ats.:
a) tgx = – .
x = arctg
x = –
d) cos2x = .
2x =
2x =
x = Ats.: .
e) 6sin
sin
x = Ats.: .
f) 2cos
2cos
cos
2x –
2x –
2x =
x = Ats.: .
g)
ctg
5x +
5x +
5x =
5x =
x = Ats.:
Uždaviniai.
1. Apskaičiuokite:
a) 2arccos1 – arctg Ats.:
b) arcos(-1) – arcsin Ats.: .
2. Išspręskite lygtis:
a) sinx = Ats.:
b) cosx = Ats.:
c) tgx = Ats.:
d) – Ats.:
e) 2tg Ats.:
g) Ats.:
Paprasčiausių nelygybių sprendimas
1. sinx <
Sprendimas:
Braižome funkcijų y ž sinx ir y = grafikus.
Duotosios nelygybės sprendiniai – tai ašies Ox taškas tuose intervaluose, kur sinusoidė yra žemiau tiesės y = . Tuos intervalus brėžinyje paryškiname. Paryškintų intervalų galus (taškus x1 ir x2, ir ) nustatome išsprendę lygtis: sinx = , = , = , x1 = , x2 = .
Pridėję 2n, parašome visus nelygybės
sprendinius:
+ 2n < x < + 2n arba + 2n < x < + 2n
x ir x .
Išrenkame vieną iš atsakymų.
Ats.: x .
2. cos2x > . Pažymėkime 2x = t, 0,7.
Braižome funkcijų y = cost ir y = 0,7 grafikus.
Duotosios nelygybės sprendiniai – tai ašies Ox taškai intervaluose, kur kosinusoidė yra virš tiesės y = . Tuos intervalus brėžinyje paryškiname. Paryškinto intervalo galus (taškus t1 ir t2) nustatome išsprendę lygtis cost = , t1 = ir t2 = .