Logikos teorija
5 (100%) 1 vote

Logikos teorija

SUTRUMPINTOS TEISINGUMO LENTELĖS

Mes naudojame teisingumo lenteles, kai norime nustatyti ar formulė tapačiai teisinga, ar iš duotų formulių išplaukia kita formulė. Tačiau, kad įrodyti, ar formulė yra tapačiai teisinga, ar formulė logiškai išplaukia, dažnai yra paprasčiau taikyti teoremas. Jeigu mums reikia įrodyti, kad formulė nėra tapačiai teisinga ar logiškai išplaukia, mums nereikia sudarinėti pilnos teisingumo lentelės. Tereikia surasti tinkamą eilutę, kuri tai įrodytų. Jeigu vis dėlto tenka atlikti daug skaičiavimų pagal teisingumo lenteles, tai galima panaudoti metodą, pagreitinantį skaičiavimą. Jo esmė tokia, kad t ir k reikšmės priskiriamos vienintelei raidei. Raidė pasirenkama ta, kuri dažniausiai naudojama formulėje. Tuomet formulė supaprastėja. Po to t ir k reikšmės priskiriamos kokiai nors kitai raidei. Panagrinėkime kokio nors dvejetainio ryšio  pradinę teisingumo lentelę. Jeigu mes formulei A priskiriame reikšmes t arba k, tai esant fiksuotoms A reikšmėms A  B lentelė tampa vienetinio ryšio, priklausančio nuo B, lentele. Vienetiniam ryšiui galimos tik 4 lentelės:

T t

T K (kaip ir B)

K T (B)

K K

Taigi, parenkant vieną A reikšmių, formulė gali įgyti vieną iš reikšmių t, B, B, k. Žinomų loginių operacijų atveju gauname tokias lenteles:

A A_B

B_A AB BA

T B B t

K B t B

Lentelės (  ) tęsinys (  )

AB

BA AB

BA A

B t k

k B t

Pavyzdžiui:

P  (Q  R  (R  P))

kai P yra k, tai viskas yra t:

k  (Q  R  (R  k))

kai P yra t:

t  (Q  R  (R  t))

Q  R  (R  k)

Q  R  R

toliau kai R yra t:

Q  t  t

t  k

k

kai R yra k:

Q  k  k

Q  t

t

Pateikta formulių sistema vadinama analize pagal teisingumą. Šį metodą pritaikė 1950 m. W. van O. Quine.

PAGRINDINĖS IŠPLAUKIMO TAISYKLĖS

G. Geutzeu (kažkoks austras)

Šios taisyklės yra dedukcinių samprotavimų pagrindas.

1 Jei iš , A╞ B, tai ,╞ A  B (implikacijos įvedimas)

Ši taisyklė įveda implikaciją, jeigu įrodyta, kad iš A╞ B. Galbūt dar darant kitas prielaidas (aibė ) ši taisyklė plačiai naudojama įrodymuose. Tarkim, kad reikia įrodyti implikacinės struktūros sakinį A  B. ??? prie jo įrodytų sakinių  prijungiamas sakinys A ir tada iš  ir A išvedama B. Po to sakoma, kad teorema įrodyta. Toks formulavimas ir nusako, kaip taikoma implikacijos įvedimo taisyklė, t.y. , A╞ B prie išplaukimo ,╞ A  B.

2 Jeigu , A╞ C ir , B╞ C, tai , AB╞ C (disjunkcijos pašalinimas)

Pagal šią taisyklę išvadai C iš disjunkcijos A arba B gauti pakanka gauti išvadą C iš A ir iš B, t.y., norint išvesti C iš AB, ši disjunkcija pašalinama ir įrodomi du skirtingi išplaukimai , A╞ C ir , B╞ C.

1) P  (Q  R) = t

2) P  Q = P _ Q

3 Jeigu iš , A╞ B ir , A╞ B, tai iš ╞ A (neigimo įvedimas)

Ši taisylė yra netiesioginio įrodymo pagrindas. Netiesioginis įrodymas – tai įrodymas prieštaros metodu. Teiginiui A įrodyti daroma prielaida, kad A yra klaidingas, o ne A yra teisingas. Tada iš A ir jo įrodytų teiginių aibės  išvedame prieštarą BB. Po to sakome, kad gauta prieštara įrodo teoremą. Toks formulavimas reiškia, kad neigimo įvedimo taisyklė taikoma netiesiogiai. Iš tikrųjų, pagal ją gauname , A╞ B ir , A╞ B, tai ╞ t.

4 Jeigu iš ╞ A ir ╞ A  B, tai ╞ B (implikacijos pašalinimas)

Ši taisylė bus pagrindinė tolimesnėje mūsų teorijoje. Su ja jau buvom susidūrę netiesiogiai, kai samprotavom, kad tapačiai teisingas teiginys A  B yra stipresnis nei teiginys jei A tapačiai teisinga, tai B tapačiai teisinga. Tuomet ši taisyklė ir buvo įrodyta.

5 Jeigu iš ╞ A, tai ╞ AB (pirmasis disjunkcijos įvedimas)

6 Jeigu iš ╞ B, tai ╞ AB (antrasis disjunkcijos įvedimas)

Šios taisyklės kaip ir tapačiai teisingos formulės išreiškia logikos dėsnius. Kartu šios taisyklės akivaizdžiau nei tapačiai teisingos formulės išreiškia samprotavimų metodus.

TEIGINIŲ LOGIKOS TAIKYMAS NATŪRALIAI KALBAI

NATŪRALIOS KALBOS SAKINIŲ UŽRAŠYMAS MATEMATINĖS LOGIKOS KALBA

Natūralios kalbos teiginiai esti įvairių konstrukcijų. Daugelyje jų galima išskirti tokias komponentes, kurios pačios yra sakiniai. Šie paprastesni sakiniai grupuojami į sudėtinius jungtukais ir skyrybos ženklais. Kiekvienas jungtukas turi savo atspalvį. Logikoje šie atspalviai išnyksta. Ir visa kalbinių jungimo priemonių gausybė išreiškiama nedideliu loginių operacijų skaičiumi. Pvz.:

1 Nustatykite sakinio “Jis baigė, o aš stovėjau ir vis klausiau” loginę struktūrą.

Pažymėsim elementarius teiginius: P – jis baigė; Q – aš stovėjau; R – vis klausiau. Tada PQR. Pirmu atveju konjunkcija išreikšta “,” ir jungtuku “o”, antru atveju – jungtuku “ir”. Logine prasme abu sąryšiai konjunkciniai. Semantine prasme sąryšių atspalviai yra skirtingi. Jungtukas “o” turi reiškinių sugretinimo prasmę, o jungtukas “ir” turi neutralią jungiamąją prasmę.

2 Nustatyti sakinio “Kadangi skaičių x galima užrašyti x = 2n + u (kur 0  u < 2, n  Z), tai funkcijų sin x ir cos x reikšmių apskaičiavimas pakeičiamas
intervale 0  u < 2 esančio argumento sin ir cos reikšmių apskaičiavimu.” loginę struktūrą.

Pažymim P – skaičių x galime užrašyti formule x = 2n + u; R – 0 = u; Q – 0 < u; S – u < 2; T – n  Z; V – sin x reikšmės apskaičiavimas pakeičiamas; W – cos x reikšmės apskaičiavimas pakeičiamas.

P(QR) STVW(QR) S

3 Kokia yra sakinio “Funkcija y = cos x apibrėžta intervale (0, ) turi atvirkštinę funkciją.” loginė struktūra? Šio sakinio loginė struktūra iš karto nepastebima. Sakinys tvirtina, kad “funkcija turi atvirkštinę funkciją” – R, bet tik esant sąlygoms “funkcija y = cos x” – P ir “funkcija apibrėžta intervale (0, )” – Q, t.y. šis sakinys yra lygiavertis tokiam sakiniui: “Jeigu funkcija y = cos x nagrinėjama intervale (0, ), tai ji turi atvirkštinę funkciją”. O šio sakinio loginė struktūra labai aiški.

LOGIKA

SAMPROTAVIMŲ ANALIZĖ. TEIGINIŲ LOGIKOS METODAI

Ši analizė susideda iš 2 dalių:

a) samprotavimo struktūros nustatymas

b) patikrinimas, ar išvada išplaukia iš duotų prielaidų.

Pvz.:

4. Išanalizuokim samprotavimą:

“Jeigu 10-taine sistema parašytas skaičius (sveikas) baigiasi 5” -P, “tai jis dalijasi iš 5” -Q. 10-taine sistema parašytas skaičius dalijasi iš 5. Mums reikia patikrinti, ar ši išvada išplaukia iš duotų prielaidų. Užsirašom samprotavimo struktūrą: PQ, P?Q. Norint nustatyti, ar teisinga išvada, galima naudoti įv. metodus. Pats paprasčiausias yra teis. lent. metodas (nenaudosim, nes per daug paprasta). Ši samprotavimo struktūra atitinka MP taisyklę: gaunam PQ, P╞ Q.

5. “Aš užmokėčiau už televizoriaus remontą” -Q, “jeigu jis dirbtų” -P, jis nedirba, todėl aš nemokėsiu (prielaida). QP, P Q

1. QP čia kontrpozicija 4. Q, todėl QP, P╞ Q

2. P (arba 52 formulė)

3. P Q;

6. “Jeigu jis nebūtų jai pasakęs” – Q, “ji nebūtų sužinojusi” – P, “jei ji nebūtų paklaususi” – R, jis jai nebūtų pasakęs. Ji sužinojo, vadinasi, ji paklausė.

Q P, R Q, P R

Surašom prielaidas: tuomet taikom kontrpoziciją:

1. Q P

2. R Q

3. P

4. PQ

5. Q (MP, 3, 4)

6. QR (52)

7. R (MP, 5, 6)

todėl išvada teisinga

Q P, R Q, P╞R

7. “Profsąjungos palaikys prezidentą” -P, “tik tuo atveju, jei jis pasirašys įstatymą” -Q; “žemdirbiai jį palaikys “ -R, “tik tuo atveju, jei jis uždės veto” -S. Aišku, kad prezidentas arba nepasirašys įstatymo, arba neuždės jam veto. Vadinasi, prezidentas praras arba darbininkų, susivienijusių į profsąjungas, balsus, arba praras žemdirbių balsus.

PQ, RS, Q S, P R

Šio samprotavimo teisingumui nustatyti naudosime disjunkcijos pašalinimo taisyklę, t. y. skaidysim įrodymą į 2 dalis.

1) PQ PS, Q P R

2) PQ RS, S P R

1) 1. PQ

2. R

3.

4. Q P 52,

5. P MP, 3,

6. P P D?

įrodėm

2) 1. PQ

2. RS

3. S

4. S R 52

5. R MP

6. P R

išplaukimas įrodytas

Toliau pateiksime sąrašą loginių operacijų ir joms atitinkamų kalbos…

A_B A jei ir tik jei B

1. jei A, tai ir B ir atvirkščiai, jei B, tai ir A ir atv.

2. A jei B ir B jei A

3. dėl A būtina ir pakanka B

4. A_B

5. A tada ir tik tada, kai B

A_B

1. jei A, tai B

2. A atveju bus B

3. dėl B pakanka A

4. dėl A būtina B

5. A iššaukia B

6. B jei A

AB

1. AB

2. ne tik A, bet ir B

3. B nors ir A

4. A tuo pat metu, kaip ir B

5. B nepaisant A

6. kaip A, taip ir B

7. A kartu su B

AB

1.AB arba abu

2.AB

3.A jei ne B

Sakinių pervedimas į logikos kalbą

Nors teiginių skaičiavime

tačiau frazes “Neringai gimė vaikas ir ištekėjo” ir “Neringa ištekėjo ir jai gimė vaikas” Neringos pažįstami suprastų labai skirtingai. Tai susijų su įvykių tvarka laike. Tačiau dėl loginės analizės dažnai galima nekreipti dėmesio į laiką. Kita problema susijusi su terminų dviprasmiškumu, kuriuos reikia pakeisti loginėmis operacijomis. Pvz., jei meniu parašyta: “Arbata arba kava nemokamai”. Mes nenustebsime, jei mes paprašysime dviejų ir mums teks už tai susimokėti. Tačiau jei parašyta, kad “knygų aukas priima fakulteto raštinė arba biblioteka”, mes negalvojame, kad jei paaukojam raštinėj, tai vėliau bibliotekoj nepriims, nes mes aukojom raštinėj. Ši problema susijusi su jungtuko “arba” dviprasmiškumu.

ĮRODYMŲ TEORIJA

1. Formalusis įrodymas ir formalusis išvedimas

Matematikai įrodinėja teoremas, t. y. išveda jas iš duotų prielaidų tokiu būdu: teiginiai rašomi į tam tikrą sąrašą, vad. įrodymu arba išvedimu.

Mes kalbėsim apie įrodymą ir prielaidas vadinsime aksiomomis, jei jos išlaiko savo statusą visoje nagrinėjamoje teorijoje, t. y. jos yra tpč. teisingos. Mes kalbėsim apie išvedimą, jei nebūsim tikri, kad visos prielaidos išlaiko savo statusą. Kiekvienas perėjimas nuo vieno teiginio prie kito nagr. sąraše yra pagrįstas logiškai. Pvz.: Teiginys seka iš kitų teiginių, jei jis tenkina išplaukimo apibrėžimą. Išplaukimas buvo apibrėžtas remiantis teisingumo lentelėmis. Apibrėždami išplaukimą, tapačiai teisingas formules, mes naudojome meta kalbą, t.y. kitą kalbą,
nei kurioje rašomi teiginiai. Būtent meta kalboje mes gauname įvairius rezultatus apie tapatųjį teisingumą ir išplaukimą, kurie yra patogesni nei teisingumo lentelių vartojimas. Toks logikos nagrinėjimas vadinamas modelių teorija. Pakeisdami atomus t ir k reikšmėmis, mes gauname modelius arba konkrečias realizacijas.

Kitas būdas: Šis būdas vadinamas įrodymų teorija,nagrinėja klausimą, ar negalima parašyti loginius įrodymus ir išvadas taip, kaip yra daroma geometrijoje. Tačiau kadangi pati logika yra nagrinėjimo objektas, tai išvedimai negali remtis loginiais kriterijais, jie gali remtis tik aksiomomis ir taisyklėmis. Įrodymų teorijoje kai kurie teiginai vadinami aksiomomis,o naujų teiginių sudaymui naudojamos išvedimo tasyklės. Vėliau mes pamatysime, kad modelių ir įrodymų teorija duoda ekvivalenčius rezultatus.

2.1Ap. Teorijos L aksiomomis vadinamos visos formulės, turinčios 1.3 T-os 1A-10B formulių pavidalą. Šios formulių formos vad. aksiomų schemomis.

Kiekviena aksiomų schema sukuria begalinę aksiomų aibę, pvz.:

aksiomų schema 1a A(BA) atitinka tokios formulės : P(PP), Q(PQ),P(QRP), (P(RP))(R(P(RP)))

Pateiktame aksiomų schemų sąraše yra kiekvieno iš 5 loginių operacijų : neig. Konj. Disj. Injekc. Ekviv. aksiomų schemos.

1a ir 1b aksiomų schemos – tai implikacijos AS. 3 AS įveda konjunkcijos operatorių, o 4 ir 5 jį pašalina. 5a ir 5b įveda disjunkcijos operatorių, o 6 jį pašalina. 7 schema įveda neigimo operatorių, o 8 jį pašalina. 9 schema įveda ekvivalencijos operatorių, o 10a ir 10b jį pašalina.

2.2 Teorijos L vienintelė išvedimo taisyklė vadinama implikacijos pašalinimu arba MP taisykle. Ši taisyklė leidžia pereiti nuo formulių pavidalo A ir AB prie formulės B. Naudojant MP taisyklę A ir AB vadinamos prielaidomis, o B – šios taisyklės išvada.

2.3 Formaliuoju įrodymu teorijoj L vad. baigtinė formulių B1, B2, … BN seka kai kiekviena šios sekos formulė yra arba aks. schema, arba gaunama pagal MP taisyklę iš kurių nors dviejų ankstesnių šios sekos formulių.

Form. Įrodymas yra paskutiniosios formulės BK įrodymas. F-lė B vadinama formaliai įrodoma, arba formaliąja teorema, jei ji turi formalųjį įrodymą. Teiginį “f-lė B formaliai įrodoma teorijoje L” žymėsime ├L B ir ir sutarsim iki naujų formalių teorijų pasirodymo indeksą L praliesti, tai ├ B.

Pvz.: Pabandykime įrodyti, kad ├AA (AA) yra įrodoma). F-lės AA įrodomumui nustatyti pagal 2.3 apibr. reikia užrašyti baigtinę formulių seką, kurios paskutinė formulė būtų AA ir taip, kad kiekviena šios sekos formulė būtų aks. schema arba gauta pagal MP taisyklę. Aišku, kad pirmosios šios sekos f-lės turėtų būti aksiomos. Be to, viena iš šių aksiomų turi bagtis formule AA. Galima būtų panaudoti aks-ų schemą 1b, kuri baigtųsi f-le AA , jei f-lę C pakeistume į f-lę A : (AB)((A(BA))(AA)) (1)

Šiuo metu Jūs matote 31% šio straipsnio.
Matomi 2217 žodžiai iš 7120 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.