Begalybė
5 (100%) 1 vote

Begalybė

Mokslas apie begalybę

Begalybė.Kartu su kintamojo dydžio ir funkcijos sąvokomis svarbų vaidmenį kuriant diferencialinį bei integralinį skaičiavimą suvaidino begalybės idėja. Jos atsiradimas dingsta amžių glūdumoje.

Lingvistikos duomenys rodo, kad iš pradžių žmonės mokėjo skaičiuoti tik iki dviejų. Paskui skaičių atsarga išsiplėtė iki šešių: netgi XIX a. rastos gentys, skaičiavusios taip: ,,vienas, du, duvienas, du-du, du-du-vienas, du-du-du”, o viską, kas sudarė daugiau kaip šešis, vadindavo ,,daug”. Ir šiandien rusų patarlėse ir priežodžiuose skaičius ,,septyni” pakeičia žodį ,,daug” (,,Septyni vieno nelaukia”, ,,Septynis kartus išmatuok, vieną kartą nukirpk” ir pan.). Yra pagrindo manyti, kad lietuviai vietoj ,,daug” sakydavo ,,devyni” (,,Susirinko devynios galybės žmonių”, ,,Devyni vyrai gaidį pjovė”, ,,Susiraukęs kaip devynios pėtnyčios” ir pan.). Paskui didžiausiu pasidarė skaičius 40, po to ši riba pasistūmėjo iki 100, vėliau – iki 1000. Bet ir šių skaičių neužteko suskaičiuoti žvaigždėms danguje, smiltelėms jūros krante, lapams miške. Žiūrėdami aukštyn, žmonės mąstydavo, koks beribis dangus ir kiek daug žvaigždžių. Šie jausmai išreikšti Lomonosovo eilėse:

,,Nušvito skliautas žvaigždėmis skaisčiom;

Erdvė bedugnė, o žvaigždžių – nesuskaičiuot”.

Išradus pozicinę skaičiavimo sistemą, galima buvo išvardyti labai didelius skaičius. Pvz., vienoje babiloniečių lentelėje pateikti visi skaičiaus 608+10607195955200000000 dalikliai. Indų knygose apskaičiuojamas ,,atomų” kiekis, telpantis 3200 lanko ilgiuose (jis lygus 108470495616000), o vienoje jų pasakojama apie mūšį, kuriame dalyvavo 1023 beždžionių. Šių sakmių autoriai nesijaudino, kad toks beždžionių kiekis netilps visoje Saulės sistemoje. Jie džiaugėsi, galėdami operuoti milžiniškais skaičiais.

Senovės Graikijoje nebuvo žinoma pozicinė skaičiavimo sistema (matyt graikų matematikai nesidomėjo praktiniais klausimais), tačiau Archimedas sukūrė žymėjimų sistemą, pagal kurią galima išvardyti skaičius nuo 1 iki 108×1016 parašytume popieriaus juostoje taip, kad viename metre tilptų po 400 skaitmenų, tai juosta būtų ilgesnė už atstumą nuo Žemės iki Saulės Archimedas įrodė, kad smiltelių kiekį, telpantį rutulyje, kurio spindulys lygus atstumui nuo Žemės iki nejudančių žvaigždžių sferos (tuo metu manyta, kad visos žvaigždės pritvirtintos prie sferos, kurios centre yra Žemė), galima išreikšti daug mažesniais skaičiais.

Operuodami milžiniškais skaičiais, žmonės pradėjo galvoti, kad paties didžiausio skaičiaus nėra, kad po kiekvieno jų eina kitas, o natūrinių skaičių aibė yra begalinė. Šiandien ši idėja suprantama net IV klasės mokiniams, bet kažkada ji buvo svarbus teorinio mąstymo laimėjimas, po kurio jau galima kelti klausimą apie erdvės beribiškumą. Kas yra už nejudančių žvaigždžių sferos? Ar turi Visata ribą? Mąstydami apie tai, senovės graikų filosofai pradėjo pasaulį įsivaizduoti kaip bekraštį. ,,Kur bestovėtų karys, savo ietį jis gali ištiesti dar toliau:, mokė VI a. pr. m. e. Gyvenęs filologas Anaksimandras. Šiandien jau žinome, kad šis teiginys įrodė tik erdvės neaprėžtumą, bet ne begalybę.

Dar anksčiau žmonės suprato, kad pasaulis yra amžinas ir begalinis. Ši idėja išreikšta tokioje Rytų alegorijoje:

,,Štai deimantinis tūkstančio uolekčių aukščio kalnas. Vieną kartą per šimtmetį atskrenda paukštelis ir galanda į jį snapą. Kai jis nugaląs visą kalną, praeis pirmoji amžinybės akimirka”.

Taip atsirado begalinio visomis kryptimis ir amžino pasaulio modelis. Drąsiausieji mąstytojai (pvz., Heraklitas) mokė, kad pasaulis neturėjo pradžios ir ne dievai jį sukūrė.

Atomistika ir begalinės mažybės. Apsipratę su begalybės idėja, mąstytojai pradėjo galvoti ir apie be galo mažus dydžius, kurie gaunami neribotai dalijant daiktus į dalis. Kasdieninė patirtis mokė, kad duoną, obuolį, vyno asotį galima padalyti vaišių dalyviams. Kiekvieną gautąją dalį galima dalyti į dar smulkesnes dalis. Bet ar yra šios dalybos riba? Atsakyti į tokį klausimą tik iš patirties neįmanoma. Čia juk kalbama apie tokias smukias dalis, kurių negalėjo matyti net pats akyliausias žmogus. Todėl klausimas apie daiktų dalumo ribą iš patirties sferos persikėlė į samprotavimų sferą.

Atsirado dvi pagrindinės mokyklos, kurių viena mokė, kad begalinė dalyba galima, o antroji teigė, kad esti mažiausios medžiagos dalelės – atomai, kurie toliau nesidalija (graikų kalbos žodis ,,atomas” reiškia ,,nedalus”). Atomistai ir jų priešininkai skirtingai traktavo tik materijos prigimtį. O tuo, kad erdvė yra neribotai dali, neabejojo netgi patys aršiausi atomizmo šalininkai.

V a. pr. m. e. Viduryje paaiškėjo, kad iš prielaidos apie begalinį erdvės dalumą, neatsargiai elgiantis, galima gauti paradoksalių išvadų. Filosofas Zenonas Elėjietis, remdamasis šia prielaida, įrodinėjo, kad… pasaulyje nėra judėjimo. Juk, sakė jis, skrendanti strėlė, pirmiau negu pataiko į tikslą, turi nuskrieti pusę kelio, iki tol – ketvirtį, dar anksčiau – vieną aštuntąją kelio ir t.t. Kadangi erdvė yra neribotai dali, tai dalijimo pusiau procesas
nesibaigs ir srėlė niekada neskries. Šią išvadą paneigia paprasčiausias eksperimentas, aprašytas A. Puškino eilėraštyje:

,,Judėjimo nėra, išminčius vienas teigė,

Bet kitas ėmė vaikščioti prieš jį,-

Štai atsakas geriausias dievaži-

Ir tuščias nenaudingas ginčas baigės”.

Bet visgi Zenono argumentai parodė, jog begalybė to mato matematikoje suprantama naiviai. Būtent iš jo samprotavimų pirmą kartą paaiškėjo, kad atkarpą galima padalyti į begalinę aibę atkarpų, kurių kiekviena yra baigtinio ilgio. Iki Zenono atkarpa visada buvo dalijama tik į lygias dalis. Tuomet, didinant dalių skaičių, jų ilgis neribotai mažėdavo. Zenono aporijų filosofinę reikšmę sudarė tai, kad jos atskleidė tikrąjį judėjimo, erdvės ir laiko prieštaringumą. Ir šiandien teorinėje fizikoje atsiranda sunkumų, šiek tiek primenančių Zenono prieštaravimus. Tik Zenono paradokse begalinis buvo dalių, kurias turi nuskrieti strėlė, skaičius, o šiuolaikinėje fizikoje begalinė yra elektrono ir jo sukuriamo elektromagnetinio lauko sąveikos energija. Ir galbūt Zenono bei šiuolaikinių fizikų kliūčių priežastys yra kažkuo giminingos – abiem atvejais iškyla klausimas, ar galima mikropasauliui taikyti sąvokas, atsiradusias tyrinėjant didelius objektus, ir kokia yra erdvės mažos dalies sandara.

Įspūdį, kurį padarė Zenono aporijos galima palyginti su perversmu fizikų mąstyme, atsiradus reliatyvumo teorijai. Po Zenono jau nebuvo galima taip nerūpestingai elgtis su begalybę, kaip tai darė jo pirmtakai. Samprotavimai, kuriuose vartojamas žodis ,,begalybė”, neteko vertės.

Išgelbėtį padėtį bandė žymiausias senovės atomistas. Demokritas. Jis sukūrė teoriją, kurioje bandė įrodyti, kad ne tik fiziniai kūnai sudaryti iš atomų, bet ir erdvė yra dali tik iki tam tikrų ribų, o paskui eina jos dalys, neturinčios nei formos, nei matmenų. Jeigu Demokrito bandymas pavyktų, šiuolaikinėje matematika gal būtų kitokia – ne tolydžio, o diskretinių dydžių matematika. Bet Demokrito nesugebėjo paaiškinti, kodėl kvadrato kraštinė ir įstrižainė yra nebendramatės. Juk, jeigu atkarpos sudarytos iš baigtinio skaičiaus nedalomų dalių, užtektų apskaičiuoti tokių dalių kiekį kvadrato įstrižainėje ir kraštinėje, kad galėtume jų ilgių santykį išreikšti trupmena. Be to, Demokritui nepasisekė paaiškinti, ar piramidės pjūviai lygūs. Jei jie, piramidė negali siaurėti į viršūnės pusę, o jei nelygūs, piramidė turi būti laiptuota (juk pagal Demokritą, nuosekliai dalijant piramidės aukštinę pusiau, galiausiai gaunami nedalūs sluoksniai). Gali būti, kad pats Demokritas abejojo, ar ištikrųjų yra piramidės, rutuliai ir kiti geometriniai kūnai, ir laikė juos abstrakcija, t.y. įsivaizdavo laiptuotais kūnais su labai mažais laipteliais,kurių nesugeba skirti žmogaus jutimo organai. Demokrito darbai nepasiekė mūsų laikų. Apie juos sprendžiame iš to, ką pacitavo kiti filologai.

Šiuo metu Jūs matote 33% šio straipsnio.
Matomi 1311 žodžiai iš 3938 žodžių.
Peržiūrėkite iki 100 straipsnių per 24 val. Pasirinkite apmokėjimo būdą:
El. bankininkyste - 1,45 Eur.
Įveskite savo el. paštą (juo išsiųsime atrakinimo kodą) ir spauskite Tęsti.
SMS žinute - 2,90 Eur.
Siųskite sms numeriu 1337 su tekstu INFO MEDIA ir įveskite gautą atrakinimo kodą.
Turite atrakinimo kodą?
Po mokėjimo iškart gausite atrakinimo kodą, kurį įveskite į laukelį žemiau:
Kodas suteikia galimybę atrakinti iki 100 straispnių svetainėje ir galioja 24 val.