Analizės pradmenys 10 12 klasėms

TURINYS

FORMULĖS 3

Trigonometrija funkcijos ir lygtys 6

Trigonometrinių reiškinių pertvarkymai. 19

Trigonometrinių lygčių ir nelygybių sprendimas 20

Rodiklinių lygčių sprendimas 24

Rodiklinių nelygybių sprendimas 28

Logaritminės lygtys 30

Logaritminių nelygybių sprendimas 40

Laipsnio sąvokos apibendrinimas 44

Kontrolinis darbas „Rodiklinės ir logaritminės lygtys bei nelygybės“ 49

FORMULĖS

Trikampis. S= sinC = ;

a2 = b2 +c2 – 2bc cosA, ,

čia a, b, c – trikampio kraštinės, A, B, C – prieš jas esantys kampai, p – pusperimetris, r ir R – įbrėžtinio ir apibrėžtinio apskritimų spinduliai, S – trikampio plotas,

Skritulio išpjova. S = , l = , čia  – centrinio kampo didumas laipsniais, S – išpjovos plotas, l – išpjovos lanko ilgis, R – apskritimo spindulys.

Ritinys. V = Spag  H = R2H,

Sšon = 2RH (šoninis paviršius)

Spag = R2, d2 = H2 +(2R)2 (d – ašinio pjūvio įstižainė),

C = 2R (C – apskritimo ilgis),

Spav = Sšon + 2Spag = 2RH + 2R2 = 2R (H + R).

Kūgis. Nupjautinis kūgis. Spag = R2,

Saš. pjūv = R  H, l2 = R2 + H2,

Sšon = Rl,

Spav = Sšon + Spag = Rl + R2 = R (l + R),

V = ;

čia R ir r – kūgio pagrindų spinduliai, Sšon – šoninio paviršiaus plotas, V – tūris,

H – aukštinė, l – sudaromoji.

Nupjautinės piramidės tūris. V = ;

čia S1 S2 – pagrindų plotai, H – aukštinė.

Piramidė. V = SH; čia S – pagrindo plotas, H – piramidės aukštinė.

Taisyklingoji piramidė. r – įbrėžto apskritmo spindulys, R – apibrėžto apskritimo spindulys,

S3 = 3 , S6 = 2 , Sšon = ,

ha – apotema, ha – šoninės sienos aukštinė

Spav = Sšon + 2Spag, V = .

Taisyklingoji prizmė. Spag = , S6 = , r3 = ,

R3 = , r6 = , R6 = a (r – įbrėžto apskritmo spindulys, R – apibrėžto apskritimo spindulys)

Sšon = Ppag  H = 3a  H (Ppag – pagrindo perimetras),

Spav = Sšon + 2Spag ,

V = Spag  H

Rutulys. Spav = 4 , čia Spav – rutulio paviršiaus plotas,V – tūris,

R – spindulys.

Rutulio nuopjovos tūris. V = ;

čia R – spindulys, H – nuopjovos aukštinė.

Kubas. Spag = a2, dk = a (dk – kubo įstrižainė),

Sšon = 4a2, ds = a (ds – šoninės sienos įstrižainė),

Spav = 6a2,

S = ,

V = a3.

Stačiakampis gretasienis. Spag = ab, d2 = a2 + b2 + H2 (d – stačiakampio gretasienio įstižainė, H – aukštinė),

Sšon = Ppag  H = 2(a + b)  H (Ppag – pagrindo perimetras),

Spav = Sšon + 2Spag = 2 (ab + aH + bH),

V = Spag  H = ab  H.

Vektorių skaliarinė sandauga. ; čia  – kampas tarp vektorių ir .

Trigonometrinės funkcijos.

1+tg2 =

sinx = a, x = (-1)k arcsine + k, k Z, -1 ;

cosx = a, x = -1 ;

tgx = a, x = arctga + k, k Z.

2cos2 = 1 + cos2, sin ( , cos( .

sin , cos + cos = 2cos ,

cos – cos = -2sin .

Logaritmo pagrindo keitimo formulė. logab =

XI klasė

Trigonometrija funkcijos ir lygtys

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos:

arcsinx = y, , kur siny = x

arccosx = y, , kur cosy = x

arctgx = y, , kur tgy = x

arcctg = y, , kur ctg = x.

Trigonometrinių lygčių sprendimas

sinx = a,

x = (-1)narcsina+n, n = 0,

sinx = -a,

x = (-1)narcsina+n, n = 0,

sinx = 0,

x = n, n = 0,

sinx = 1,

x = , n = 0,

sinx = -1,

x = – , n = 0,

cosx = a,

x = , n = 0,

cosx = -a,

x = , n = 0,

cosx = 0

x = , n = 0,

cosx = 1,

x = 2n, n = 0,

cosx = -1,

x =  + 2n, n = 0,

tgx = a,

x = arctg + n, n = 0,

tgx = 0,

x = n, n = 0,

tgx = 1,

x = – , n = 0,

tgx = -1,

x = – , n = 0,

ctgx = a,

x = arcctga + n, n = 0,

ctgx = 0,

x = – , n = 0,

ctgx = 1,

x = x = – , n = 0,

Neigiamo argumento atvirkštinės trigonometrinės funkcijos

arcsin(-x) = -arcsinx

arccos(-x) =  – arccosx

arctg(-x) = -arctgx

arcctgx(-x) =  – arctgx

Paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimas

1. Apskaičiuokite

a) arcsin ,

nes arcsin , arctg ir arccos .

b) arcsin , nes arcsin ,

arccos .

c) tg , nes arctg1 = .

2. a) sinx = – .

x =

x =

Ats.:

b) cosx = – .

x =

Ats.:

a) tgx = – .

x = arctg

x = –

d) cos2x = .

2x =

2x =

x = Ats.: .

e) 6sin

sin

x = Ats.: .

f) 2cos

2cos

cos

2x –

2x –

2x =

x = Ats.: .

g)

ctg

5x +

5x +

5x =

5x =

x = Ats.:

Uždaviniai.

1. Apskaičiuokite:

a) 2arccos1 – arctg Ats.:

b) arcos(-1) – arcsin Ats.: .

2. Išspręskite lygtis:

a) sinx = Ats.:

b) cosx = Ats.:

c) tgx = Ats.:

d) – Ats.:

e) 2tg Ats.:

g) Ats.:

Paprasčiausių nelygybių sprendimas

1. sinx <

Sprendimas:

Braižome funkcijų y ž sinx ir y = grafikus.

Duotosios nelygybės sprendiniai – tai ašies Ox taškas tuose intervaluose, kur sinusoidė yra žemiau tiesės y = . Tuos intervalus brėžinyje paryškiname. Paryškintų intervalų galus (taškus x1 ir x2, ir ) nustatome išsprendę lygtis: sinx = , = , = , x1 = , x2 = .

Pridėję 2n, parašome visus nelygybės
sprendinius:

+ 2n < x < + 2n arba + 2n < x < + 2n

x  ir x  .

Išrenkame vieną iš atsakymų.

Ats.: x  .

2. cos2x > . Pažymėkime 2x = t, 0,7.

Braižome funkcijų y = cost ir y = 0,7 grafikus.



Duotosios nelygybės sprendiniai – tai ašies Ox taškai intervaluose, kur kosinusoidė yra virš tiesės y = . Tuos intervalus brėžinyje paryškiname. Paryškinto intervalo galus (taškus t1 ir t2) nustatome išsprendę lygtis cost = , t1 = ir t2 = .