Integralas
5 (100%) 1 vote

Integralas

I. VIENO KINTAMOJO FUNKCIJŲ INTEGRALINIS SKAIČIAVIMAS

1. Individualios užduotys: …… 2 psl.

– trumpa teorijos apžvalga,

– pavyzdžiai,

– užduotys savarankiškam darbui.

2. Išspręstosios užduotys……..20 psl.

1. Individualios užduotys

Funkcijos f(x) pirmykðte vadinama tokia funkcija F(x), kuriai teisinga lygybë .

Jei F(x) yra funkcijos f(x) pirmykðtë ir C – bet kuris realusis skaièius, tai F(x)+ C irgi yra funkcijos f(x) pirmykðtë funkcija. Funkcijos f(x) neapibrëþtiniu integralu vadinama ðios funkcijos visø pirmykðèiø funkcijø aibë F(x)+ C. Raðoma:

.

Pagrindinës neapibrëþtinio integralo savybës

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. .

Pagrindiniø integralø lentelë

1. , 2. ,

3. , 4. ,

5. , 6. ,

7. , 8. ,

9. , 10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. , 16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. .

Integravimo metodai

1. Tiesioginio integravimo metodas

2. Ákëlimo uþ diferencialo þenklo metodas

3. Kintamojo keitimo metodas

4. Integravimo dalimis metodas.

Tiesioginio integravimo metodas

Ðis metodas pagrástas pagrindiniø integralø lentelës ir savybiø taikymu bei pointegralinës funkcijos tapaèiaisiais pertvarkiais.

Pavyzdþiai

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) = = =

= x + arctgx+C,

6) =

= .

Ákëlimo uþ diferencialo þenklo metodas

Ðis metodas pagrástas trijø ákëlimo uþ diferencialo þenklo taisykliø ir vienos integralø savybës taikymu.

I taisyklë. Prie funkcijos, esanèios uþ diferencialo þenklo, galima pridëti bet kurá skaièiø:

du(x)= d(u(x)+a).

II taisyklë. Norint funkcijà, esanèià uþ diferencialo þenklo padauginti ið kurio nors nelygaus nuliui skaièiaus, reikia ið ðio skaièiaus padalinti diferencialà (integralà):

du(x)= d(au(x)), .

III taisyklë (þr. antràjà savybæ). Norint funkcijà, esanèià prieð diferencialo þenklà, pakelti uþ diferencialo þenklo, reikia jà suintegruoti:

g(x)dx= .

Savybë. Jei ir u=u(x), tai

.

Kintamojo keitimo metodas

Sakykime, kad reikia rasti integralà . Norëdami gauti paprastesná integralà, keièiame kintamàjá pagal lygybæ t=u(x)

arba x=j(t). Tuomet = =

= = G(t) + C.

Paprasèiausia nauju kintamuoju paþymëti uþ diferencialo þenklo esanèià funkcijà: t=u(x).

Pavyzdþiai

1) =

= ,

2) =

= = =

= ,

3) = arscint + C = = arcsin(lnx) + C,

4) =

.

Integravimo dalimis metodas

Tai integralø apskaièiavimas taikant integravimo dalimis formulæ:

.

Ðis metodas daþniausiai taikomas tuomet, kai reikia integruoti tokià dviejø funkcijø sandaugà: ; èia yra

n-ojo laipsnio daugianaris (n ³ 0), o f(x) – rodiklinë, logaritminë, trigonometrinë arba atvirkðtinë trigonometrinë funkcija. Funkcijà v galima gauti keliant kurá nors dauginamàjá ar f(x) uþ diferencialo þenklo. Kai yra galimybë kelti uþ diferencialo þenklo rodiklinæ, trigonometrinæ ir laipsninæ funkcijas, galima prisilaikyti nurodyto pirmumo. Pavyzdþiai

1) = = =

= xlnx – x + C,

2) = =

= + cosx + C,

Racionaliøjø funkcijø integravimas

Racionaliàja funkcija R(x) vadinamas daugianariø

ir

santykis: .

Racionaliosios funkcijos integruojamos keliais etapais.

1) Atkreipiame dëmesá á skaitiklio ir vardiklio daugianariø laipsnius n ir m. Jei n ³ m, racionaliojoje funkcijoje, kuri ðiuo atveju vadinama netaisyklingàja, iðskiriame sveikàjà dalá.

2) Atkreipiame dëmesá á vardiklio daugianario Qm(x) uþraðymo formà. Treèiojo ar aukðtesniojo laipsnio daugianaris turi bûti iðreikðtas tiesiniø ir kvadratiniø (su neigiamais diskriminantais) dauginamøjø sandauga. Jei m =2, vardiklyje galima iðskirti dvinario kvadratà ir gautàjá dvinará paþymëti nauju kintamuoju.

3) Taisyklingàjà racionaliàjà funkcijà iðreiðkiame paprasèiausiø racionaliøjø funkcijø suma.

4) Integruojame racionaliosios funkcijos R(x) sveikàjà dalá ir paprasèiausias racionaliàsias funkcijas.

Pavyzdþiai

Šiuo metu Jūs matote 50% šio straipsnio.
Matomi 510 žodžiai iš 1017 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.